~2025-36417-69: Ein "abhängig" zu viel

2025-11-25T22:42:49Z

Ein "abhängig" zu viel

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'''Sturm-Liouville-Probleme''' (nach [[Charles-François Sturm]] (1803–1855) und [[Joseph Liouville]] (1809–1882)) sind ein Typ von [[Eigenwertproblem]]en aus der [[Analysis]]. Zu gegebenen Koeffizientenfunktionen <math>p,q,w</math> und <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> betrachtet man die [[Differentialgleichung]] 2. Ordnung
: <math>\left( p \cdot \psi' \right)' + q \cdot \psi = - \lambda \cdot w \cdot \psi</math>
auf einem vorgegebenen Intervall <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> für eine Funktion <math>\psi \in C^2([a,b])</math>. Verlangt man, dass <math>\psi</math> Randbedingungen der Form
: <math>\begin{align}
\cos(\alpha) \psi(a) &+ \sin(\alpha) p(a)\psi'(a) = 0\\
\cos(\beta) \psi(b) &+ \sin(\beta) p(b)\psi'(b) = 0
\end{align}</math>
genügt (<math>\alpha,\beta\in \mathbb{R}</math>), so kann die Differentialgleichungen abhängig von <math>\lambda</math> entweder keine, genau eine oder mehrere Lösungen haben. Das Sturm-Liouville-Problem besteht darin, für jedes <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> die Existenz und Anzahl der Lösungen zu ermitteln und soweit möglich die Lösungen explizit zu konstruieren. Es existieren Sätze, die für eine sehr allgemeine Klasse von Koeffizientenfunktionen die Frage nach der Existenz beantworten und Eigenschaften der Lösungsfunktionen beschreiben.

Führt man den [[Linearer Operator|linearen Operator]] der Form
:<math> \mathcal{L} = \frac{1}{w} \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \, p\, \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} +q \right) </math>
ein, den '''Sturm-Liouville-Operator''', so hat das Sturm-Liouville-Problem die Form der Eigenwertgleichung <math> \mathcal{L} \psi = - \lambda \psi </math> und kann mithilfe von Methoden aus der [[Funktionalanalysis]] ([[Spektraltheorie]]) im [[Hilbertraum]] der bezüglich der Gewichtsfunktion <math>w</math> quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden. In diesem Sinn stellen Sturm-Liouville-Projekte eine Brücke zwischen der klassischen Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen und der modernen Theorie der Funktionalanalysis dar.

== Motivation ==
Differentialgleichungen in Form eines Sturm-Liouville-Problems ergeben sich, wenn man [[partielle Differentialgleichung]]en mithilfe eines [[Separationsansatz]]es untersucht. Betrachtet man zum Beispiel die eindimensionale [[Wellengleichung]]
:<math>\frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}</math>
so führt ein Separationsansatz der Form
:<math>y(t,x) = f(x) \cdot g(t)</math>
auf ein Sturm-Liouville-Problem für die beiden Funktionen <math>f</math> und <math>g</math>. Genauer führt Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung und Separation der Variablen auf die beiden Gleichungen
:<math>f''(x) = \frac{\lambda}{c^{2}} f(x)</math>
:<math>g''(t)= \lambda g(t)</math>
Diese Differentialgleichungen bilden (gemeinsam mit noch anzugebenden Randbedingungen) jeweils ein Sturm-Liouville-Problem. Für diese einfachen Beispiele ist die Lösung des Problems weiter unten angegeben.

Kompliziertere partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung führen nach Separation der Variablen auf kompliziertere Sturm-Liouville-Probleme, deren Eigenwerte und Eigenfunktionen sich in der Regel nicht mehr oder nur schwerlich analytisch berechnen lassen. Schafft man es jedoch, das zur partiellen Differentialgleichung zugehörige Sturm-Liouville-Problem zu lösen und die zugehörigen Eigenfunktionen des Sturm-Liouville-Operators zu bestimmen, so können diese zur Lösung der partiellen Differentialgleichung verwendet, indem man eine Reihe von Eigenfunktionen als Ansatz wählt.

Natürlich gibt es auch Differentialgleichungen, die schon von Haus aus die Form eines Sturm-Liouville-Problems haben. Zum Beispiel ist die zeitunabhängige, eindimensionale Schrödingergleichung
:<math>
\left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi(x) = E \psi(x)
</math>
mit zweifach differenzierbarem <math>\psi \colon [a,b] \to \Complex </math> und der Randbedingung <math>\psi (a) = \psi(b) = 0 </math> ein Sturm-Liouville-Problem, bei dem bloß <math>p=\frac{\hbar^2}{2m}</math> sowie <math>q=V(x)</math> und <math>w=1</math> gesetzt wurden. Allgemeiner kann man durch direktes Nachrechnen zeigen, dass es für jede Differentialgleichung der Form
:<math>\psi'' + Q(x) \psi' + R(x) \psi + \lambda \psi = 0</math>
Funktionen <math>\tilde{Q}(x), \tilde{P}(x), r(x)</math> gibt, sodass eine Funktion <math>\psi</math> genau dann eine Lösung der obigen Differentialgleichung ist, wenn Sie die Gleichung
:<math>\left( \tilde{P}(x) \cdot \psi' \right)' + \tilde{Q}(x) \cdot \psi = - \lambda w(x) \psi </math>
löst. Damit kann man also Resultate über Sturm-Liouville-Theorie direkt auf eine viel größere Klasse von Differentialgleichungen übertragen, was einen der Hauptgründe für die Relevanz der Lösungstheorie von Sturm-Liouville-Problemen darstellt. Im allgemeinen Fall ist dabei <math>w(x)</math> aber nicht mehr konstant wie in den ersten beiden Beispielen, was die Notwendigkeit erklärt, auch Sturm-Liouville-Probleme zu betrachten, bei denen die Gewichtsfunktion nicht konstant ist.

== Reguläre Sturm-Liouville-Probleme ==
Die Differentialgleichung
: <math> (p \cdot \psi')' + q \cdot \psi = - \lambda \cdot w \cdot \psi</math>
für <math> \psi </math> zusammen mit Randbedingungen der Form
: <math>\begin{align}
R_1 \psi := \cos(\alpha) \psi(a) &+ \sin(\alpha) p(a)\psi'(a) = 0\\
R_2 \psi := \cos(\beta) \psi(b) &+ \sin(\beta) p(b)\psi'(b) = 0
\end{align}</math>
wobei <math>\alpha, \beta \in \mathbb{[0,\pi)}</math> nennt man ein ''reguläres Sturm-Liouville-Problem'' über dem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn dieses Intervall endlich ist und die Koeffizientenfunktionen <math>w,p,q</math> die folgenden Bedingungen erfüllen:
* <math>p \in C^1([a,b])</math> und <math>p>0</math>,
* <math>q \in C^0([a,b])</math>,
* <math>w \in C^0([a,b])</math> und <math>w > 0.</math><ref>[[Harro Heuser]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen'', Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite 328–338, ISBN 978-3-8348-0705-2</ref>
Im Fall <math>\psi(a)=\psi(b)=0</math> spricht man von [[Dirichlet-Randbedingung]]en und im Fall <math>\psi'(a)=\psi'(b)=0</math> von [[Neumann-Randbedingung]]en.

=== Existenz von Eigenwerten und Eindeutigkeit von Lösungen ===
Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass die Menge der Eigenwerte abzählbar ist und die Eigenwerte, wenn man sie nach Größe ordnet, gegen <math>+\infty</math> divergieren:
: <math>\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3 < \cdots < \lambda_n < \cdots \to \infty.</math>
Insbesondere ist die Menge der Eigenwerte nach unten beschränkt und hat keinen Häufungspunkt im Endlichen. Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl-Asymptotik) wie
:<math>\lambda_n= \pi^2\left(\int_a^b \sqrt{\frac{w(x)}{p(x)}} \mathrm dx\right)^{-2} n^2 + O(n).</math>
Zu jedem Eigenwert gibt es genau eine Lösung <math>\psi_n</math> der Sturm-Liouville-Gleichung, die den Randwerten genügt und die Normierungsbedingung
:<math>\begin{align}
\int_a^b |\psi_n (x)|^2 w(x) dx = 1
\end{align} </math>
erfüllt. Man nennt dieses <math> \psi_n</math> die Eigenfunktion zum Eigenwert <math> \lambda </math>. Diese Eigenfunktionen erfüllen die folgende Orthogonalitätsrelation: Für alle <math>n,m \in \mathbb{N} </math> gilt
:<math> \int_a^b \psi_n(x) \psi_m(x) w(x) \, dx = \begin{cases}1 \quad \text{falls }m=n \\ 0\quad \text{falls }m \neq n \end{cases} </math>.

=== Reihenentwicklung in Eigenfunktionen ===
Die oben erwähnten Eigenfunktionen können benutzt werden, um fast beliebige Funktionen in Reihen zu entwickeln.

==== Gleichmäßige Konvergenz ====
Sei <math>f \in C^1([a,b]) </math> eine Funktion, die die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems erfüllt. Dann existieren für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> reelle Zahlen <math>c_n</math>, sodass
:<math> f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_n \psi_n (x)</math>
für alle <math>x \in [a,b]</math> gilt. Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert hierbei [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen <math>f</math>. Die Koeffizienten <math> c_n </math> sind dabei gegeben durch
: <math>
c_n = \int_a^b f(x) \psi_n (x) w(x) \, dx
</math>.
Tatsächlich kann man die Forderungen an <math>f</math> abschwächen. Dieselbe Aussage gilt nämlich auch für <math>f \in C([a,b])</math>, die stückweise stetig differenzierbar sind, solange diese die schwächere Randbedingung erfüllen, dass <math>f</math> bei <math>a</math> oder <math>b</math> verschwindet, wenn <math>\psi_1</math>, also die Eigenfunktion zum kleinsten Eigenwert <math>\lambda_1</math>, das tut. Ist beispielsweise <math>\psi_1(a) = 0, \psi_1(b) \neq 0 </math>, so reicht es, dass <math>f(a) = 0</math> und <math>f(b)</math> kann beliebig sein. Ist sogar <math>\psi_1 (a) \neq 0, \psi_1 (b) \neq 0</math>, so gilt die Aussage überhaupt für alle stückweise stetig differenzierbaren Funktionen<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch; mit 708 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen, und zahlreichen Beispielen |Auflage=2., durchges. Aufl |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1991 |Reihe=Mathematische Leitfäden |ISBN=978-3-519-12227-2 |Seiten=410}}</ref>.

==== Konvergenz im quadratischen Mittel ====
Für nicht-stetige Funktionen kann es keine gleichmäßig konvergente Entwicklung in Reihen aus Eigenfunktionen geben, da gleichmäßige Grenzwerte stetiger Reihen notwendigerweise stetig sind. Es gilt folgendes Resultat: Sei <math>f \in L^2([a,b],w(x)dx) </math>, also Element des [[Lp-Raum#Der Hilbertraum L2|Hilbertraums der quadratintegrablen Funktionen]]. Dann gibt es reelle Zahlen <math>c_n</math> sodass
:<math>
f = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n
</math>
wobei die Reihe auf der rechten Seite bezüglich der Norm auf <math>L^2([a,b],w(x)dx) </math> gegen <math>f</math> konvergiert. Es gilt also
:<math>
\left\| f - \sum_{n=1}^k c_n \psi_n \right\|_{L^2([a,b],w(x)dx)} = \int_a^b \left| f(x) - \sum_{n=1}^k c_n \psi_n (x)\right|^2 w(x)dx \xrightarrow{k \to \infty} 0
</math>
Man sagt auch, dass die Reihe [[Konvergenz im p-ten Mittel|im quadratischen Mittel konvergiert]]. Die <math>\psi_n </math> sind also eine [[Schauderbasis]] des Raums <math>L^2([a,b],w(x)dx) </math>. Die Koeffizienten <math> c_n </math> sind wieder durch
:<math>c_n = \int_a^b f(x) \psi_n (x) w(x) dx </math>
gegeben<ref name=":0" />.
=== Eigenschaften der Eigenfunktionen ===
==== Amplitudensatz ====
Da die [[Amplitude]]n den [[Betragsfunktion|Absolutbetrag]] der lokalen [[Extremwert]]e angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.

Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei <math>p, q \in C^1((a,b),\R)</math>, <math>p,q</math> monoton wachsend oder monoton fallend, sowie auf einem geeigneten Intervall <math>(c,d) \subseteq (a,b)</math> sei <math>\phi</math> eine nicht triviale Lösung von <math>\mathcal{L} \phi = 0</math>. Für die [[Amplitude]]n zweier aufeinanderfolgender [[Extremwert|Extremstellen]] <math>c < x_{k} < x_{k+1} < d</math> von <math>\phi</math> gilt:
: <math>|\phi(x_{k+1})| \geq |\phi(x_k)| \text{ wenn } (pq)' < 0</math> und
: <math>|\phi(x_{k+1})| \leq |\phi(x_k)| \text{ wenn } (pq)' > 0</math>.

; Beweis
Es sei <math>\phi</math> eine nicht-triviale Lösung und
: <math>\psi = \phi^2 + \frac{1}{pq} \left(p \phi' \right)^2 </math>.
Dabei ist <math>\psi</math> keine Lösung der Sturm-Liouville-Differentialgleichung, jedoch
eine Funktion die mit denselben Extremstellen und Nullstellen ausgestattet ist wie <math>\phi</math>. Mit Hilfe dieser Konstruktion folgt mit der Sturm-Liouville-Differentialgleichung <math>(p \phi')' = -q \phi</math>
: <math>\begin{align}
\psi' &= 2\phi \phi' + \frac{1}{pq} 2p \phi' \left(p \phi' \right)' - \frac{(pq)'}{(pq)^2} \left(p \phi' \right)^2 \\
&= 2\phi \phi' - 2 \phi \phi' - \frac{(pq)'}{(pq)^2} \left(p \phi' \right)^2 \\
&= - (pq)' \left(\frac{\phi'}{q} \right)^2.
\end{align}</math>
Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt <math>\phi'(x_{k+1}) = \phi'(x_k)=0</math> ist, so gilt für ein <math>\xi</math> mit <math>c < x_k \leq \xi \leq x_{k+1} < d</math>
: <math>\begin{align}
\psi'(\xi) \geq 0 & \text{ wenn } (p(\xi)q(\xi))' < 0 \\
\psi'(\xi) \leq 0 & \text{ wenn } (p(\xi)q(\xi))' > 0.
\end{align}</math>
Demzufolge wird die Steigung von <math>\psi</math> beeinflusst durch den Wert der Ableitung von <math>(pq)'</math>. Da sich die Steigung von <math>\psi</math> auf <math>\phi^2</math> vererbt, erhält man für den Betrag:
: <math>|\phi(x_{k+1})| \geq |\phi(x_k)| \text{ wenn } (pq)' < 0</math> und
: <math>|\phi(x_{k+1})| \leq |\phi(x_k)| \text{ wenn } (pq)' > 0</math>.
<div align="right"><math>\Box</math></div>

==== Oszillationssatz ====
Seien wie oben <math>\lambda_1, \lambda_2, ...</math> die Eigenwerte eines Sturm-Liouville-Problems über dem Intervall <math>[a,b]</math> mit zugehörigen Eigenfunktionen <math>\psi_1,\psi_2,...</math>. Dann gilt, dass für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> die zugehörige Eigenfunktion <math>\psi_n</math> im offenen Intervall <math>(a,b)</math> genau <math>n-1</math> Nullstellen besitzt. Diese sind alle einfach, es gilt also an jeder der Nullstellen <math>x_1, ..., x_{n-1}</math>, dass
: <math>\psi_n'(x_i) \neq 0, \quad 1 \leq i \leq n-1</math>.
Insbesondere wechselt <math>\psi_n</math> an jeder Nullstelle das Vorzeichen, oszilliert also zwischen positiven und negativen Werten. Ein ähnliches oszillierendes Verhalten zeigen auch Lösungen der homogenen Gleichung

<math>\quad \mathcal{L} \psi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( p(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \psi(x)\bigg) +q_1(x)\psi(x)=0 \qquad</math>

Sind <math>p,q</math> auf ganz <math>[a,\infty)</math> definiert und stetig und erfüllen neben den oben genannten Stetigkeits-/Differenzierbarkeitsbedingungen und der Positivität von <math>p</math> noch die Bedingungen

<math>\quad q(x) > 0, \quad \int_a^\infty \frac{1}{p(x)} dx = \int_a^\infty q(x) dx = \infty</math>,

so haben alle Lösungen <math>\psi</math> der homogenen Gleichung unendlich viele Nullstellen in <math>[a,\infty)</math>. Diese Nullstellen sind alle einfach und haben keinen Häufungspunkt im endlichen<ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch; mit 708 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen, und zahlreichen Beispielen |Auflage=2., durchges. Aufl |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1991 |Reihe=Mathematische Leitfäden |ISBN=978-3-519-12227-2 |Seiten=334 ff.}}</ref>.

==== Vergleichssatz ====
Der Sturmsche Vergleichssatz liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Differentialgleichungen
: '''(1)'''<math>\quad \mathcal{L}_1 \phi = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( p(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \phi(x)\bigg) +q_1(x)\phi(x)=0 \qquad</math>
: '''(2)'''<math>\quad \mathcal{L}_2 \psi = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigg( p(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \psi(x)\bigg) +q_2(x)\psi(x)=0</math>,
wobei für <math>x \isin (c,d) \subseteq (a,b)</math> vorausgesetzt wird
: <math>p(x) > 0 </math> monoton wachsend
: <math>q_1(x) \geq q_2(x) > 0 </math> monoton wachsend.
Wenn <math>\phi</math> eine nicht triviale Lösung der Differentialgleichung <math>\mathcal{L}_1 \phi = 0</math> und <math>\psi</math> eine nichttriviale Lösung von <math>\mathcal{L}_2 \psi = 0</math> ist, dann liegt im Intervall <math>(c, d)</math> zwischen zwei Nullstellen von <math>\phi</math> eine Nullstelle von <math>\psi</math><ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch; mit 708 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen, und zahlreichen Beispielen |Auflage=2., durchges. Aufl |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1991 |Reihe=Mathematische Leitfäden |ISBN=978-3-519-12227-2 |Seiten=331}}</ref>.

=== Beispiel ===
Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung
:<math> -\psi'' = \lambda \psi</math>
auf dem Intervall <math>[0,\pi]</math>, zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen
:<math>\psi(0) = \psi(\pi)=0.</math>

Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz <math>\psi(x) = a\sin( \sqrt \lambda x )</math> für <math>\lambda>0</math> und beliebige <math>a \isin \R</math> gewählt. Wegen <math>\psi(0) = \psi(\pi) = 0</math> ist <math>a \neq 0</math> und <math>\sin( \sqrt \lambda \pi) = 0, </math> also <math>\sqrt \lambda \pi = n \pi</math> und somit <math>\lambda =n^2</math> für <math>n \isin \N</math>. Die Folge der Eigenwerte lautet demnach
:<math>\lambda_n = n^2</math>
und genügt der Weyl-Asymptotik.
Die Folge der Eigenfunktionen ergibt sich, bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten <math>a_n</math>, zu
: <math>\psi_n(x) = a_n \sin(n\, x).</math>

Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum <math>L^2([a,b],\mathrm dx)</math> mit <math>w(x)=1</math> ergibt sich unter Verwendung der [[Formelsammlung Trigonometrie#Produkte der Winkelfunktionen|trigonometrischen Formel]] <math>\textstyle \sin(nx) \; \sin(mx)= \frac{1}{2}\Big(\cos \big( (n-m)x \big) - \cos \big( (n+m)x \big)\Big)</math>:
: <math>\begin{align}
\langle \psi_n , \psi_m \rangle &= \int \overline{\psi_n(x)} \psi_m(x) \mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi} \overline{a_n \sin (nx)} \; a_m \sin (mx) \, \mathrm dx = a_n a_m \int_{0}^{\pi} \sin (nx) \sin (mx) \, \mathrm dx \\
&= \frac{a_n a_m}{2} \int_{0}^{\pi} \bigg( \cos \big((n-m)x\big) - \cos \big((n+m)x\big) \bigg) \, \mathrm dx \\ \\
&= \begin{cases}
\frac{a_n a_m}{2} \bigg[\frac{1}{n-m} \sin \big((n-m)x\big) - \frac{1}{n+m} \sin\big((n+m)x\big) \bigg]_{0}^{\pi} =0 && \text{wenn} \; n \neq m \\ \\
\frac{a_n^2}{2} \Bigg[x - \frac{1}{2n} \sin(2nx) \bigg]_{0}^{\pi} = \frac{a_n^2 \pi}{2} && \text{wenn} \; n=m
\end{cases} \\ \\
&=\frac{a_n^2 \pi}{2} \delta_{nm}.
\end{align}</math>

Hierbei bedeutet <math>\delta_{nm}</math> das [[Kronecker-Delta]] und die Normierung <math>\langle \psi_n , \psi_m \rangle = \delta_{nm}</math> bedingt <math>a_n=\sqrt \frac{2}{\pi}</math>, so dass die normierten Eigenfunktionen die Darstellung
: <math>\psi_n(x) = \sqrt{ \frac{2}{\pi}} \sin(n\, x)</math>
annehmen.

Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die [[Fourierreihe]] mit
: <math>\Psi = \sum_{n=1}^{\infty} \psi_n = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sin(nx).</math>

== Mathematische Theorie ==
Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum [[Lp-Raum|<math>L^2([a,b]; w(x){\rm d}x)</math>]] mit dem
Skalarprodukt

: <math> \langle f, g\rangle := \int_{a}^{b} \overline{f(x)} g(x)w(x)\,{\rm d}x</math>.

In diesem Raum ist <math>\mathcal{L}</math> ein [[selbstadjungiert]]er Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der [[Schwache Ableitung|schwachen Ableitung]]) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

: <math>\begin{align}
\mathfrak{D}(\mathcal{L}) = \{ & f \in L^2([a,b]; w(x){\rm d}x) : f,pf' \in AC[a,b], \, \mathcal{L} f \in L^2([a,b]; w(x){\rm d}x), \\ & , \, \cos(\alpha) f(a) + \sin(\alpha) p(a) f'(a) = \cos(\beta) f(b) + \sin(\beta) p(b) f'(b) = 0\}.
\end{align}</math>

Hierbei bezeichnet <math>AC[a,b]</math> die Menge der auf <math>[a,b]</math> [[Absolut stetige Funktion|absolut stetigen]] Funktionen. Da <math>\mathcal{L}</math> ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die [[Resolvente]]

:<math> (\mathcal{L} - z)^{-1}, \qquad z \in\mathbb{C}</math>,

wobei <math>z</math> kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein [[Integraloperator]] mit stetigem Kern (die [[Greensche Funktion|Green’sche Funktion]] des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein [[kompakter Operator]], und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem [[Spektralsatz]] für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von <math>\mathcal{L}</math> und der Resolvente folgt, da <math>(\mathcal{L}-z)^{-1} \psi = \alpha \psi</math> äquivalent ist zu <math>\mathcal{L} \psi = \lambda \psi</math> mit <math>\lambda= (z+\alpha^{-1})</math> ist.

== Singuläre Sturm-Liouville-Probleme ==
Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem ''singulären Sturm-Liouville-Problem''. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche [[Fouriertransformation]] anstelle von [[Fourierreihe]]).

Wechseln <math>p</math> oder <math>w</math> das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] auf dem Intervall <math>[a,b]</math>, so spricht man von einem ''indefiniten Sturm-Liouville-Problem''.

== Weblinks ==
* Walter Oevel: [http://math-www.uni-paderborn.de/~walter/teachingWS02_03/Kapitel2.pdf ''Sturm-Liouville-Probleme.''] (PDF; 314 kB)

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Reihe=Graduate Studies in Mathematics
|BandReihe=140
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence
|Datum=2012
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Online=[http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ univie.ac.at]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]
|Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen
|Auflage=7.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin
|Datum=2000
|ISBN=3-540-67642-2}}
* [[Harro Heuser]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
* {{Literatur
|Autor=[[Joachim Weidmann]]
|Titel=Lineare Operatoren in Hilberträumen
|Band=Teil 2. Anwendungen
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden
|Datum=2003
|ISBN=3-519-02237-0}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]

Sturm-Liouville-Problem - Versionsgeschichte

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