imported>Leonry: Hinzufügen von Literaturverweisen

2026-04-24T15:45:51Z

Hinzufügen von Literaturverweisen

Neue Seite

[[Bild:Brownsche Bruecken.png|mini|300px|Zwei Pfade eines [[Brownsche Brücke]] genannten speziellen stochastischen Prozesses]]
Ein '''stochastischer Prozess''' (auch '''Zufallsprozess''') ist ein [[mathematisches Objekt]] zur Modellierung von zufälligen, oft zeitlich geordneten, Vorgängen. Die Theorie der stochastischen Prozesse stellt eine wesentliche Erweiterung der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] dar und bildet die Grundlage für die [[stochastische Analysis]]. Obwohl einfache stochastische Prozesse schon vor langer Zeit studiert wurden, wurde die heute gültige formale Theorie erst Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt, vor allem von [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]] und [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Andrei Kolmogorow]].

Im einfachsten Fall ist ein stochastischer Prozess das Modell einer zufälligen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], deren [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] gewöhnliche Funktionen, die so genannten [[Pfad (Stochastik)|Pfade]], sind. Formal erfolgt die Festlegung eines stochastischen Prozesses durch einen [[Vektor]], eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] oder allgemeiner eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Zufallsvariable]]n, die gemeinsam eine mehrdimensionale oder unendlich-dimensionale [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] besitzen.

Ursprünglich wurde der Begriff des stochastischen Prozesses für Fälle verwendet, bei denen das zeitliche Fortschreiten eines zufallsbestimmten Vorgangs modelliert wurde.<ref>{{Literatur |Autor=[[Joseph L. Doob]] |Titel=Stochastic Processes |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1953 |ISBN=978-0-471-52369-7|Fundstelle= S. 46}}: „From the non-mathematical point of view a stochastic process is any probability process, that is, any process running along in time and controlled by probabilistic laws. Numerical observations made as the process continues indicate its evolution. With this background to guide us ''we define as stochastic process as any family of random variables <math>\{x_t, t \in T\}</math>''. Here <math>x_t</math> is in practice the observation at time <math>t</math>, and <math>T</math> is the time range involved.“ </ref> Inzwischen hat sich die Bedeutung des Begriffs verallgemeinert und als stochastische Prozesse werden auch unendliche Familien von Zufallsvariablen bezeichnet, deren Realisierungen Funktionen sind, ohne dass ein zeitlicher Bezug vorliegt. Solche allgemeineren stochastischen Prozesse werden z. B. in der Theorie [[empirischer Prozess|empirischer Prozesse]] untersucht.<ref>{{Literatur |Autor=Galen R. Shorack, Jon A. Wellner |Titel=Empirical Processes with Applications in Statistics |Verlag=Wiley |Ort=New York |Datum=1986 |Kommentar = Unveränderter Nachdruck: SIAM, Philadelphia 2009, ISBN 978-0-89871-684-9}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Aad W. van der Vaart]], Jon A. Wellner |Titel=Weak Convergence and Empirical Processes – With Applications to Statistics |Reihe= Springer Series in Statistics |Auflage=2|Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2023 |ISBN=978-3-031-29038-1 |DOI=10.1007/978-3-031-29040-4}}</ref>

== Definition ==
Sei <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]], <math>(Z, \mathcal{Z})</math> ein mit einer [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{Z}</math> versehener [[Raum (Mathematik)|Raum]] (zumeist die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]]) und <math>T</math> eine [[Index (Mathematik)#Indexmenge|Indexmenge]], zumeist <math>T \in \{ \N_0,\R_{+} \} </math>, die in Anwendungen häufig die Menge der betrachteten Zeitpunkte darstellt.

Ein stochastischer Prozess <math>X</math> ist dann eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Zufallsvariable]]n <math>X_t\colon\Omega \to Z,\;t\in T</math>, also eine Abbildung
:<math>X\colon\Omega \times T \to Z, \; (\omega, t) \mapsto X_t(\omega)</math>,
so dass <math>X_t\colon \omega \mapsto X_t(\omega)</math> für alle <math> t \in T</math> eine <math>\mathcal{F}</math>-<math>\mathcal{Z}</math>-[[Messbare Funktion|messbare]] Abbildung ist.

Die Familie der Zufallsvariablen, die einen stochastischen Prozess bilden, wird auch in der Form <math>(X_t)_{t \in T}</math> notiert.
Die Menge <math> Z </math> heißt auch '''Zustandsraum''' und enthält alle von dem Prozess anzunehmenden Werte.

Eine alternative Formulierung sieht vor, dass <math>X</math> eine einzige Zufallsvariable <math>\Omega \to (H, \mathcal{H}) </math> ist, wobei <math>H \subseteq Z^T </math> ein mit einer geeigneten σ-Algebra <math>\mathcal{H}</math> versehener [[Funktionenraum]] <math>\{f \mid f\colon T \to Z \}</math> ist. Man spricht hier auch von ''Zufallsfunktionen'' (vergleiche [[Pfad (Stochastik)]]). Bei geeigneter Wahl fallen diese beiden Definitionen zusammen.

== Anmerkungen ==
* Die Frage nach der Existenz von stochastischen Prozessen mit bestimmten Eigenschaften wird mit dem [[Satz von Daniell-Kolmogorow]]  und dem [[Satz von Ionescu-Tulcea]] (benannt nach [[Cassius Ionescu-Tulcea]]) weitgehend gelöst.
* Der Zustandsraum wird bei Verwendung in der Physik auch als [[Phasenraum]] bezeichnet.<ref>{{Literatur |Titel=Lexikon der Stochastik |Datum=1991 |Seiten=414}}</ref>
* Die Indexmenge <math>T</math> wird auch als ''Parametermenge'' des stochastischen Prozesses bezeichnet.<ref>{{Literatur |Titel=Lexikon der Stochastik |Datum=1991 |Seiten=415}}</ref>

== Einteilung ==
Folgend sind einige Kriterien aufgeführt, nach denen stochastische Prozesse klassifiziert werden. Eine genauere Beschreibung findet sich in der [[Liste stochastischer Prozesse]].

Die grundlegendste Einteilung stochastischer Prozesse in verschiedene Klassen erfolgt über die Indexmenge <math>T</math> und die Werte- oder Zustandsmenge <math>Z</math>:

=== Diskrete und stetige Indexmenge ===
* Ist <math>t</math> ein Zeitindex und <math>T</math> [[Abzählbarkeit|abzählbar]] (etwa <math>T=\N_0</math>), so heißt der Prozess ein '''zeitdiskreter stochastischer Prozess''' oder etwas ungenau ''diskreter stochastischer Prozess''.
* Ist <math>t</math> ein Zeitindex und <math>T \subseteq \R</math> ein Teilintervall von <math>\R</math>, so heißt der heißt der Prozess ein '''zeitstetiger stochastischer Prozess'''.

=== Diskrete und stetige Wertemenge ===
* Ist <math>Z</math> endlich oder abzählbar, spricht man von einem '''zustandsdiskreten''' oder ''wertediskreten'' Prozess.
* Ist <math>Z \subseteq \R</math> ein Teilintervall von <math>\R</math>, so spricht man von einem '''zustandsstetigen''' oder ''wertestetigen'' Prozess.

=== Reell-, komplex- und vektorwertig ===
* Ist <math> Z \subseteq \R </math>, so spricht man von einem '''reellwertigen stochastischen Prozess''' oder kurz '''reellwertigen Prozess'''.
* Ist <math> Z \subseteq \Complex </math>, so spricht man von einem '''komplexwertigen stochastischen Prozess''' oder kurz '''komplexwertigen Prozess'''.
* Ist <math> Z \subseteq \R^n </math> oder <math> Z \subseteq \C^n </math>, so spricht man von einem '''n-dimensionalen''' (reellwertigen oder komplexwertigen) '''stochastischen Prozess''' oder von einem '''vektorwertigen stochastischen Prozess'''.

=== Mehrdimensionale Indexmenge ===
* Für <math>T \subseteq \R^n</math> mit <math>n > 1</math> nennt man den stochastischen Prozess [[Zufallsfeld]] oder ''zufälliges Feld''. Häufig ist <math> T= \R^2 </math> oder <math> T= \R^3 </math>, insbesondere für Modelle der [[Geostatistik]].

=== Momente ===
Außerdem werden stochastische Prozesse noch analog zu den Zufallsvariablen danach klassifiziert, ob der Erwartungswert und die Varianz existieren oder spezielle Werte annehmen.
* Ein reellwertiger stochastischer Prozess heißt '''integrierbar''', wenn <math> \operatorname E (|X_t|)<\infty </math> für alle <math> t \in T </math> gilt.
* Ein reellwertiger stochastischer Prozess heißt '''quadratintegrierbar''', wenn <math> \operatorname E (X_t^2)<\infty </math> für alle <math> t \in T </math> gilt. Ein quadratintegrierbarer Prozess heißt auch '''Prozess zweiter Ordnung'''.<ref>{{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Prozeß zweiter Ordnung'', S. 312–313}}</ref>
* Ein reellwertiger stochastischer Prozess heißt '''zentriert''', wenn <math> \operatorname E (X_t)=0 </math> für alle <math> t \in T </math> gilt.

=== Stochastische Abhängigkeiten ===
Des Weiteren werden stochastische Prozesse noch mittels der Struktur ihrer stochastischen Abhängigkeiten klassifiziert, diese werden meist über den [[Bedingter Erwartungswert|bedingten Erwartungswert]] definiert. Zu diesen Klassen gehören:
; [[Markow-Prozess]]e: Ihre Wahrscheinlichkeit, einen Zustand anzunehmen, ist abhängig von dem Zustand, in dem sie sich davor befanden, aber nicht von der gesamten Vergangenheit des Prozesses. Markow-Prozesse haben somit ein „kurzes Gedächtnis“.
; [[Martingal]]e sowie Sub- und Supermartingale: Martingale modellieren ein faires Spiel. Hat man zu einem Zeitpunkt bereits einen gewissen Betrag gewonnen, so ist der Erwartungswert für künftige Gewinne genau dieser bereits gewonnene Betrag.

=== Weitere Eigenschaften: Pfade und Zuwächse ===
Des Weiteren kann man Prozesse wie folgt klassifizieren:
* Man kann die Eigenschaften der [[Pfad (Stochastik)|Pfade]] untersuchen und die Prozesse dementsprechend unterteilen: Prozesse mit stetigen Pfaden, Prozesse mit beschränkten Pfaden etc. Ein Beispiel für einen stochastischen Prozess mit fast sicher stetigen Pfaden ist der [[Wiener-Prozess]].
* Man betrachtet die sogenannten Zuwächse des Prozesses, also Terme der Art <math> X_{t_1}- X_{t_0} </math> für Indizes <math> t_1, t_0 \in T </math>. Je nach geforderter Eigenschaft der Zuwächse erhält man dann [[Prozess mit stationären Zuwächsen|Prozesse mit stationären Zuwächsen]], [[Prozess mit unabhängigen Zuwächsen|Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen]] oder auch Prozesse mit normalverteilten Zuwächsen. So sind beispielsweise die [[Lévy-Prozess]]e genau die stochastischen Prozesse mit unabhängigen, stationären Zuwächsen.

== Pfade ==
{{Hauptartikel|Pfad (Stochastik)}}
Für jedes <math>\omega\in\Omega</math> erhält man eine Abbildung <math>X(\cdot,\omega)\colon T\rightarrow Z,\, t\mapsto X(t,\omega)=X_t(\omega)</math>. Diese Abbildungen nennt man die ''Pfade'' des Prozesses und wird auch mit <math>X_{\bullet}(\omega)</math> notiert. Häufig spricht man statt von den Pfaden auch von den Trajektorien oder den Realisierungen des stochastischen Prozesses.

Ist speziell <math>T=\R_+</math> und <math>Z \subseteq \R</math> (oder ein allgemeinerer [[topologischer Raum]]), so kann man von [[Stetige Funktion|Stetigkeit]]seigenschaften der Pfade sprechen.
Man nennt einen zeitstetigen stochastischen Prozess ''stetig'', ''rechtsseitig stetig'', ''linksseitig stetig'' bzw. ''[[càdlàg]]'', wenn alle Pfade des Prozesses die entsprechende Eigenschaft haben. Der [[Wiener-Prozess]] hat stetige Pfade, von denen im Bild zu den Beispielen unten zwei zu sehen sind. Der [[Poisson-Prozess]] ist ein Beispiel für einen zeitstetigen, wertdiskreten [[càdlàg-Prozess]]; er hat also rechtsseitig stetige Pfade, bei denen an jeder Stelle der linksseitige Limes existiert.

Ein Pfad ist somit ein zufälliger Punkt im [[Funktionenraum|Raum]] der Funktionen von <math>T\to Z</math>.

== Stochastische Prozesse versus Zeitreihen ==
Während die Theorie der stochastischen Prozesse ein Teilgebiet der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und damit der Mathematik ist, ist das Gebiet der [[Zeitreihenanalyse]] ein Teilgebiet der [[Statistik]].
{{Hauptartikel|Zeitreihenanalyse}}

Die Zeitreihenanalyse geht von einer konkreten [[Zeitreihe]], d. h. einer endlichen Folge zeitlich geordneter Daten aus, und beschreibt diese einerseits mit Methoden der deskriptiven Statistik und verwendet andererseits spezielle stochastische Modelle (wie [[ARMA-Modelle|ARMA-]] oder [[ARCH-Modell]]e) zur Erklärung von Zeitreihen. Eine beobachtete Zeitreihe kann als endlicher Ausschnitt des Pfades eines zeitdiskreten oder zeitstetigen stochastischen Prozesses aufgefasst werden. Eine Aufgabe der statistischen Zeitreihenanalyse ist die Schätzung der Parameterstruktur der Verteilung eines stochastischen Prozesses aus einer vorliegenden Zeitreihe.

Während in der Theorie stochastischer Prozesse die mathematische Struktur der modellierten Zufallsfunktionen (etwa [[Stetige Funktion|Stetigkeit]], [[Differentialrechnung|Differenzierbarkeit]], [[Variation (Mathematik)|Variation]] oder Messbarkeit bezüglich gewisser [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierungen]]) im Vordergrund steht, geht die Zeitreihenanalyse von den Daten aus und schlägt als statistische Teildisziplin die Brücke zwischen Empirie und Theorie.

== Beispiele ==
[[Bild:Wienerprozess.png|mini|Ein Standard-Wiener-Prozess auf dem Zeitintervall [0,3], außerdem sind der Erwartungswert und die Standardabweichung eingezeichnet]]
* Ein einfaches Beispiel für einen zeitdiskreten [[Punktprozess]] ist die symmetrische [[Irrfahrt (Stochastik)|Irrfahrt]], hier veranschaulicht durch ein Glücksspiel: Ein Spieler beginnt zum Zeitpunkt <math>t=0</math> mit einem Startkapital von 10 Euro ein Spiel, bei dem er nacheinander immer wieder eine Münze wirft. Bei „Kopf“ gewinnt er einen Euro, bei „Zahl“ verliert er einen. Die Zufallsvariablen <math>X_t,\;t \in \N_0,</math> für den Kontostand nach <math>t</math> Spielen definieren einen stochastischen Prozess (mit deterministischer ''Startverteilung'' <math>X_0=10</math>). Genauer betrachtet handelt es sich bei <math>X</math> um einen [[Lévy-Prozess]] und um ein [[Martingal]].
* Eine vielseitig verwendete Klasse stochastischer Prozesse sind [[Gauß-Prozess]]e, die viele natürliche Systeme beschreiben können und als [[Maschinelles Lernen|Maschinenlernverfahren]] Anwendung finden.
* Ein bedeutender stochastischer Prozess aus der Klasse der Gaußprozesse ist der [[Wiener-Prozess]] (auch „Brownsche Bewegung“ genannt). Hierbei sind die einzelnen Zustände [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit linear anwachsender [[Varianz (Stochastik)|Varianz]]. Der Wiener-Prozess findet Anwendung in der [[stochastische Integration|stochastischen Integration]], der [[Finanzmathematik]] und der [[Physik]].
* Weitere Beispiele: [[Bernoulli-Prozess]], [[Brownsche Brücke]], [[Gebrochene Brownsche Bewegung]], [[Markow-Kette]], [[Ornstein-Uhlenbeck-Prozess]], [[Poisson-Prozess]], [[Weißes Rauschen (Physik)|Weißes Rauschen]].

== Weblinks ==
* {{EoM
| Autor = A.M. Yaglom
| Titel = Stochastic Process
| Url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Stochastic_process
| id =
}}

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=1.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2003|ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}
* [[Thorsten Imkamp]], Sabrina Proß: ''Einstieg in stochastische Prozesse'', Springer 2023, ISBN 978-3-662-66669-2
* {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=David Meintrup, [[Stefan Schäffler]]|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
* {{Literatur |Herausgeber=[[P. Heinz Müller|P. H. Müller]] |Titel=Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Verlag=Akademie-Verlag |Ort=Berlin |Datum=1991 |Auflage= 5 |ISBN=978-3-05-500608-1 |Fundstelle=''Stochastischer Prozess'', S. 415–419}}
* {{Literatur |Autor=Alexander D. Wentzell |Titel=Theorie Zufälliger Prozesse |Nummer= |Verlag=Birkhäuser |Ort=Basel |Datum=1979 |Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften |BandReihe=65 |ISBN=978-3-7643-1021-9}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Stochastischer Prozess| ]]

Stochastischer Prozess - Versionsgeschichte

imported>Leonry: Hinzufügen von Literaturverweisen