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2025-05-09T12:31:50Z

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{{Begriffsklärungshinweis|Zur Zeitschrift siehe [[Österreichs E-Wirtschaft]].}}
[[Datei:Schlörwagen Windkanal Modell.jpg |mini |300px |Im Windkanal an einem Modell des [[Schlörwagen]]s sichtbar gemachte Stromlinien]]
[[Datei:Auto stromlinien.gif |mini |300px |Stromlinienverlauf um ein Auto]]
[[Datei:FlowOverAerofoils W3C.svg |mini |300px |Stromlinienverlauf um ein Tragflügelprofil]]

Die '''Stromlinie''' ist ein Begriff aus der [[Strömungslehre]]. Stromlinien sind geometrische Hilfsmittel zur anschaulichen Beschreibung einer Strömung (einer gerichteten Bewegung von Teilchen oder sich kontinuierlich bewegender [[Fluid]]e). In [[Stationäre Strömung |stationärer Strömung]] ist eine Stromlinie auch der Weg, den ein Fluidelement oder ein kleines im Fluid schwebendes Teilchen nimmt.<ref name="AndersenEberhardt" />

Stromlinien sind die [[Funktionsgraph|Kurve]]n im [[Geschwindigkeitsfeld]] einer [[Strömungsmechanik|Strömung]], deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, das heißt, sie verlaufen in jedem Punkt tangential an das Geschwindigkeitsfeld. Sie vermitteln einen anschaulichen Eindruck des momentanen Strömungsfeldes und weisen auf problematische Strömungsgebiete (z. B. [[Strömungsablösung]]en) hin.

Alle Stromlinien eines [[Fluss (Physik)|Stroms]] bilden zusammen die [[Stromfaden|Stromröhre]].

Die Stromlinien sind zusammen mit [[Bahnlinie]]n, [[Streichlinie]]n und [[Zeitlinie]]n Bestandteile des [[Visualisierung]]skonzeptes „Charakteristische Linien“.

Bei einer stationären Strömung stimmen die Stromlinien mit den Teilchenbahnen überein. Bei der instationären Strömung dagegen nicht, da die Stromlinien ein Bild der momentan vorhandenen Geschwindigkeitsrichtungen zeigen, die Teilchenbahnen hingegen die im Laufe der Zeit von einem Teilchen eingenommenen Geschwindigkeitsrichtungen darstellen.<ref> Prandtl-Führer durch die Strömungslehre, 10. Auflage S. 40 </ref>

Stromlinien lassen sich bei stationären Strömungen experimentell im [[Windkanal]], z. B. bei einer Autoumströmung, sichtbar machen. Meist sieht man im Windkanal allerdings [[Bahnlinie]]n oder [[Streichlinie]]n.

== Eigenschaften ==
* Stromlinien können keinen Knick haben und sich auch nicht schneiden, da in einem Punkt nicht zugleich zwei verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten herrschen können.
* Eine Kontraktion (Zusammenrücken) der Stromlinien bedeutet im Unterschall eine Beschleunigung der Strömung, im Überschall jedoch eine Verzögerung.
* Divergierende Stromlinien zeigen im Unterschall eine Verzögerung der Strömung, im Überschall jedoch eine Beschleunigung.
* Bei gekrümmten Stromlinien nimmt der Druck in zentrifugaler Richtung zu.
* Bei geradlinigen, parallelen Stromlinien gibt es keine Druckänderung quer zur Stromlinie.
* Orthogonal zu Stromlinien verlaufen die Linien konstanten Potentials.

== Berechnung ==
Sei <math>\underline{u}(\underline{x},t)=\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}</math> mit <math>\underline{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}</math> ein dreidimensionales Strömungsfeld.

Die Stromlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zum momentanen Geschwindigkeitsfeld verlaufen. Es gilt also
:<math>\mathrm d\underline{x}\times\underline{u}\equiv 0</math> bzw.

in parameterfreier Darstellung
:<math>\frac{\mathrm dx}{u} = \frac{\mathrm dy}{v} = \frac{\mathrm dz}{w}</math>

== Mathematische Herleitung der Stromlinien-Differentialgleichung ==
Die allgemeine parametrisierte Darstellung einer Stromlinie als Kurve entspricht <math> \underline{x}(\underline{x_0},s,t)</math>, hierbei
ist <math>\underline{x_0}</math> ein beliebiger Startpunkt auf der Stromlinie, <math>s</math> der Kurven- und <math>t</math> der Schar-Parameter. Wird eine explizite Stromlinie zu einem bestimmten Zeitpunkt <math>T</math> betrachtet, wird dieser eingesetzt und somit ist die Kurve vollständig durch den Parameter <math>s</math> beschrieben.

Der Tangenten-Einheitsvektor <math>\underline{\tau}</math> der Kurve entspricht gerade:
:<math>\underline{\tau}= \frac{\mathrm d\underline{x}}{|\mathrm d\underline{x} |} =\frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds} </math>.

Betrachtet man zudem die Geschwindigkeit <math>\underline{u}(\underline{x},t)</math> auf allen Punkten der Stromlinie zu dem gewählten Zeitpunkt <math>{T}</math>, so erkennt man, dass der normierte Vektor der Geschwindigkeit
:<math>\frac{\mathrm \underline{u}}{ | \underline{u} |} = \underline{\tau}</math>
ist.

Setzt man nun diese beiden Ausdrücke für den Tangenten-Einheitsvektor gleich, folgt:
:<math> \underline{\tau} = \frac{\underline{u}}{| \underline{u} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{ | \mathrm d\underline{x} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds } </math>

und somit:
:<math> \frac{\underline{u}}{| \underline{u} |} = \frac{\mathrm d\underline{x}}{\mathrm ds} </math>

oder auch in Tensornotation:
:<math>\frac{\mathrm d{x_{i}}}{\mathrm d s} = \frac{{u_{i}}}{| \sqrt{u_{k} u_{k}} |}</math>.

Diese vektorielle Gleichung führt auf drei skalare Gleichungen:

# <math>\frac{\mathrm d x_1}{\mathrm ds} = \frac{u_1}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} </math>
# <math>\frac{\mathrm d x_2}{\mathrm ds} = \frac{u_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} </math>
# <math>\frac{\mathrm d x_3}{\mathrm ds} = \frac{u_3}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}} </math>

Dividiert man nun die Gleichungen durch einander, so ergibt sich die Form:

(1)/(2): <math> \frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dx_2} = \frac{u_1}{u_2} </math>

(2)/(3): <math> \frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dx_3} = \frac{u_2}{u_3} </math>

(3)/(1): <math> \frac{\mathrm dx_3}{\mathrm dx_1} = \frac{u_3}{u_1} </math>

Durch einfaches Umformen findet man somit die im Abschnitt ''Berechnung'' angegebene Form.

== Bewegungsgleichung senkrecht zur Stromlinie ==
Zur Erzeugung einer gekrümmten Stromlinie in einer stationären Strömung, muss eine entsprechende [[Zentripetalkraft]] vorhanden sein. Diese kommt durch einen Druckgradienten senkrecht zur Stromlinie (d. h. in radialer Richtung) zustande. Der Betrag dieses radialen Druckgradienten ist von der Strömungsgeschwindigkeit <math>c</math>, der Dichte <math>\rho</math> des Fluids und dem Krümmungsradius <math>r_K</math> der Stromlinie abhängig<ref>{{Internetquelle |autor=tec-science |url=https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/bewegungsgleichung-eines-fluids-auf-einer-stromlinie/ |titel=Bewegungsgleichung eines Fluids auf einer Stromlinie |werk=tec-science |datum=2020-04-22 |abruf=2020-05-07 |sprache=de-DE}}</ref>:

:<math>\frac{\partial p}{\partial r}= \frac{\rho \cdot c^2}{r_K}</math>

Der Druck senkrecht zu einer gekrümmten Stromlinie nimmt in radialer Richtung folglich zu.

== Siehe auch ==
* [[Stromlinienform]]
* [[Stromfaden]]
* [[Stromlinienfahrzeug]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Field lines in fluid dynamics|Stromlinie}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="AndersenEberhardt">{{Internetquelle |autor=D. Andersen, S. Eberhardt |url=http://www.allstar.fiu.edu/aero/Flightrevisited.pdf |titel=A Physical Description of Flight; Revisited |hrsg=www.allstar.fiu.edu |datum=2009 |sprache=en |format=pdf; 483 kB |zugriff=2017-07-29 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20130711014943/http://www.allstar.fiu.edu/aero/Flightrevisited.pdf |archiv-datum=2013-07-11 |offline=ja }}</ref>
</references>

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]

Stromlinie - Versionsgeschichte

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