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2025-03-11T08:52:13Z

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[[Bild:HittingTimes1.png|mini|300px|Hitting time als Beispiel für eine Stoppzeit]]
In der [[Stochastik]] bezeichnet der Begriff der '''Stoppzeit''' eine spezielle Art von [[Zufallsvariable]]n, die auf [[Filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum|filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen]] definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozesse]] (beispielsweise bei der [[Lokalisierung (Stochastik)|Lokalisierung]] von Prozessklassen oder Untersuchungen von [[Gestoppter Prozess|gestoppten Prozessen]]), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für [[Option (Wirtschaft)#Ausübungsarten|amerikanische Optionen]]. Eine Stoppzeit wird auch als '''Optionszeit''' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Heinz Bauer |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Datum=2002 |Fundstelle=§ 49. ''Optionszeiten und Optional Sampling'', S. 443}}</ref>

Eine Stoppzeit ist eine vom Zufall abhängende Zeit <math>\tau</math>, bei der zu jedem Zeitpunkt <math>t</math> bei bekannter Vergangenheit des stochastischen Prozesses bis zum Zeitpunkt <math>t</math> entschieden werden kann, ob das Ereignis <math>\{\tau \leq t \}</math> eingetreten ist oder nicht. Eine Stoppzeit wird daher auch als eine ''nicht von der Zukunft abhängende zufällige Zeit'', als eine ''nicht vorgreifende Zeit'' oder eine ''Markowsche Zeit'' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage=5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Stoppzeit (stopping time)'', S. 425–426}}</ref>
In der aus dem Russischen in das Englische übersetzten Fachliteratur finden sich auch die Bezeichnungen ''Markov moment'' (dt. '''Markow-Moment''') oder Markov time (dt. '''Markow-Zeit''')<ref> {{EoM| Autor = A.N. Shiryaev| Titel = Markov moment| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Markov_moment| id = }} </ref>.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Wahrscheinlichkeitsraum ]] <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math>.
=== Diskreter Fall ===
Ist eine [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] <math> \mathbb F=(\mathcal F_n)_{n \in \N_0} </math> in <math> \mathcal A </math> gegeben, so heißt eine [[Zufallsvariable]]
:<math> \tau \colon \Omega \to \N_0 \cup \{\infty\} </math>

eine Stoppzeit (bezüglich <math> \mathbb F </math>), wenn
:<math> \{\tau = n\} = \{\omega \in \Omega : \tau(\omega) = n\} \in \mathcal F_n \text{ für alle } n \in \N_0</math>

ist.

=== Allgemeiner Fall ===
Gegeben sei eine geordnete Indexmenge <math> T </math>, die ein Intervall aus <math> [0,\infty] </math> ist. Ist eine Filtrierung <math> \mathbb F= (\mathcal F_t)_{t \in T} </math> in <math> \mathcal A </math> gegeben, so heißt eine Zufallsvariable
:<math> \tau \colon \Omega \to T </math>

eine Stoppzeit (bezüglich <math> \mathbb F </math>), wenn

:<math>\{\tau \le t\} = \{\omega \in \Omega : \tau(\omega ) \le t \} \in \mathcal F_t \text{ für alle } t \in T</math>.

=== Endliche Stoppzeit ===

Eine Stoppzeit <math> \tau </math> heißt eine '''endliche Stoppzeit''', wenn
:<math> P(\tau < \infty)=1 </math>

ist.

=== Bemerkung ===
Zu beachten ist, dass die Eigenschaft, eine Stoppzeit zu sein, keine Eigenschaft der Zufallsvariable alleine, sondern eine Eigenschaft der Zufallsvariable in Verbindung mit einer Filtrierung ist. Daher muss bei Angabe oder Definition immer die Filtrierung mit angegeben werden.

== Interpretation ==
Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

== Beispiele ==
* Ein [[Glücksspiel]]er beginnt zum Zeitpunkt <math>t = 0</math> mit einem Startkapital von 10 € zu spielen; dabei absolviert er jede Minute ein Spiel (das der Einfachheit halber selbst keine Zeit in Anspruch nimmt), bei dem er mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Euro gewinnt und ansonsten einen Euro verliert (der Kontostand des Spielers ist dann ein [[Martingal]]). Die Wartezeit, bis der Spieler sein gesamtes Geld verspielt hat, ist dann ein Beispiel für eine Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtrierung des Experiments: Zu jedem Zeitpunkt weiß der Spieler, ob er bereits pleite ist oder nicht. Dagegen wäre die Wartezeit bis zum Augenblick seines vorletzten Spiels keine Stoppzeit: In dem Moment, da man sein vorletztes Spiel absolviert, weiß man noch nicht, dass das nächste Spiel das letzte sein wird.

* Die Trefferzeit (''hitting-time'') eines Wiener-Prozesses <math>(W_t)_{t\ge 0}</math> mit Drift <math>\mu</math> zum Level <math>a > 0</math> ist definiert als <math>\tau_a(\omega) = \inf\{t\ge 0 : W_t(\omega) = a\}</math>.
:<math>\tau_a</math> ist eine Stoppzeit. Sie ist nach einer [[Inverse Gauß-Verteilung|inversen Gauß-Verteilung]] verteilt, die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichte]] ist
:<math>f_{IG}(t)=\frac{a \exp(a \mu)}{\sqrt{2\pi}}t^{-3/2}\exp\left(-\frac{1}{2}(a^2 t^{-1}+\mu^2 t)\right),\quad t>0</math>.

[[Bild:HittingTimes2dim.png|mini|Beispiel einer hitting time: Die zweidimensionale Brownsche Bewegung berührt irgendwann die Ellipse.]]
* Ist allgemeiner <math>(X_t)_{t \ge 0}</math> ein reellwertiger, [[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptierter]] [[Càdlàg-Prozess]], also ein [[stochastischer Prozess]], dessen Pfade alle rechtsseitig [[stetig]] sind und Grenzwerte von links besitzen, und ist <math>A \subseteq \R </math> eine [[abgeschlossene Menge]], so ist die ''Treffzeit'' von <math>X</math> in <math>A</math>, definiert als
:<math> \tau_A(\omega) := \inf\{ t \ge 0: \; X_t(\omega) \in A \} </math>

:eine Stoppzeit.<ref>Dies ist im angelsächsischen Sprachraum als ''Début-Theorem'' bekannt (''Début'' ist synonym zu ''Treffzeit'' bzw. ''(Erst-)Eintrittszeit''). Im Deutschen gibt es für dieses Resultat keine einheitliche Bezeichnung. In Hoffmann, ''Stochastische Integration'', 2016, S. 8 wird der Name übernommen.</ref> <math> \tau_A</math> gibt also den [[Infimum|infimalen]] Zeitpunkt an, an dem <math>X</math> zum ersten Mal die Menge <math>A</math> betritt. Dabei ist es essentiell, dass <math>A</math> abgeschlossen ist: Zum Zeitpunkt <math>t</math> könnte <math>X</math> bereits auf dem Rand von <math>A</math>, aber noch nicht in <math>A</math> sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar <math> \tau_A =t </math> (man beachte das Infimum), jedoch ist in <math>t</math> noch nicht bekannt, ob <math>A</math> gleich betreten wird oder nicht.

* Jede Stoppzeit <math>\tau</math> ist auch eine Treffzeit (nicht unbedingt umgekehrt, siehe oben). Definiere hierzu für <math>t\in T</math> die Zufallsvariable <math>X_t(\omega):=\begin{cases}1, \text{ wenn } t<\tau (\omega) \\ 0, \text{ sonst.}\end{cases}</math>, dann ist <math>\tau</math> die Treffzeit von <math>X</math> in <math>\{0\}</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Hoffmann |Titel=Stochastische Integration |Auflage=1 |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2016 |ISBN=978-3658141318 |Seiten=8}}</ref>

== Arten von Stoppzeiten ==
Gegeben sei filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum <math> (\Omega, \mathcal A, \mathbb F, P) </math>.

Sei <math>\tau</math> eine Stoppzeit.<ref>{{Literatur|Titel=Probabilities and Potential|Autor=Claude Dellacherie und Paul André-Meyer|Seiten=134|Sammelwerk=Mathematics Studies|Band=29|Hrsg= Elsevier Science Ltd|Datum=1979|Sprache=en}}</ref>
* <math>\tau</math> heißt '''vorhersehbar''' oder '''vorhersagbar''', falls eine Folge von Stoppzeiten <math>\tau_n\uparrow \tau</math> existiert, so dass für alle <math>n</math> die Ungleichung <math>\tau_n < \tau</math> gilt, wenn <math>\tau\neq 0</math>. Man sagt, <math>\tau_n</math> sei eine <math>\tau</math> ''ankündigende'' Folge.
* <math>\tau</math> heißt '''zugänglich''', falls eine Folge von vorhersagbaren Stoppzeiten <math>\tau_n</math> existiert, so dass für alle <math>\omega\in \Omega</math> gilt, dass <math>\textstyle \tau(\omega)\in \bigcup_i \tau_i(\omega)</math>
* <math>\tau</math> heißt '''völlig unzugänglich''', falls für alle vorhersagbaren Stoppzeiten <math>T</math> gilt, dass <math>P(\tau=T<\infty)=0</math>.

== Abgeleitete Konzepte ==
=== Gestoppter Prozess ===
{{Hauptartikel|Gestoppter Prozess}}
Ein gestoppter Prozess ist eine Kombination eines [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesses]] und einer Stoppzeit, die Werte in der [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] („Zeitmenge“) des stochastischen Prozesses annimmt. Gestoppte Prozesse sind Prozesse, die nach einer zufälligen Zeit angehalten werden bzw. ihren Wert nicht mehr verändern. Sie modellieren beispielsweise Ausstiegsstrategien bei einer zeitlichen Abfolge von Glücksspielen.

=== Lokalisierung ===
{{Hauptartikel|Lokalisierung (Stochastik)}}
Unter einer Lokalisierung versteht man die Erweiterung einer Prozessklasse, die eine gewisse Eigenschaft besitzt, um die Menge aller Prozesse, die gestoppt unter aufsteigenden Folgen von Stoppzeiten ebenfalls diese Eigenschaft besitzt. Typisches Beispiel sind die [[Martingal]]e und die [[Lokales Martingal|lokalen Martingale]].

=== σ-Algebra der τ-Vergangenheit ===
{{Hauptartikel|σ-Algebra der τ-Vergangenheit}}
Die [[σ-Algebra der τ-Vergangenheit]] ist eine spezielle [[σ-Algebra]], welche über die Filtrierung und die Stoppzeit definiert wird. Sie findet beispielsweise Anwendung bei der Definition der [[Starke Markow-Eigenschaft|starken Markow-Eigenschaft]] und dem [[Optional Sampling Theorem]].

== Rechenregeln ==

Es seien <math> \sigma, \tau </math> und <math> \tau_j </math> Stoppzeiten bezüglich einer Filtration <math>\mathbb F = (\mathcal{F}_t )_{t \in T}</math> sowie
:<math> \mathcal F_t^+:=\bigcap_{s > t} \mathcal F_s \text{ und } \mathbb F^+:= (\mathcal F_t^+)_{t \in T}</math>.

Dann gilt
* Das Minimum <math> \sigma \wedge \tau </math> ist eine <math> \mathbb{F} </math>-Stoppzeit.
* Das Maximum <math> \sigma \vee \tau </math> ist eine <math> \mathbb{F} </math>-Stoppzeit.
* <math> \sup_j \tau_j </math> ist eine <math> \mathbb{F} </math>-Stoppzeit.
* <math> \sigma+a</math> ist eine <math> \mathbb{F} </math>-Stoppzeit, wobei <math> a\ge 0 </math> eine feste Konstante ist.
* <math> \sigma+\tau</math> ist eine <math> \mathbb{F} </math>-Stoppzeit.
* <math> \inf_j \tau_j </math> ist eine <math> \mathbb F^+ </math>-Stoppzeit.
* <math> \limsup_j \tau_j </math> ist eine <math> \mathbb F^+ </math>-Stoppzeit.
* <math> \liminf_j \tau_j </math> ist eine <math> \mathbb F^+ </math>-Stoppzeit.

== Weblinks ==
* {{EoM| Autor = | Titel = Stopping Time| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Stopping_time| id = }}

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]] |Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=2002 |ISBN=3-11-017236-4 |Auflage=5}}
* {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* [[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]: ''Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie'', Vieweg + Teubner-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, [[doi:10.1007/978-3-663-01244-3]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Stoppzeit - Versionsgeschichte

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