82.192.251.24: /* Beispiel */Fehler korrigiert. Bei der Cäsiumchloridstruktur handelt es sich um ein sc-Gitter mit einer Basis aus 2 verschiedenen Atomen.

2024-11-03T14:10:34Z

Beispiel: Fehler korrigiert. Bei der Cäsiumchloridstruktur handelt es sich um ein sc-Gitter mit einer Basis aus 2 verschiedenen Atomen.

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Der '''Strukturfaktor''' <math>F_{hkl}</math> ist ein Maß für das [[Streuung (Physik)|Streu]]<nowiki />vermögen einer [[Kristallstruktur #Basis|Kristallbasis]]. Er gibt die relative [[Intensität (Physik)|Intensität]] des durch die [[Laue-Indizes]] <math>h</math>, <math>k</math>, <math>l</math> bestimmten [[Beugung (Physik)|Beugungs]]<nowiki />reflexes an. Der Strukturfaktor hängt ab vom Aufbau der Basis, dem Streuvermögen der Basisatome und ihrer [[Thermische Bewegung|thermischen Bewegung]]. Die Richtung, in welcher die Beugungsreflexe beobachtet werden können, werden von der [[Bragg-Bedingung|Bragg]]- bzw. äquivalent von der [[Laue-Bedingung]] angegeben, die vom reinen Kristallgitter ausgehen (ein punktförmiges Streuzentrum am Gitterpunkt).

* [[Röntgenbeugung]]: Die Streuung der [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Strahlung]] erfolgt an den [[Elektron]]en der [[Atom]]e. Der Strukturfaktor ist die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fouriertransformierte]] der [[Elektronendichte|Elektronenverteilung]] innerhalb einer [[Elementarzelle]].
* [[Elektronenbeugung]]: Die Elektronen werden durch [[Coulomb-Wechselwirkung]] an den [[Atomhülle|Hüllen]]<nowiki />elektronen und den [[Atomkern]]en gestreut. Der Strukturfaktor ist die Fouriertransformierte der [[Ladungsverteilung]] innerhalb einer Elementarzelle.
* [[Neutronenbeugung]]: [[Neutron]]en wechselwirken durch [[starke Wechselwirkung]] mit den [[Atomkern]]en und wegen ihres [[Magnetisches Moment|magnetischen Moments]] mit dem magnetischen Moment der Atome. Der Strukturfaktor ist die Fouriertransformierte der Kernverteilung ([[Nukleon]]en<nowiki />verteilung) und der magnetischen Struktur innerhalb einer Elementarzelle.

== Beschreibung ==
[[Datei:Strukturfaktor Laue-Bedingung.png|mini|Prinzip der Laue-Bedingung:<br />nur bei bestimmten Verhältnissen von <math>\vec r, \vec k</math> und k' [[Interferenz (Physik)|interferieren]] die beiden Strahlen konstruktiv]]

Man wählt einen Referenzpunkt innerhalb der Elementarzelle als Ursprung. Betrachtet werden zwei [[infinitesimal]]e Volumenelemente <math>\mathrm{d}V</math> als Streuzentren, eines am Referenzpunkt <math>\vec{0}</math>, eines bei <math>\vec{r}</math>. Der [[Wellenvektor]] der einfallenden Strahlung sei <math>\vec k</math>, der der gestreuten sei <math>\vec k'</math>. Damit ergibt sich folgender [[Gangunterschied]] (Wegdifferenz):

:<math>\begin{align}
\Delta s (\vec{r}) &= \vec{r} \cdot \frac{\vec{k}'}{k'} - \vec{r} \cdot \frac{\vec{k}}{k}\\
&= \vec{r} \left(\frac{\vec{k}'}{k'} - \frac{\vec{k}}{k} \right)
\end{align}</math>

Der [[Phasenunterschied]] beträgt (die Streuung sei elastisch, also <math>k = k'</math>):

:<math>\varphi(\vec{r}) = 2\pi\frac{\Delta s}{\lambda} = k \, \Delta s = (\vec{k}' - \vec{k}) \cdot \vec{r}</math>

Nach der [[Laue-Bedingung]] können Beugungsreflexe nur beobachtet werden, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem [[Gittervektor]] <math>\vec{G}</math> des [[Reziprokes Gitter|reziproken Gitters]] entspricht:

::<math>\vec{k}' - \vec{k} = \vec{G}</math>.

Dies ergibt eingesetzt:

:<math>\varphi(\vec{r}) = \vec{G} \cdot \vec{r}</math>

Nun integriert man über das Volumen <math>V_{EZ}</math> einer Elementarzelle und gewichtet die Phasenunterschiede <math>\exp\left[i\,\varphi(\vec{r}\,)\right]</math> mit dem Streuvermögen <math>n(\vec{r}\,)</math> jedes Volumenelements (das Streuvermögen ist je nach Beugungsexperiment die Elektronendichte, die Ladungsdichte oder die Kerndichte, siehe Einleitung). Das Integral bezeichnet man als '''Strukturfaktor''' <math>F_{hkl}</math>:

:<math>\begin{align}
F_{hkl} &= \int_{V_{EZ}}n(\vec{r}\,) \, \exp \left[ i \, \varphi( \vec{r}) \right] \mathrm{d}^{3}r\\
&= \int_{V_{EZ}}n(\vec{r}\,) \, \exp \left[ i \, \vec{G} \cdot \vec{r} \right] \mathrm{d}^{3}r
\end{align}</math>

mit der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>.

Die [[Amplitude]] der am Kristall gebeugten Welle ist [[proportional]] zum Strukturfaktor. Er hängt von den [[Laue-Indizes]] <math>h</math>, <math>k</math>, <math>l</math> ab, da für den reziproken Gittervektor gilt: <math>\vec{G} = h\vec{b}_{1} + k\vec{b}_{2} + l\vec{b}_{3}</math>.

Der Strukturfaktor ist die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fouriertransformierte]] des Streuvermögens (z. B. der Elektronendichte):

:<math>F_{hkl}(\vec{G}) = \mathcal{F}\left\{ n(\vec{r}\,)\right\}</math>.

Der Vektor <math>\vec{r}</math> lässt sich als [[Linearkombination]] der primitiven Gittervektoren <math>\vec{a}_{i}</math> schreiben: <math>\vec{r} = u_{1}\vec{a}_{1} + u_{2}\vec{a}_{2} + u_{3}\vec{a}_{3}</math>; und mit der Relation <math>\vec{a}_{i} \cdot \vec{b}_{j} = 2\pi\delta_{ij}</math> lässt sich das [[Skalarprodukt]] <math>\vec{G} \cdot \vec{r}</math> im Exponenten auswerten (<math>V_{EZ}</math> entspricht <math>u_{i}\in [0;1]</math>):

:<math>F_{hkl} = \int^{1}_{0}\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} n(u_{1},u_{2},u_{3}) \, \exp \left[ 2\pi i \left( u_{1}h + u_{2}k + u_{3}l \right)\right] \mathrm{d}u_{1}\mathrm{d}u_{2}\mathrm{d}u_{3}</math>

=== Phasenproblem ===
Der Strukturfaktor ist eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] Größe:

:<math>F = \rho e^{i\gamma}</math>.

Als Ergebnis eines Beugungsexperiments beobachtet man die Intensität der gebeugten Welle, die proportional zum [[Betragsquadrat]] des Strukturfaktors ist:

:<math>I\propto |F_{hkl}|^{2} = \rho^{2}</math>

Somit gehen alle [[Phasenwinkel|Phase]]n<nowiki></nowiki>informationen <math>\gamma</math> verloren, die jedoch benötigt werden, um aus den beobachteten Reflexen das Streuvermögen (bzw. die Elektronendichte) zu rekonstruieren ([[Phasenproblem]]).

Würde <math>F_{hkl}</math> als Ergebnis einer Messung zur Verfügung stehen, so könnte man die gesuchte Größe <math>n(\vec{r})</math> durch nochmalige [[Fourierreihe|Fouriertransformation]] finden:

:<math>n(\vec{r}) = n(u_{1}, u_{2}, u_{3}) = \sum_{h,k,l = -\infty}^{\infty}F_{hkl} \, \exp \left[ -2\pi i \left( u_{1}h + u_{2}k + u_{3}l \right) \right]</math>

Da aber nur <math>|F_{hkl}|^{2}</math> bekannt ist, müssen Näherungsmethoden wie die [[Patterson-Methode]] verwendet werden, um das Phasenproblem zu lösen. Bei der Patterson-Methode wird die nochmalige Fouriertransformation nicht auf <math>F_{hkl}</math> angewendet, sondern auf <math>|F_{hkl}|^{2}</math>.

== Atomarer Streufaktor ==
Der Ortsvektor <math>\vec{r}</math> wird nun zerlegt in einen Anteil <math>\vec{r}_{j}</math> vom Bezugspunkt zum Kern des <math>j</math>-ten Atoms und einen Vektor <math>\vec{\tilde r}</math> vom Kern des <math>j</math>-ten Atoms zum betrachteten Volumenelement.

:<math>\vec{r} = \vec{r}_{j} + \vec{\tilde{r}}</math>

In der Gleichung für den Strukturfaktor wird das Integral über die ganze Elementarzelle aufgespalten in eine Summe über kleinere Integrationsgebiete, nämlich über die Volumina <math>V_{A_{j}}</math> der j einzelnen Atome der Elementarzelle. Dabei ist <math>n_{j}(\vec{\tilde{r}}) = n(\vec{r}_{j} + \vec{\tilde{r}})</math> das Streuvermögen (z. B. die Elektronendichte) des <math>j</math>-ten Atoms:

:<math>\begin{align}
F_{hkl} &= \sum_{j}\int_{V_{A_{j}}}n_{j}(\vec{\tilde{r}} \, ) \, \exp \left[ i \, \vec{G} \cdot (\vec{r}_{j} + \vec{\tilde{r}} \, ) \right] \mathrm{d}^{3}\tilde{r}\\
&= \sum_{j}\exp \left[ i \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{j} \right] \underbrace{\int_{V_{A_{j}}}n_{j}(\vec{\tilde{r}} \, ) \, \exp \left[ i \, \vec{G} \cdot \vec{\tilde{r}} \right] \mathrm{d}^{3}\tilde{r}}_{f_{j}}
\end{align}</math>

Letzteres Integral wird '''atomarer Streufaktor''' (oder auch '''Atom[[Formfaktor (Physik)|formfaktor]]''') <math>f_{j}</math> des <math>j</math>-ten Atoms genannt:

:<math>f_{j} = \int_{V_{A_{j}}}n_{j}(\vec{\tilde{r}} \, ) \, \exp \left[ i \, \vec{G} \cdot \vec{\tilde{r}} \right] \mathrm{d}^{3}\tilde{r}</math>

Damit schreibt sich der Strukturfaktor wie folgt:

:<math>F_{hkl} = \sum_{j}f_{j} \, \exp \left[ i \, \vec{G} \cdot \vec{r}_{j} \right]</math>

Mit oben eingeführter Komponentenschreibweise:

:<math>F_{hkl} = \sum_{j}f_{j} \, \exp \left[ 2\pi i \, \left( u_{j, 1}h + u_{j, 2}k + u_{j, 3}l \right) \right]</math>

Betrachtet man zusätzlich noch die thermische Bewegung der Atome, so ist <math>\vec{r}_{j}</math> zeitabhängig. Nun zerlegt man <math>\vec{r}_{j}</math> in einen mittleren Aufenthaltsort <math>\vec{r}_{j, 0}</math> ([[Gleichgewichtslage]], ruhend) und die [[Auslenkung]] <math>\vec{u}_{j}(t)</math> (zeitabhängig). Letztere führt auf den [[Debye-Waller-Faktor]].

== Beispiel ==
{{Hauptartikel|Systematische Auslöschung}}
Als Beispiel wird der Strukturfaktor für eine [[Cäsiumchloridstruktur]] berechnet. Das Gitter ist [[Kubisches_Kristallsystem #Bravais-Gitter|kubisch-primitiv]] mit 2-atomiger Basis, die primitiven Gittervektoren sind <math>\vec{a}_{1} = a\hat{e}_{x}</math>, <math>\vec{a}_{2} = a\hat{e}_{y}</math>, <math> \vec{a}_{3} = a\hat{e}_{z}</math>. Das eine Basisatom sitzt bei <math>\vec{r}_{1} = \vec{0}</math>, das andere bei <math>\vec{r}_{2} = (1/2)(\vec{a}_{1} + \vec{a}_{2} + \vec{a}_{3})</math>.

:<math>\begin{align}
F_{hkl}
& = \sum_{j=1}^{2}f_{j} \, \exp \left[ 2\pi i \, \left( u_{j, 1}h + u_{j, 2}k + u_{j, 3}l \right) \right] \\
& = f_{1} \, \exp \left[ 2\pi i \, \left( 0 \cdot h + 0 \cdot k + 0 \cdot l \right) \right] + f_{2} \, \exp \left[ 2\pi i \, \left( \frac{1}{2}h + \frac{1}{2}k + \frac{1}{2}l \right) \right] \\
& = f_{1} + f_{2} \, \exp\left[\pi i \, \left( h + k + l \right) \right] \\
& = f_{1} + f_{2} (-1)^{h + k + l} \\
&= \begin{cases}
f_{1} + f_{2}, & \text{wenn } h + k + l \text{ gerade}\\
f_{1} - f_{2}, & \text{wenn } h + k + l \text{ ungerade}
\end{cases}
\end{align}</math>

Ist die Summe der [[Laue-Indizes]] also gerade, so hat der gebeugte Röntgenstrahl eine hohe Intensität, bei ungerader Summe ist die Intensität minimal.

Haben beide Basisatome denselben atomaren Streufaktor <math>f_{1} = f_{2} =: f</math>, so ist bei ungerader Summe die Intensität gleich Null; man spricht von ''vollständiger Auslöschung''. Dies trifft beim [[kubisch raumzentriert]]en Gitter (bcc-Gitter) zu, wenn man es im System des kubisch primitiven Gitters mit zwei gleichen Basisatomen beschreibt:

:<math>
F_{hkl} = \begin{cases}
2 f, & \text{wenn } h + k + l \text{ gerade}\\
0, & \text{wenn } h + k + l \text{ ungerade}
\end{cases}
</math>

== Literatur ==
* Borchardt-Ott, Walter: ''Kristallographie: eine Einführung für Naturwissenschaftler''. Springer Verlag.
* Massa, Werner: ''Kristallstrukturbestimmung''. Teubner Verlag.

{{Normdaten|TYP=s|GND=4183800-2}}

[[Kategorie:Spektroskopie]]
[[Kategorie:Kristallographie]]

Strukturfaktor - Versionsgeschichte

82.192.251.24: /* Beispiel */Fehler korrigiert. Bei der Cäsiumchloridstruktur handelt es sich um ein sc-Gitter mit einer Basis aus 2 verschiedenen Atomen.