~2026-83594-6: falschen Artikel ersetzt

2026-02-07T04:04:00Z

falschen Artikel ersetzt

Neue Seite

In der [[Integralrechnung]] bezeichnet das '''Stieltjesintegral''' eine wesentliche Verallgemeinerung des [[Riemannintegral]]s oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von [[Lebesgueintegral|Lebesgue]]. Benannt wurde es nach dem [[Niederlande|niederländischen]] [[Mathematiker]] [[Thomas Jean Stieltjes]] (1856–1894). Das Stieltjesintegral, für das der Begriff des ''Integrators'' grundlegend ist, findet in einigen Gebieten der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und [[Stochastik]] Anwendung.

== Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren ==
[[Datei:Cantor-Funktion.svg|mini|[[Cantor-Funktion]] (10 Iterationen, stetig und monoton, aber nirgends mit positiver Ableitung differenzierbar)]]
[[Datei:Heaviside.svg|mini|[[Heaviside-Funktion]] (unstetig)]]
Es seien <math> a,b\in\R </math> mit <math> a< b </math> und <math> f,h\colon [a,b] \to \R </math> zwei [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]en.
Dabei wird vorausgesetzt, dass <math>f</math>, der Integrand, beschränkt ist und <math>h</math>, der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) [[Monoton wachsende Funktion|monoton wächst]]. Das dazugehörige ''Riemann-Stieltjes-Integral'' von <math>f</math> bezüglich <math>h</math> auf dem Intervall <math>[a,b]</math> wird wie das [[Riemannintegral]] über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

:<math>\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})</math> (Obersumme) und

:<math>\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1})</math> (Untersumme)

nun

:<math>\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))</math> (Stieltjes-Obersumme) und

:<math>\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\}\cdot(h(t_i)-h(t_{i-1}))</math> (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme gegen denselben Wert, so heißt <math>f\!\,</math> bezüglich <math>h\!\,</math> auf <math>[a,b]\!\,</math> Riemann-Stieltjes-integrierbar, und der gemeinsame [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

:<math>\int_a^b f\,\mathrm dh\quad\text{oder}\quad\int_a^b f(t)\,\mathrm dh(t).</math>

Der Integrator <math>h</math> regelt also, wie stark <math>f</math> an verschiedenen Stellen ''gewichtet'' wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung ''Gewichtsfunktion'' üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit <math>h(x)=x</math> für alle <math>x</math> ([[Identische Abbildung|Identität]]) aufgefasst werden. Im Unterschied zum Riemann-Integral setzt man zwar standardmäßig voraus, dass die Integrandenfunktion <math> f(t)</math> stetig ist, die Integratorfunktion <math>h(t)</math> kann aber komplizierter sein:

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion <math>f</math> selbst mit der
[[Cantor-Funktion]] als Integrator <math>h</math> (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende stetige Funktion, deren Ableitung fast überall 0 ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge). Es existiert sogar mit einer unstetigen, aber monotonen Sprungfunktion <math>h,</math> etwa für <math>h(t)=0</math> für alle <math>t<0</math>, aber <math>h(t) =1</math> für <math>t \geq 0</math> ([[Heaviside-Funktion]]).

== Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ==

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des [[Lebesgue-Integral]]s.
Hierbei wird über ein [[Borel-Maß]] <math>\mu</math> integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion <math>h</math> definiert wird und im Folgenden mit <math>\mu_h</math> bezeichnet wird. Das Maß <math>\mu_h</math> ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

:<math>\begin{align}
\mu_h([x,y[)& =h(y-)-h(x-),\\
\mu_h([x,y])& =h(y+)-h(x-),\\
\mu_h(]x,y])& =h(y+)-h(x+)
\end{align}</math>

Hier bezeichnet <math>h(y-)</math> den linksseitigen und <math>h(y+)</math> den rechtsseitigen [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] der Funktion <math>h</math> an der Stelle <math>y</math>. Ist <math>h</math> die Identität, so handelt es sich um das [[Lebesgue-Maß]].
Ist <math>f</math> bezüglich dieses Maßes <math>\mu_h</math> Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

:<math>\int_a^b f\,\mathrm dh =\int_a^b f\,\mathrm d\mu_h,</math>

wobei die rechte Seite als gewöhnliches [[Lebesgue-Integral]] aufzufassen ist.

== Nicht-monotone Integratoren ==

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher [[Variation (Mathematik)|Variation]] auf <math>[a,b]</math>. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also <math> h=h_1 - h_2</math>, wobei <math>h_1, h_2\colon [a,b] \to \R </math> monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

:<math>\int_a^b f\,\mathrm dh := \int_a^b f\,\mathrm dh_1 - \int_a^b f\,\mathrm dh_2</math>.

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

== Eigenschaften ==

*Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:
*:<math>\int_a^b (\alpha f + \beta g) \, \mathrm dh = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dh + \beta \int_a^b g \,\mathrm dh</math>
:für Konstanten <math>\alpha,\beta \in \R</math>, falls die betrachteten Integrale existieren.

*Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also
*:<math>\int_a^b f\,\mathrm d(\alpha g + \beta h) = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dg + \beta \int_a^b f\,\mathrm dh</math>
:für Konstanten <math>\alpha,\beta \in \R</math> und Funktionen <math>g,h</math> endlicher Variation.

*Das Integral ist invariant unter [[Parallelverschiebung|Translation]]en des Integrators, also
*:<math>\int_a^b f\,\mathrm d(h+c) =\int_a^b f\,\mathrm dh</math>
:für Konstanten <math>c</math>.

*[[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktion]]en als Integratoren: Ist <math>f</math> stetig und <math>h</math> eine Treppenfunktion, die in den Punkten <math>t_1, \ldots, t_n \in\,]a,b[</math> Sprünge der Höhe <math>\Delta h_1, \ldots, \Delta h_n \in \R </math> besitzt, so gilt
*:<math>\int_a^b f\,\mathrm dh = \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta h_i.</math>

*Ist <math>h</math> stetig [[Differentialrechnung|differenzierbar]], so gilt
*:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.</math>
:(Im Lebesgueschen Sinne: <math>h\!\,'</math> ist die [[Dichtefunktion|Dichte]] von <math>\mu_h</math>.)

*Ist <math>h</math> [[Absolut stetige Funktion|absolut stetig]], so ist <math>h</math> fast überall differenzierbar, die Ableitung <math>h'</math> ist integrierbar und es gilt auch hier:
*:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.</math>

*Für das ''Riemann-Stieltjes-Integral'' gilt folgende Regel zur [[Partielle Integration|partiellen Integration]]:<ref>[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Analysis.'' Band 2. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42953-0, S. 193 f.</ref>
*:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = f(b)h(b) - f(a)h(a) - \int_a^b h(x)\,\mathrm df(x).</math>

== Literatur ==
* Isidor P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1981, ISBN 3-87-144-217-8.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]

Stieltjesintegral - Versionsgeschichte

~2026-83594-6: falschen Artikel ersetzt