imported>Vfb1893: BKL Quadrant aufgelöst

2025-08-09T20:10:50Z

BKL Quadrant aufgelöst

Neue Seite

[[Datei:Gerade strophoide2.svg|mini|hochkant=1.25|Gerade Strophoide: O bei <math display="inline">t=\pm1,</math> S bei <math display="inline">t=0; y=0.</math>]]
Die '''Strophoide''' ([[adjektiv]]isches [[Kunstwort]] von [[Griechische Sprache|griechisch]] ''στροφή, strofí – die [[Strophe]], Wendung, Kurve, Drehung, Biegung''), genauer die '''gerade Strophoide''', ist eine spezielle [[Ebene (Mathematik)|ebene]] [[algebraische Kurve]] 3. Ordnung.

== Gleichungen der geraden Strophoide ==
Im Folgenden ist <math>a</math> eine positive [[reelle Zahl]]. In der Grafik der Strophoide am rechten Rand wird <math>(-a,0)</math> als <math>S</math> bezeichnet. In [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] ist die Strophoide definiert durch<ref>{{Literatur |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Titel=Strophoide |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>
: <math>(a+x)x^2 - (a-x)y^2 = 0</math> (oder <math>(y/x)^2=-(x+a)/(x-a)</math> mit <math>x=0,\,y=0</math>).

Eine [[Parameterdarstellung]] dieser Kurve lautet
: <math>x=\frac{a(t^2-1)}{1+t^2},\qquad y=\frac{a t(t^2-1)}{1+t^2}</math> sowie <math>y=xt. </math><ref><math display="inline">y=\pm x \sqrt[(x+a)/(-x+a)]</math></ref>

Betrachtet man die Strophoide in [[Polarkoordinaten]], so lautet ihre definierende Gleichung
: <math>r=-\frac{a\cos(2\varphi)}{\cos\varphi}</math> mit <math display="inline">\varphi=0\,\,(r=-a), \,\,\pi/2\,\,(r=\infty), \,\,\pi\,\,(r=a), \,\,\frac{3}{2}\pi\,\,(r=-\infty), \,\,2\pi\,\,(r=-a).</math>

== Eigenschaften der geraden Strophoide ==

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze. Vergleich das [[Kartesisches Blatt|Kartesische Blatt]] (Folium of [[René Descartes|Descartes]]).

* Die Punkte der geraden Strophoide sind gekennzeichnet durch die folgende geometrische Eigenschaft: Es seien S der Scheitelpunkt der Kurve und P ein beliebiger Kurvenpunkt, der von S verschieden ist. Bezeichnet man den von S und P verschiedenen Schnittpunkt der Geraden SP mit der Kurve als Q und den Schnittpunkt mit der y-Achse als R, so ist R von P und Q sowie vom Ursprung O gleich weit entfernt.
* Die gerade Strophoide ist [[Symmetrie (Geometrie)|achsensymmetrisch]] bezüglich der x-Achse. Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten <math display="inline">(-a,0)</math>.
* Der [[Koordinatenursprung|Ursprung]] des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d. h., er wird zweimal durchlaufen. Die beiden [[Winkelhalbierende]]n der [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]] des Koordinatensystems stimmen mit den beiden [[Tangente]]n im Ursprung überein.
* Die Gerade mit der Gleichung <math>x = a</math> (in der Skizze gestrichelt) ist [[Asymptote]] der Kurve.
* Die Schleife der geraden Strophoide schließt eine [[Flächeninhalt|Fläche mit dem Inhalt]] <math display="inline">a^2\cdot\left(2-\tfrac{\pi}{2}\right)</math> ein.
* Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat den Flächeninhalt <math display="inline">a^2\cdot \left(2+\tfrac{\pi}{2}\right) </math>. Zusammen macht das <math display="inline">2a\cdot2a</math> Oberfläche.
* Die Strophoide ist außerdem unter den Namen ''Ala'', ''Fokale'', ''harmonische Kurve'' (nach [[Werth (Familienname)|Werth]]), ''Kukumaide'' und ''Pteroides torricellana'' bekannt.

== Verallgemeinerung ==
[[Datei:Allgemeine strophoide5.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Allgemeine Strophoide: orange + rosa Kurven]]
Eine '''Strophoide im allgemeinen Sinn''' lässt sich folgendermaßen definieren mithilfe einer gegebenen Kurve ''C'', eines festen Punktes ''A'' und eines weiteren Punktes ''O'' (''Pol''): Es sei ''L'' eine variable Gerade durch ''O'', welche die gegebene Kurve ''C'' im Punkt ''K'' schneidet. ''P''1 und ''P''2 seien die beiden Punkte auf ''L'', deren Abstand von ''K'' mit dem Abstand zwischen ''A'' und ''K'' übereinstimmt. Der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] solcher Punkte ''P''1 und ''P''2 ist dann die Strophoide von ''C'' in Bezug auf den Pol ''O'' und den festen Punkt ''A''.<ref>[[Dörte Haftendorn]]: ''Kurven erkunden und verstehen.'' Spektrum Akademischer Verlag 2016. S. 58</ref> Man beachte, dass ''AP''1 und ''AP''2 bei dieser Konstruktion einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] einschließen ([[Satz des Thales|Thaleskreis]]).

Im speziellen Fall, in dem ''C'' eine Gerade ist, ''A'' auf ''C'' liegt und ''O'' außerhalb von ''C'', spricht man von einer '''schiefen Strophoide'''. Ist außerdem ''OA'' senkrecht zu ''C'', nennt man die Kurve eine '''gerade Strophoide''', oft auch nur Strophoide (siehe oben).

=== Gleichung in Polarkoordinaten ===
Die Kurve ''C'' sei gegeben durch <math>r = f(\varphi)</math>, wobei der Punkt ''O'' als Ursprung gewählt wird. Außerdem sei ''A'' der Punkt (''a'', ''b''). Ist <math>K = (r \cos\varphi,\ r \sin\varphi)</math> ein Punkt auf der Kurve, so beträgt der Abstand zwischen ''K'' und ''A''
: <math>d = \sqrt{(r \cos\varphi - a)^2 + (r \sin\varphi - b)^2} = \sqrt{(f(\varphi) \cos\varphi - a)^2 + (f(\varphi) \sin\varphi - b)^2}</math>.
Der Punkt auf der Geraden ''OK'' hat den Polarwinkel <math>\varphi</math>, und die Punkte im Abstand ''d'' von ''K'' auf dieser Geraden haben den Abstand <math>f(\varphi) \pm d</math> vom Ursprung. Daher ist die Gleichung der Strophoide gegeben durch
: <math>r = f(\varphi) \pm \sqrt{(f(\varphi) \cos\varphi - a)^2 + (f(\varphi) \sin\varphi - b)^2}</math>

=== Gleichung in kartesischen Koordinaten ===
''C'' sei gegeben durch die Parameterdarstellung (''x''(''t''), ''y''(''t'')). Außerdem sei ''A'' der Punkt (''a'',''b'') und ''O'' der Punkt (''p'', ''q''). Durch Anwendung der Polarkoordinaten-Darstellung erhält man unmittelbar:
: <math>u(t) = p + (x(t)-p)(1 \pm n(t)),\ v(t) = q + (y(t)-q)(1 \pm n(t))</math>,
wobei
: <math>n(t) = \sqrt{\frac{(x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2}{(x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2}}</math>.

== Weblinks ==
{{commonscat|Strophoid}}
* {{MathWorld|id=Strophoid|title=Strophoid}}
* {{MathWorld|id=RightStrophoid|title=Right Strophoid}}
* {{MacTutor|id=Right|title=Right Strophoid|page=cur}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Strophoide - Versionsgeschichte

imported>Vfb1893: BKL Quadrant aufgelöst