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2019-06-22T15:52:40Z

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Die '''Stufe''' ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Algebra]] beziehungsweise ihrem Untergebiet der [[Körpertheorie]]. Sie gibt die Anzahl der Quadratzahlen an, die man mindestens aufsummieren muss, um die Zahl <math>-1</math> darstellen zu können.

== Definition ==
Sei <math>F</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. Kann <math>-1</math> als [[Summe]] von [[Quadratzahl|Quadraten]] in <math>F</math> dargestellt werden, dann nennt man die kleinste [[natürliche Zahl]] <math>s</math>, so dass <math>-1</math> die Summe von <math>s</math> Quadraten ist, die Stufe von <math>F</math>. Falls <math>-1</math> nicht als Summe von Quadraten dargestellt werden kann, so setzt man <math>s = \infty</math>.<ref name=Milnor75>{{Literatur | Autor = John Milnor, Dale Husemoller | Titel = Symmetric Bilinear Forms | Jahr = 1973 | Verlag = Springer Berlin Heidelberg | Ort = Berlin, Heidelberg | ISBN = 978-3-642-88332-3 | Seiten = 75 }}</ref>


== Eigenschaften ==
* Ist <math>F</math> ein [[Reeller Körper|nicht-reeller Körper]], dann ist die Stufe von <math>F</math> endlich.

* Für einen nicht-reellen Körper <math>F</math> gilt <math>s(F) = 2^k</math> für ein <math>k \in \mathbb N</math>.

* Es gilt <math>s(F) \leq 2</math> für alle [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>F</math> mit positiver [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]

Stufe (Algebra) - Versionsgeschichte

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