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2025-11-19T03:13:52Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die quantenmechanische Streutheorie, für andere Verwendungen siehe [[Streuung (Physik)]].}}
Als '''Streutheorie''' wird in der Physik die theoretische Beschreibung von [[Streuung (Physik)|Streuvorgängen]] bezeichnet. Je nachdem welche Teilchen, Strahlen oder Felder an der Streuung beteiligt sind, gibt es unterschiedliche Arten von Streuvorgängen.<ref>Streutheorie in vielen verschiedenen Bereichen wird zum Beispiel behandelt in Roy Pike, Pierre Sabatier (Hrsg.): ''Scattering: Scattering and Inverse Scattering in Pure and Applied Science'', Academic Press 2002</ref>

== Elementare quantenmechanische Streutheorie ==
In der Quantenmechanik wird ein Objekt (z. B. ein [[Elektron]]) immer durch einen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] beschrieben. Dieser setzt sich zusammen aus einem Ortszustand <math>\vert \text{Ort} \rangle,</math> einem [[Spin]]<nowiki/>zustand <math>\vert s, m_s\rangle</math> und vielen anderen physikalischen Größen (z. B. dem [[Isospin]]):

:<math>\vert \text{Gesamtzustand} \rangle = |\text{Ort}\rangle \otimes |\text{Spin}\rangle \dots</math>.

Im Folgenden wird nur der Ortszustand <math>| \text{Ort} \rangle</math> betrachtet. Die [[Wellenfunktion]] lässt sich dann als Komponenten-Darstellung <math>\psi(x)=\langle x| \text{Ort}\rangle</math> des Ortszustands bezüglich einer Ortsbasis <math>| x\rangle</math> schreiben. Die Beschränkung auf den Ortszustand ist unter folgenden Annahmen gerechtfertigt:
* keine internen [[Freiheitsgrad]]e (Spin, [[angeregter Zustand]], …)
* unterscheidbare Teilchen (Symmetrie der Wellenfunktion für [[Boson]]en bzw. [[Fermion]]en wird hier nicht berücksichtigt), d. h. ''keine'' [[ununterscheidbare Teilchen]]
* keine Mehrfachstreuung.

Ähnlich wie in der klassischen Mechanik kann das [[Zweiteilchenproblem]] zunächst auf ein äquivalentes [[Einteilchenproblem]] reduziert werden, bei dem ein einzelnes Quantenobjekt auf ein im Ursprung ruhendes [[Kraftzentrum]] zuläuft. Ausgangspunkt der Streutheorie ist die Beschreibung der Wechselwirkung durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] <math>V(\vec{x})</math> und den davon abgeleiteten [[Hamiltonoperator]]:

:<math>H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{x})</math>

Die Wellenfunktion des einlaufenden Teilchens wird zu Beginn des Streuprozesses <math>(t=t_0)</math> durch ein [[Wellenpaket]] beschrieben:

:<math>\psi_0(\vec{x},t_0) = \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\mathrm d^3 \vec k}{(2\pi)^3} a_\vec{k} e^{\mathrm i\vec{k}\cdot\vec{x}} </math>

Diese [[Fouriertransformation|Fourierdarstellung]] des Teilchens durch [[ebene Welle]]n kann auch über die stationären Zustände (die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] des Hamiltonoperators) erfolgen:

:<math> H\psi_\vec{k} = E_k\psi_\vec{k},</math>

wobei die Eigenwerte mit dem [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}</math> zusammenhängen über

:<math>E_k = \frac{\hbar^2k^2}{2m}\geq 0</math>

Diese Zustände werden als '''Streuzustände''' bezeichnet, da ein Zustand mit positiver Energie ungebunden ist und auch außerhalb der Reichweite des Potentials eine endliche [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] besitzt. Ein einzelner Streuzustand entspricht physikalisch zunächst einer wenig plausiblen Situation, da die [[Wahrscheinlichkeitsstromdichte]]

:<math> \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left(\psi^*\vec\nabla\psi-\psi\vec\nabla\psi^*\right)</math>

verschwindet, also stets die gleiche Menge des Teilchens auf das Streuzentrum zu- wie abfließt. Das ist aber notwendig, da ein stationärer Zustand einer [[stehende Welle|stehenden Welle]] analog ist, wie man sie z. B. aus der [[Akustik]] kennt. Erst durch Überlagerung gelangt man zu der anschaulichen Situation eines zunächst einlaufenden und danach gestreuten Wellenpaketes. Die stationäre [[Schrödinger-Gleichung]] führt auf die [[Helmholtz-Gleichung]] und deren inhomogene Lösung auf eine implizite [[Integralgleichung]], die auf die [[asymptotisch]]e Form der Streuzustände führt:

:<math>\lim_{r\to\infty} \psi_{\vec{k}}(\vec{x}) = e^{\mathrm i\vec{k}\cdot\vec{x}} + f_{\vec{k}}(\theta, \phi)\frac{e^{\mathrm ikr}}{r}</math>

Dieses asymptotische Verhalten, dass sich in großer Entfernung vom Streuzentrum die Wellenfunktion aus einer ungestört durchlaufenden ebenen Welle und einer auslaufenden [[Kugelwelle]] zusammensetzt, bezeichnet man auch als '''Sommerfeldsche Randbedingung'''. Die physikalische Information über das Streupotential liegt in der [[Streuamplitude]] <math>f_\vec{k}(\theta,\phi),</math> genauer in ihrem [[Betragsfunktion|Betrag]], dem durch [[Streuexperiment]]e zugängigen differentiellen [[Wirkungsquerschnitt]]

:<math>\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left|f_{\vec{k}}(\theta, \phi)\right|^2.</math>
Er gibt das Verhältnis zwischen den in einen Raumwinkel gestreuten auslaufenden Teilchen pro Zeit und der Stromdichte der einlaufenden Teilchen an. Für die Berechnung des vollen Wirkungsquerschnitts daraus siehe [[Wirkungsquerschnitt]].

Im Falle eines [[Zentralpotential]]s ist der [[Drehimpuls]] eine [[Erhaltungsgröße]], und man entwickelt die Wellenfunktion nach simultanen Eigenzuständen von <math>H, \,L^2</math> und <math>L_z.</math> Die Streuzustände heißen dann [[Partialwelle]]n und lassen sich, wie auch die nun nur noch vom Winkel <math>\theta</math> abhängige Streuamplitude und der Streuquerschnitt, nach [[Legendre-Polynom]]en entwickeln, was man auch als [[Streuamplitude #Partialwellenentwicklung|Partialwellenentwicklung]] bezeichnet. Eine andere Methode zur Berechnung der Streuamplitude ist die [[Bornsche Näherung]].

== Streuproblem in der Quantenmechanik ==
[[Datei:Vergleich inverses und direktes Streuproblem.png|mini|Schematische Darstellung der beiden Ansätze zur Lösung des quantenmechanischen Streuproblems.]]
Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht in der Suche nach der [[Fundamentale Wechselwirkung|Wechselwirkung]], die einem [[Streuprozess]] zweier quantenmechanischer Teilchen, eines Projektils und eines Targets, zugrunde liegt.

Wie in der klassischen Mechanik kann auch das quantenmechanische Streuproblem einer Masse <math>m_1</math>an einer Masse <math>m_2</math> auf die Streuung eines fiktiven Teilchens mit der reduzierten Masse <math>\mu={m_1 m_2 \over m_1+m_2}</math> in einem [[Potenzialfeld]] <math>V(\vec{r})</math>zurückgeführt werden.<ref>{{Literatur |Autor=A. S. Davydov |Titel=Quantenmechanik |Auflage=7. Aufl |Ort=Berlin |Datum=1987 |ISBN=978-3-326-00095-4 }}</ref>

Bei der sogenannten [[Elastischer Stoss|elastischen]] Streuung ändern sich die intrinsischen [[Quantenzahl]]en von Projektil und Target nicht. Bei der [[Unelastischer Stoß|unelastischen]] Streuung treten beispielsweise die intrinsischen [[Drehimpuls (Quantenmechanik)|Drehimpulse]] der Teilchen mit dem [[Bahndrehimpuls]] der [[Relativbewegung]] in Wechselwirkung. Dabei können verschiedene innere Zustände der Teilchen angeregt werden. Zum Beispiel können Projektil, Target oder beide in Rotation versetzt werden oder Vibrationsschwingungen ausführen. Bei der unelastischen Streuung kann es auch zum Teilchenaustausch zwischen Projektil und Target kommen, was als [[Transferreaktion]] bezeichnet wird.

Die einzelnen Reaktionen verlaufen über einen sogenannten '''Streukanal'''. Ein Kanal ist durch die Angabe aller relevanter Quantenzahlen festgelegt, welche die entsprechende Reaktion beschreiben. Dazu gehören die Ladungs- und Massenzahlen der streuenden Teilchen, ihre Drehimpulse und deren Kopplung, die Wellenzahl sowie die Energie der Relativbewegung.

Als Eingangskanal wird der Kanal bezeichnet, dessen Quantenzahlen den Zustand der Teilchen zu Beginn der Streuung kennzeichnen. Die Quantenzahlen des Ausgangskanals beschreiben den Zustand nach der Streuung. Elastische Streuung liegt also vor, wenn der Eingangskanal mit dem Ausgangskanal identisch ist.

Ein Kanal heißt ''offen'' wenn die [[kinetische Energie]] der Relativbewegung größer ist als die Anregungsenergie des Kanals (und er außerdem der Drehimpuls- und Impulserhaltung gehorcht). Dann ist die Wellenzahl [[Reelle Zahl|reell]]. Ist die Anregungsenergie eines Zustandes größer als die kinetische Energie der Relativbewegung, wird die Kanalenergie negativ. Kanäle mit negativer Energie heißen ''geschlossen'' (wie allgemein alle Kanäle, die nicht offen sind) und ihre Kanalwellenzahlen sind rein [[Imaginäre Zahl|imaginär]]. Nur der offene Kanal ist energetisch bei der Streuung zugänglich.<ref>[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/streukanal/14040 Streukanal], Spektrum Lexikon der Physik</ref>

Im Experiment ist der differentielle Wirkungsquerschnitt messbar. Das Streuproblem in der Quantenmechanik besteht darin, ein Potential <math>V(\vec{r})</math> zu finden, das den gemessenen Wirkungsquerschnitt erklären oder sogar Ergebnisse anderer Experimente vorhersagen kann.

Dabei können zwei grundsätzlich unterschiedliche Vorgehensweisen unterschieden werden, nämlich die Lösung des direkten und die Lösung des [[Inverses Streuproblem der Quantenmechanik|inversen Streuproblems]].

Bei der Lösung des direkten Streuproblems wird aus einem angenommenen Potential (z. B. [[Woods-Saxon-Potential]]) die [[S-Matrix]] und aus dieser ein theoretischer Wirkungsquerschnitt berechnet. Die Parameter des Potentials werden an den experimentellen Wirkungsquerschnitt [[Ausgleichsrechnung|gefittet]]. Das ist die typische Anwendung bei Streuexperimenten. Der einfachste Fall ist oben behandelt.

Wird aus dem experimentellen Wirkungsquerschnitt die S-Matrix und aus dieser das Potential berechnet, so wird das inverse Streuproblem gelöst.

== Literatur ==

=== Skripte ===

* {{Literatur |Autor=Jan Plefka |Titel=Fortgeschrittene Quantentheorie |Ort= |Datum=2014 |Online=https://people.physik.hu-berlin.de/~plefka/lehre/qm2.pdf}}
* {{Literatur |Autor=Hendrik van Hees |Titel=Streutheorie |Datum=1997 |Online=https://itp.uni-frankfurt.de/~hees/publ/streu.pdf}}

=== Moderne Werke ===

* {{Literatur |Autor=[[Jörn Bleck-Neuhaus]] |Titel=Stoßprozesse quantenmechanisch |Sammelwerk=Elementare Teilchen |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-642-32578-6 |DOI=10.1007/978-3-642-32579-3_5 |Seiten=119–154}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Bongaarts]] |Titel=Scattering Theory |Sammelwerk=Quantum Theory |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2015 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-09560-8 |DOI=10.1007/978-3-319-09561-5_14 |Seiten=217–233}}
* {{Literatur |Autor=[[Reiner M. Dreizler]], Tom Kirchner, Cora S. Lüdde |Titel=Streutheorie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik: Eine Einführung |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57896-4 |DOI=10.1007/978-3-662-57897-1}}
* {{Literatur |Autor=[[Bogdan Povh]], [[Klaus Rith]], Christoph Scholz, Frank Zetsche, Werner Rodejohann |Titel=Streuung |Sammelwerk=Teilchen und Kerne |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2014 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-642-37821-8 |DOI=10.1007/978-3-642-37822-5_4 |Seiten=43–55}}
* {{Literatur
|Autor= [[Bogdan Povh]], Mitja Rosina
|Titel=Streuung und Strukturen – Ein Streifzug durch die Quantenphänomene
|Auflage=
|Verlag=SpringerSpectrum
|Ort=Berlin
|Datum=
|ISBN=978-3-642-55962-4
|Seiten=}}

=== Klassiker und ältere Werke ===

* {{Literatur |Autor=Werner O. Amrein, [[Josef-Maria Jauch|Josef M. Jauch]], Kalyan B. Sinha |Titel=Scattering Theory in Quantum Mechanics |Verlag=W. A. Benjamin |Ort=Reading, Mass |Datum=1977 |Sprache=en |Reihe=Lecture notes and supplements in physics |BandReihe=16 |HrsgReihe=David Pines |ISBN=978-0-8053-0202-8 |Online=https://archive.org/details/scatteringtheory0000amre}}
* {{Literatur |Autor=[[Alexander Sergejewitsch Dawydow|Aleksandr S. Dawydow]] |Titel=Theorie des Atomkerns |Auflage=1. Aufl. |Verlag=Dt. Verl. d. Wiss. |Ort=Berlin |Datum=1963 |Reihe=[[Hochschulbücher für Physik]] |BandReihe=35 |HrsgReihe=Otto Lucke, Robert Rompe |Online=https://katalog.ub.uni-leipzig.de/Record/0-1081018011}}
* {{Literatur |Autor=J. E. G. Farina |Titel=Quantum Theory of Scattering Processes |Hrsg=R. McWeeny |Verlag=Pergamon Press |Datum=1973 |Sprache=en |Reihe=The International Encyclopedia of Physical and Chemical Physics (Topic 2. Classical and Quantum Mechanics) |BandReihe=4 |Online=https://archive.org/details/quantumtheoryofs0000fari}}
* {{Literatur |Autor=[[John Robert Taylor (Physiker)|John R. Taylor]] |Titel=Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions |Auflage=Reprint |Verlag=Robert E. Krieger Publishing Company |Ort=Malabar, FL |Datum=1983 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/scatteringtheory0000tayl}}
* {{Literatur |Autor=[[Marvin Goldberger|Marvin L. Goldberger]], [[Kenneth M. Watson]] |Titel=Collision Theory |Verlag=Dover Publications |Ort=Mineola, NY |Datum=2004 |Sprache=en |ISBN=978-0-486-43507-7 |Online=https://books.google.de/books?id=4pnrHN8Y1AgC&lpg=PP1&pg=PP1#v=onepage&q&f=false|Originaljahr=1975|Originaltitel=Collision Theory}}
* {{Literatur |Autor=Charles J. Joachain |Titel=Quantum Collision Theory |Verlag=North-Holland Publishing Company |Datum=1975 |Sprache=en |ISBN=0-7204-0294-8 |Online=https://archive.org/details/JoachainQuantumCollisionTheory}}
* {{Literatur |Autor=[[Nevill Francis Mott|N. F. Mott]], [[Harrie Massey|H. S. W. Massey]] |Titel=The Theory Of Atomic Collisions |Auflage=2. |Verlag=Calrendon Press (OUP) |Ort=Oxford |Datum=1949 |Sprache=en |Reihe=The International Series of Monographs on Physics |Online=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.3748/}}
* {{Literatur |Autor=[[Roger G. Newton]] |Titel=Scattering Theory of Waves and Particles |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1982 |Sprache=en |ISBN=978-3-642-88130-5 |DOI=10.1007/978-3-642-88128-2}}

* {{Literatur |Autor=[[John M. Blatt]], [[Victor F. Weisskopf]] |Titel=Formal Theory of Nuclear Reactions |Sammelwerk=Theoretical Nuclear Physics |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1979 |Sprache=en |ISBN=978-1-4612-9961-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-9959-2_10 |Seiten=517–564}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Streutheorie| ]]

Streutheorie - Versionsgeschichte

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