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2026-02-16T11:50:29Z

Diffuse Strahler: anführungszeichen

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{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Strahldichte
|Größenart=
|Formelzeichen= <math>L</math>, <math>L_\mathrm e</math>
|Dim=
|AbgeleitetVon=
|SI= [[Watt (Einheit)|W]] / (m²·[[Steradiant|sr]])
|SI-Dimension= [[Masse (Physik)|M]]·[[Zeit|T]]−3
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Die '''Strahldichte'''<ref name="IEV" /> oder '''Strahlungsdichte''' ''L'' ({{enS|radiance}}<ref name="IEV" />) liefert detaillierte Information über die Orts- und Richtungsabhängigkeit der von einer Sendefläche abgegebenen Strahlung.

== Definition ==

=== Mathematische Definition ===

[[Datei:Infrared dog.jpg|mini|Die meisten Objekte geben von verschiedenen Stellen d''A'' ihrer Oberfläche unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.]]
[[Datei:uv-LED.jpg|mini|Die meisten Objekte geben in verschiedene Richtungen dΩ unterschiedlich viel Strahlungsleistung ab.]]

Die Strahldichte <math>L(\beta, \varphi)</math> gibt an, welche Strahlungsleistung <math>\mathrm{d}^2 \Phi</math> von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\beta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement <math>\cos(\beta) \mathrm{d}A</math> und pro [[Raumwinkel]]element <math>\mathrm{d}\Omega</math> ausgesendet wird:

:<math>L(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\cos(\beta) \mathrm{d}A\ \cdot \mathrm{d}\Omega}\,.</math>

<math>\beta</math> ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und [[Flächennormale]].

Anders ausgedrückt<ref name="IEV" /> ist die Strahldichte <math>L</math> definiert als die Flächendichte der [[Strahlstärke]] <math>I</math>, bezogen auf die projizierte abstrahlende Fläche:
:<math>L(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm d I(\beta, \varphi)}{\mathrm d A \,\cos(\beta)}\,,</math>
wobei die Strahlstärke wiederum die [[Strahlungsleistung]] <math>\Phi</math> bezogen auf den [[Raumwinkel]] <math>\Omega</math> ist:
:<math>I(\beta, \varphi) = \frac{\mathrm d \Phi(\beta, \varphi)}{\mathrm d \Omega}\,.</math>

Die [[Internationales Einheitensystem|SI-Einheit]] der Strahldichte ist W / (m2·sr).

Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um [[Wärmestrahlung|(thermische oder nichtthermische) Eigenemission]], um [[Transmission (Physik)|transmittierte]] oder [[Reflexion (Physik)|reflektierte]] Strahlung oder eine Kombination daraus handelt.
Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.<ref name="DIN9288">DIN EN ISO 9288: ''Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen.'' Beuth Verlag, August 1996</ref> Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.

=== Diffuse Strahler ===

Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt von den physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche ab. Hinzu kommt der Einfluss der Geometrie: Ein schräg stehendes abstrahlende Flächenelement erscheint um den Faktor <math>\cos(\beta)</math> perspektivisch verkürzt. Die Division durch diesen Faktor rechnet den geometrischen Effekt heraus; die Strahldichte beschreibt daher lediglich die Richtungsabhängigkeit, die sich aufgrund der Oberflächeneigenschaften ergibt. Oberflächen, deren Strahldichte in alle Richtungen gleich ist

:<math>L(\beta, \varphi) = \text{const.}</math>,

deren Leistung also gemäß <math>\cos(\beta)</math> abgestrahlt wird, nennt man „diffuse Strahler“ oder „[[Lambertsches Gesetz|Lambert-Strahler]]“.

=== Photometrische Entsprechung ===

Die entsprechende Größe der [[Photometrie]] ist die [[Leuchtdichte]] <math>L_\mathrm v</math>, bei der zusätzlich die [[V-Lambda-Kurve|Empfindlichkeit des menschlichen Auges]] berücksichtigt wird. Zur Abgrenzung schreibt man die Strahldichte auch als <math>L_\mathrm e</math>.

=== Spektrale Strahldichte ===
Die '''spektrale Strahldichte''' (engl. ''spectral radiance'')<ref name="IEV052" /> <math>L_{\nu}(\theta, \varphi, \nu)</math> (Einheit: W·m−2·Hz−1·sr−1) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz <math>\nu</math> in die durch den [[Kugelkoordinaten|Polarwinkel]] <math>\theta</math> und den [[Kugelkoordinaten|Azimutwinkel]] <math>\varphi</math> gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro [[Raumwinkel]] und pro Frequenzbreite aussendet.

Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als <math>L_{\lambda}(\beta, \varphi, \lambda)</math> (Einheit: W·m−3·sr−1) bezogen auf das ''Einheits-Wellenlängenintervall''.<ref name="IEV052" />

Die spektrale Strahldichte liefert die detaillierteste Darstellung der Strahlungseigenschaften eines Strahlers. Sie beschreibt explizit die Richtungsabhängigkeit und die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit der abgegebenen Strahlung. Aus der spektralen Strahldichte lassen sich die anderen [[Radiometrie#Radiometrische Größen|Strahlungsgrößen]] durch Integration über die Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über das relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder die Strahldichte, welche daher, wenn sie von der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, auch Gesamtstrahldichte genannt wird.

== Radiometrisches und photometrisches Grundgesetz ==

Das [[Photometrisches Grundgesetz|radiometrische und photometrische Grundgesetz]] besagt, dass die [[Leuchtdichte]] auf dem Weg von der Lichtquelle zur beleuchteten Fläche unverändert bleibt. In der Radiometrie gilt dies analog:

Die Strahldichte am Ort des Senders in Richtung des Empfängers ist gleich der Strahldichte am Ort des Empfängers aus Richtung des Senders.

Für eine detaillierte Beschreibung siehe [[Leuchtdichte#Photometrisches Grundgesetz]].

== Lambertscher Strahler ==

Die Ausstrahlung einer Abstrahlfläche <math>A</math> in einen Raumwinkel <math>\Omega</math> ergibt sich aus der Definitionsgleichung für die Strahldichte durch [[Integralrechnung|Integration]] über <math>\mathrm{d}A</math> und <math>\mathrm{d}\Omega</math>:

: <math>\Phi = \int_{\Omega} \int_A L(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta) \mathrm{d}A \cdot \mathrm{d}\Omega = \int_{\Delta\beta} \int_{\Delta\varphi} \int_A L(\beta, \varphi) \cdot \cos(\beta)\sin(\beta) \cdot \mathrm{d}A \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi\,</math>.

Dabei wurde die Darstellung des Raumwinkelelements in [[Kugelkoordinaten#Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement|Kugelkoordinaten]] verwendet:

: <math>\mathrm{d}\Omega = \sin(\beta) \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi</math>

Da <math>L</math> im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche <math>A</math> und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler ist, wenn also die Strahldichte orts- und richtungsunabhängig ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl <math>L</math> und kann vor das Integral gezogen werden:

: <math>\Phi = A \cdot L \int_{\Omega} \cos(\beta) \ \mathrm{d} \, \Omega</math>

Das Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels <math>\Omega</math> ab und kann unabhängig von <math>L</math> gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfänger''geometrie'' abhängige allgemeine [[Sichtfaktor]]en ermittelt werden.

Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert <math>\pi</math> und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche <math>A</math> in den gesamten Halbraum ist einfach:

: <math>\Phi = \pi \, A \, L\;\;</math> (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)

== Schwarzer und grauer Strahler ==

Ist die Strahlfläche ein [[Schwarzer Körper|Schwarzer Strahler]], so lässt sich die Strahldichte nach dem [[Plancksches Strahlungsgesetz|planckschen Strahlungsgesetz]] berechnen; ist sie ein [[Grauer Körper|Grauer Strahler]], so ist die plancksche Strahldichte um den [[Emissionsgrad]] abzumindern.

''Formeln: siehe [[Plancksches Strahlungsgesetz]]''

== Bezug zu anderen radiometrischen Größen und zur Photometrie ==

{{Radiometrische und photometrische Größen}}

== Literatur ==
* H. D. Baehr, K. Stephan: ''Wärme- und Stoffübertragung.'' 5. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, Kap. 5: Wärmestrahlung.

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="IEV">
[https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=845-21-049 electropedia], [[Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch]] (IEV) der [[International Electrotechnical Commission]]: Eintrag 845-21-049 (Bereich „Beleuchtung“) hat die Übersetzung: ''radiance'' = „Strahldichte“
</ref>
<ref name="IEV052">
[https://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=845-21-052 electropedia], [[Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch]] (IEV) der [[International Electrotechnical Commission]]: Eintrag 845-21-052
</ref>
</references>

[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Strahlung]]

Strahldichte - Versionsgeschichte

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