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2025-04-08T12:52:05Z

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Eine '''Subbasis''' ist in der mathematischen Grundlagendisziplin der [[mengentheoretische Topologie|mengentheoretischen Topologie]] ein spezielles [[Mengensystem]] von [[offene Menge|offenen Mengen]]. Eine Subbasis bestimmt eine [[Topologischer Raum|Topologie]] eindeutig und vereinfacht damit oftmals Beweise, da es ausreichend ist, sich auf die Mengen der Subbasis zu beschränken. Ebenso werden manche Eigenschaften von Topologien auch als Eigenschaften ihrer Subbasen definiert.

Umgekehrt lässt sich jedes Mengensystem als Subbasis auffassen und ermöglicht es so, gezielt Topologien mit bestimmten Eigenschaften zu konstruieren.

In der aus dem Russischen ins Englische übersetzten Literatur findet sich auch die Bezeichnung „Pre-Base“ (deutsch: ''Prä-Basis'') anstelle der typischen englischen Bezeichnungen ''subbase'' oder ''subbasis''.<ref>{{EoM| Autor = M.I. Voitsekhovskii| Titel = Pre-Base| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Pre-base| id = }} </ref>

== Definition ==

Gegeben sei ein [[topologischer Raum]] <math> (X, \mathcal O) </math> sowie ein [[Mengensystem]] <math> \mathcal S \subset \mathcal O </math>. Dann heißt <math> \mathcal S </math> eine Subbasis der Topologie <math> \mathcal O </math>, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
* Jede offene Menge <math> O \in \mathcal O </math> ist die Vereinigung von beliebig vielen Mengen, die selbst [[Menge (Mathematik)#Durchschnitt (Schnittmenge, Schnitt)|Durchschnitte]] von endlich vielen Mengen aus <math> \mathcal S </math> sind.
* Die Menge aller Durchschnitte von endlich vielen Mengen aus <math> \mathcal S </math>, also
:<math>\mathcal B := \left\lbrace M \subset X \, | \, M= \bigcap_{j \in J} S_j, \; S_j \in \mathcal S, \; |J | < \infty \right\rbrace </math>
:bildet eine [[Basis (Topologie)|Basis]] der Topologie <math> \mathcal O </math>.
* <math> \mathcal S </math> erzeugt <math> \mathcal O </math> in dem Sinne, dass
:*<math> \mathcal O </math> die (bezüglich Teilmengenbeziehung) kleinste Topologie ist, die <math> \mathcal S </math> enthält, und
:*jede weitere Topologie, die <math> \mathcal S </math> enthält, immer [[Gröbere und feinere Topologien|feiner]] ist als <math> \mathcal O </math>.

== Beispiele ==
Ist <math> X </math> eine [[unendliche Menge]], so bildet die Menge aller endlichen Teilmengen einer vorgegebenen, endlichen Mächtigkeit <math>n \neq 0</math>, also
:<math> \mathcal S := \{ M \subset X \, | \, |M| = n \} </math>

eine Subbasis der [[Diskrete Topologie|diskreten Topologie]], die durch <math> \mathcal O_D := \mathcal P (X) </math> gegeben ist. Denn es gilt nach Auswahl geeigneter <math> S_1, S_2 </math> aus <math> \mathcal S </math>, dass <math> S_1 \cap S_2 = \{x \} </math> für ein vorgegebenes <math> x \in X </math>. Somit lassen sich aus <math> \mathcal S </math> alle einelementigen Teilmengen von <math> X </math> erzeugen. Diese bilden dann eine Basis der diskreten Topologie.

Eine Subbasis der natürlichen Topologie auf den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist gegeben durch
:<math> \mathcal S := \mathcal S^+ \cup \mathcal S^- </math>,

wobei
:<math> \mathcal S^-:= \{(- \infty, b) \, | \, b \in \R \} </math> und <math> \mathcal S^+:= \{(a, + \infty) \, | \, a \in \R \} </math>

ist. Denn die Menge der offenen Intervalle bildet eine Basis der natürlichen Topologie, und jedes offene Intervall lässt sich aus der Subbasis durch
:<math> (a,b)= (- \infty, b) \cap (a, + \infty) </math>

erzeugen.

== Eigenschaften ==
=== Nicht-Eindeutigkeit ===
Subbasen bestimmen zwar die Topologie eindeutig, im Allgemeinen besitzt eine Topologie aber mehr als eine Subbasis. So bilden sowohl
:<math> \mathcal S_1 := \{\{1\},\{2\},\{3\}\} </math> als auch
:<math> \mathcal S_2 := \{ \{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\} </math>

eine Subbasis von <math>\mathcal O = \mathcal P (\{1,2,3 \}) </math>. Ebenso besitzt die natürliche Topologie auf <math> \R </math> nicht bloß die oben als Beispiel angegebene Subbasis. Es genügt beispielsweise auch, Intervalle der Form <math> (- \infty, a ) </math> und <math> (b, + \infty ) </math> für rationale Intervallgrenzen, also für <math> a,b \in \Q </math> zu betrachten.

=== Erzeugung von Topologien durch Subbasen ===
So wie eine Topologie ihre Subbasen bestimmt, kann man ebenso durch eine Subbasis eine Topologie bestimmen. Dazu wählt man ein beliebiges Mengensystem <math> \mathcal M </math> und erklärt dies zur Subbasis einer vorerst nicht näher präzisierten Topologie. Zu beachten ist hier, dass dies im Gegensatz zum analogen Verfahren mit Basen ohne jegliche Voraussetzung an das Mengensystem möglich ist.

Formell wird dieses Verfahren, das sich in der dritten der oben gegebenen Definitionen widerspiegelt, durch den [[Hüllenoperator]]
:<math>\tau(\mathcal M):= \bigcap\{\mathcal{E}\subseteq \mathcal P(X) \, | \, \mathcal{M}\subseteq\mathcal E, \, \mathcal E \text{ ist Topologie auf } X \}</math>.

Dieser Hüllenoperator liefert wieder eine Topologie, da der Schnitt von Topologien wieder eine Topologie ist. Des Weiteren ist diese Topologie die gröbste Topologie, die das vorgegebene Mengensystem <math> \mathcal M </math> enthält.

== Wichtige Aussagen mittels Subbasen ==
* Die [[Initialtopologie]] einer Familie von Abbildungen <math> (f_i)_{i \in I} </math> von <math> X </math> in die topologischen Räume <math> (Y_i, \mathcal O_i) </math> ist genau die Topologie auf <math> X </math>, deren Subbasis aus den Urbildern offener Mengen, also aus <math> f_i^{-1}(O_i) </math> für <math> O_i \in \mathcal O_i </math>, besteht. Da sowohl die [[Teilraumtopologie]] als auch die [[Produkttopologie]] Spezialfälle der Initialtopologie sind, lassen sich diese Topologien ebenso über ihre Subbasen definieren.
* [[Satz von Alexander (Mengentheoretische Topologie)|Satz von Alexander]]: Es genügt, [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] für Mengen aus einer Subbasis zu überprüfen.
* Ebenfalls genügt es, [[Stetige Funktion|Stetigkeit]] auf einer Subbasis zu überprüfen. Ist also <math> f </math> eine Abbildung von <math> (X_1, \mathcal O_1) </math> nach <math> (X_2, \mathcal O_2) </math> und <math> \mathcal S </math> eine beliebige Subbasis von <math> \mathcal O_2 </math>, so ist <math> f </math> genau dann stetig, wenn <math> f^{-1}(\mathcal S ) \subset \mathcal O_1 </math> ist.

== Siehe auch ==
* [[Umgebungsbasis]]

== Weblinks ==
*{{MathWorld| id = Subbasis| title = Subbasis| author = Margherita Barile}}

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Steven Roman|Titel=Lattices and Ordered Sets|Verlag=Springer|Jahr=2008|ISBN=978-0-387-78900-2|DOI=10.1007/978-0-387-78901-9}}
*{{Literatur|Autor=[[Boto von Querenburg]]|Titel=Mengentheoretische Topologie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Datum=2001|ISBN=9783540677901|DOI=10.1007/978-3-642-56860-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

Subbasis - Versionsgeschichte

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