imported>Schojoha: /* Verallgemeinerung: Stirling-Formel für die Gammafunktion */ Anmerkung als Fußnote.

2025-12-11T13:22:03Z

Verallgemeinerung: Stirling-Formel für die Gammafunktion: Anmerkung als Fußnote.

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[[Datei:Mplwp factorial gamma stirling.svg|mini|Die Fakultät und die Stirlingformel]]
Die '''Stirling-Formel''' ist eine [[Mathematik|mathematische]] Formel, mit der man für große [[Fakultät (Mathematik)|Fakultäten]] Näherungswerte berechnen kann. Sie ist nach dem schottischen Mathematiker [[James Stirling (Mathematiker)|James Stirling]] benannt.

== Grundlegendes ==
[[Datei:Mplwp factorial stirling relative deviation.svg|hochkant=1.8|mini|Relative Abweichung der einfachen Stirlingformel von der Fakultät in Abhängigkeit von n]]
Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine [[Asymptotische Analyse|asymptotische Formel]]

: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{n},\qquad n\to\infty.</math>

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] (!), [[Quadratwurzel]] (√), [[Kreiszahl]] (π) und [[Eulersche Zahl]] (<math>\mathcal{e}</math>).

Eine Herleitung findet sich im Artikel [[Sattelpunktsnäherung]].

Genauer gilt für <math>n > 0</math>:
:<math>1 < \mathcal{e}^\frac{1}{12n+1} < \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\cdot(\frac n{\mathcal{e}})^n} < \mathcal{e}^\frac{1}{12n} < 1+\frac1{11n}</math>
Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für <math>n\to\infty</math> gleich 1.

Die Stirling-[[Reihe (Mathematik)|Reihe]] für <math>\ln n! = \sum_{i=1}^n \ln i</math> nach der [[Euler-Maclaurin-Formel|Euler-MacLaurinschen Summenformel]] lautet
: <math>
\ln n! \simeq n \ln n
- n
+ \tfrac12\ln(2\pi n)
+ \frac1{12 n}
- \frac1{360 n^3}
+ \cdots
+ \frac{B_{2k}}{(2k-1) 2k} \cdot \frac{1}{n^{2k-1}}
+ \cdots ,\quad n\to\infty
</math>

wobei <math>B_k</math> die <math>k</math>-te [[Bernoulli-Zahl]] bezeichnet. Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: Bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als <math>\tfrac{1}{12n}</math>. Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes <math>n</math>, sie ist eine [[asymptotische Reihe]].

Für <math>n \gtrsim 7{,}31 \cdot 10^{43}</math> genügt ein Glied für einen relativen Fehler kleiner als 1 %:
: <math>\ln n! \approx n \cdot \ln n </math>
Für <math>n > 751</math> genügen zwei Glieder für einen relativen Fehler kleiner als 0,1 %:
: <math>\ln n! \approx n \cdot \ln n - n</math>
Für kleine <math>n</math> lässt sich aus der Formel für vier Glieder eine einfache Formel für <math>n!</math> ableiten. Mit
: <math>
{\mathcal{e}}^\frac{1}{12n} \approx 1 + \frac{1}{12 n} \approx \sqrt{1+ \frac{1}{6 n}}
</math>
ergibt sich die Approximation
: <math>
n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{n} \; {\mathcal{e}}^\frac{1}{12n}
\approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{n} \sqrt{1+ \frac{1}{6 n}}
= \sqrt{{\pi\over 3} ( 6 n + 1) } \; \left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{n}
</math>
Der Approximationsfehler beträgt (bei minimal zusätzlichem Rechenaufwand zur Berechnung der ersten beiden Glieder) etwa 2,3 % für <math>n = 0</math>,<ref>Hierbei muss der Ausdruck <math>\left(\tfrac{n}{\mathrm e}\right)^{n}</math> für <math>n = 0</math> mit 1 gleichgesetzt werden.</ref> etwa 0,4 % für <math>n = 1</math> und wird kleiner als 0,1 % ab <math>n = 3</math>.

Durch Einsetzen in die [[Exponentialfunktion]] ergibt sich für <math>n!</math> die [[asymptotische Entwicklung]]:
: <math>
n! \simeq n^n \cdot \sqrt{2\pi n} \cdot \mathcal{e}^{
- n
+ \frac1{12 n}
- \frac1{360 n^3}
+ \cdots
+ \frac{B_{2k}}{(2k-1) 2k} \cdot \frac{1}{n^{2k-1}}
+ \cdots},\quad n\to\infty
</math>
und durch Einsetzen der Stirlingschen Reihe in die Reihe der Exponentialfunktion:
: <math>
n! \simeq n^n \cdot \sqrt{2\pi n} \, \cdot \, \mathcal{e}^{-n} \, \cdot \,
\left(
1
+ \frac1{12\;\! n}
+ \frac1{288\;\! n^2}
- \frac{139}{51840\;\! n^3}
- \frac{571}{2488320\;\! n^4}
+ \cdots
+ \frac{C_k}{n^k}
+ \cdots
\right),\quad n\to\infty
</math>
wobei die Koeffizienten <math>C_k</math> keinem einfachen Bildungsgesetz genügen.<ref>In der [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]] finden sich Reihen für [http://oeis.org/A001163 Zähler] und [http://oeis.org/A001164 Nenner] von <math>C_k</math>, zusammen mit Kommentaren und Literaturhinweisen, auf [http://mathworld.wolfram.com/StirlingsSeries.html Mathworld] auch Formeln für das Bildungsgesetz ''(alles auf Englisch!)''.</ref>

=== Herleitung der ersten beiden Glieder ===
Die Formel wird oft in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] für den Grenzfall großer Teilchenzahlen verwendet, wie sie in thermodynamischen Systemen (Größenordnung <math>10^{23}</math> Teilchen) vorkommen. Für thermodynamische Betrachtungen ist es meist völlig ausreichend, die ersten beiden Glieder <math>\ln N!\approx N\ln N - N</math> zu berücksichtigen. Diese Formel lässt sich einfach gewinnen, indem man nur den ersten Term der [[Euler-Maclaurin-Formel|Euler-MacLaurin-Formel]] verwendet:

: <math>\ln N! = \sum_{n=1}^{N}\ln n\approx\int_{1}^{N}\ln x\,\mathrm{d}x=\left[x\ln x - x\right]_{1}^{N}=N\ln N - N+1\approx N\ln N - N</math>
und wird dann in dieser Form gebraucht:
:<math>N!\approx \left( \frac{N}{\mathcal{e}}\right)^N.</math><ref>G. Joos: ''Lehrbuch der theoretischen Physik'', 1956, S. 516</ref>

== Verallgemeinerung: Stirling-Formel für die Gammafunktion ==
Für alle <math> x>0 </math> gilt
: <math> \Gamma(x)=\sqrt{\frac{2 \pi}{x}}\,\left(\frac{x}{\mathcal{e}}\right)^{\!x}\,\mathcal{e}^{\mu(x)} </math>,
wobei <math>\mu</math> eine Funktion ist, die <math> 0 < \mu(x) < \tfrac{1}{12x} </math> für alle <math> x > 0 </math> erfüllt.<ref>Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe [[Gammafunktion]] (<math>\Gamma</math>), [[Quadratwurzel]] (√), [[Kreiszahl]] (π) und [[Eulersche Zahl]] (e).
</ref>

Für alle <math>x>0</math> ist der Wert einer Approximation von <math>\Gamma(x)</math> nach obiger Formel mit <math>\mu = 0</math> also immer etwas zu klein. Der relative Fehler ist aber für <math>x \geq 9</math> kleiner als 1 % und für <math>x \geq 84 </math> kleiner als 0,1 %.

Es gilt für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>
: <math>
n!
=n \;\!\Gamma(n)
=n\sqrt{2 \pi / n}\,\left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{\!n}\,\mathcal{e}^{\mu(n)}
=\sqrt{2 \pi n}\,\left(\frac{n}{\mathcal{e}}\right)^{\!n}\,\mathcal{e}^{\mu(n)}
</math>,
womit sich als Spezialfall die Approximationsformeln des vorigen Abschnitts ergeben.

== Anwendungen ==
Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

'''Beispiel''':<br>
Gegeben sei ein System mit <math>N</math> verschiedenen Subsystemen, von denen jedes <math>m</math> verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand <math>i</math> mit der Wahrscheinlichkeit <math>\omega_i</math> angenommen werden kann. Damit müssen sich <math>N_i</math> Subsysteme im Zustand <math>i</math> befinden und es gilt <math>N_i/N=\omega_i</math>. Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

: <math>\frac{N!}{N_1!\,N_2!\,\ldots\,N_m!}</math>

und für dessen Entropie <math>\sigma</math> gilt

: <math>\sigma=\ln(N!)-\ln(N_1!)-\ldots-\ln(N_m!).</math>

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der [[Landau-Symbole|Ordnung]] <math>O(\ln(N))</math> diese Formel vereinfachen zu

{|
|-
|<math>\sigma\,</math>
|<math>=N (\ln N - 1) - N_1 (\ln N_1 - 1) - \ldots - N_m (\ln N_m - 1)</math>
|-
|
|<math>=N \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m</math>
|-
|
|<math>=(N_1 + \ldots + N_m) \ln N - N_1 \ln N_1 - \ldots - N_m \ln N_m</math>
|-
|
|<math>=- N_1 \ln (N_1/N) - \ldots - N_m \ln (N_m/N)</math>
|-
|
|<math>=- N \sum_{i=1}^m (\omega_i \ln \omega_i)</math>
|}

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der <math>N</math> Subsysteme die bekannte Formel

: <math>\sigma=-\sum_{i=1}^m \omega_i\ln(\omega_i)</math>

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

: <math>I=-\sum_{i=1}^m \omega_i\log_2{(\omega_i)}</math>

== Siehe auch ==
* [[Formel von Burnside]]

== Literatur ==
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie''. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995.
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 1''. Springer, Heidelberg 2003, ISBN 3-540-40371-X.
* [[Richard Courant]]: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 4. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 317–320.
* {{Literatur
|Autor=[[Rolf Nevanlinna]], [[Veikko Paatero|V. Paatero]]
|Titel=Einführung in die Funktionentheorie
|Kapitel=16
|Reihe=Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe
|BandReihe=30
|Auflage=
|Verlag=Birkhäuser Verlag
|Ort=Basel, Stuttgart
|Datum=1965
|Online=[https://zbmath.org/0136.37202 ''zbMATH Open'']}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=StirlingsApproximation|title=Stirling’s Approximation}}
* {{PlanetMath|id=StirlingsApproximation|title=Stirling’s approximation|author=Pedro Sanchez, Aaron Krowne, Raymond Puzio u. a.}}
* Peter Luschny: [http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html ''Approximation Formulas for the Factorial Function''.] Varianten und Alternativen zur Stirlingschen Formel (englisch).

== Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]
[[Kategorie:Asymptotische Analysis]]

Stirlingformel - Versionsgeschichte

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