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2024-10-01T14:41:46Z

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Unter '''Studentisierung''' oder '''Studentisieren''' (nach dem Pseudonym „Student“ des Statistikers [[William Sealy Gosset]]) versteht man in der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] eine Transformation der [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] einer [[Zufallsvariable]]n, so dass die resultierenden Werte das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] Null und die [[empirische Varianz]] Eins besitzen. Da die [[empirische Standardabweichung]] der Wurzel der Stichprobenvarianz entspricht, ist sie auch gleich Eins.

Studentisieren ist z. B. notwendig, um unterschiedlich [[Verteilungsfunktion|verteilte]] [[Zufallsvariable]]n miteinander vergleichen zu können.

Sind <math>x_i</math> die <math>n</math> Realisierungen einer Zufallsvariable mit arithmetischem Mittel <math>\overline x</math>, so erhält man die zugehörigen studentisierten Werte <math>z_i</math>, indem man das arithmetische Mittel subtrahiert und durch die Stichprobenstandardabweichung teilt:

:<math> z_i = \frac{x_i - \overline x}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{k}\left(x_k - \overline x\right)^2}} </math>

Für die so erhaltenen Werte gilt:
* arithmetisches Mittel: <math>\overline z = \frac{1}{n} \sum_{i}{z_i} = 0</math>
* Stichprobenvarianz: <math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i}\left(z_i-\overline z\right)^2 = 1</math>.

In vielen [[Statistiksoftware|Statistikprogrammen]] wie [[SPSS]] und [[Statistica]] ist die Möglichkeit des Studentisierens der Messergebnisse bereits eingebaut. Oft wird hierbei fälschlicherweise der Begriff des [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierens]] verwendet, bei der eigentlich eine Zufallsvariable selbst – und nicht deren Realisierungen – auf [[Erwartungswert]] Null und Varianz Eins transformiert wird. Meistens wird von Standardisieren gesprochen, auch wenn in statistischen Auswertungen eigentlich Studentisieren gemeint ist.

== Beispiel ==
{| class="wikitable float-right"
! Nummer (i) || Originalwert (<math>x_i</math>) || Studentisierter Wert (<math>z_i</math>)
|-
| 1 || 3 || 0,5
|-
| 2 || −1 || −0,5
|-
| 3 || 2 || 0,25
|-
| 4 || 4 || 0,75
|-
| 5 || −7 || −2
|-
| 6 || 7 || 1,5
|-
| 7 || 2 || 0,25
|-
| 8 || 5 || 1
|-
| 9 || −2 || −0,75
|-
| 10|| −3 || −1
|}

Die nebenstehende Tabelle enthält 10 Realisierungen einer Zufallsvariablen. Dabei sind einmal die Originalwerte <math>x_i</math> und die zugehörigen studentisierten Werte <math>z_i</math> angegeben.

Für die Originalwerte gilt:
* Arithmetisches Mittel: <math>\overline x := \frac{1}{n} \sum_{i}{x_i} = 1</math>
* Stichprobenvarianz: <math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i}\left(x_i-\overline x\right)^2 = 16</math>

Folglich errechnen sich die zugehörigen studentisierten Werte wie folgt:
<math> z_i=\frac{x_i - 1}{\sqrt{16}} = \frac{x_i - 1}{4} </math>

Für diese so erhaltenen Werte <math>z_i</math> gilt dann tatsächlich:

* Arithmetisches Mittel: <math>\overline z := \frac{1}{n} \sum_{i}{z_i} = 0</math>
* Stichprobenvarianz: <math>\frac{1}{n}\sum\limits_{i}\left(z_i-\overline z\right)^2 = 1</math>

Mit den studentisierten Werten kann man nun sehr leicht beurteilen, ob ein zugehöriger Originalwert auffällig weit weg vom Mittelwert aller Daten ist. So erkennt man, dass der Wert Nummer 5 sehr niedrig ist, da der zugehörige studentisierte Wert <math>-2</math> beträgt. Dies sagt aus, dass der Originalwert von <math>-7</math> zwei Stichprobenstandardabweichungen kleiner ist als der Mittelwert.

{{Absatz}}

== Quellen ==
* Bortz, ''Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler'', 6. Auflage, 2005, Springer
* Falk et al., ''Foundations of statistical analyses and applications with SAS'', 2002, Birkhäuser

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Studentisierung - Versionsgeschichte

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