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2025-05-08T12:58:03Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das Stichprobenmittel als Schätzfunktion bzw. [[Zufallsvariable]]. Für das Stichprobenmittel als [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] dieser Zufallsvariablen, welche mit konkreten Zahlen berechnet wird, siehe [[arithmetisches Mittel]].}}

Das '''Stichprobenmittel''', auch als '''Stichprobenmittelwert'''<ref name="Kusolitsch99" />, '''arithmetischer Mittelwert'''<ref name="Czado5" /> oder '''arithmetisches Mittel'''<ref name="Czado26" /> bezeichnet, ist eine spezielle [[Schätzfunktion]] in der [[mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Es spielt eine wichtige Rolle bei der Schätzung des [[Erwartungswert]]es von unbekannten [[Wahrscheinlichkeitsmaß|Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] und tritt auch bei der Konstruktion von [[Konfidenzintervall]]en und [[Statistischer Test|statistischen Tests]] auf.

Sein empirisches Pendant ist der [[empirischer Mittelwert|empirische Mittelwert]]. Er entspricht einer [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] des Stichprobenmittels.

== Definition ==
Seien <math> X_1, X_2, \dots, X_n </math> [[unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen]]. Dann ist das Stichprobenmittel definiert als<ref name="Kusolitsch246" />

:<math> \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i</math>.

Teils wird noch die Anzahl der Zufallsvariablen als Index mitnotiert, insbesondere bei Grenzwertbetrachtungen. Das Stichprobenmittel wird dann als <math> \overline X_n </math> notiert.

Die Verteilung des Stichprobenmittelwertes ist im nebenstehenden Bild für unterschiedliche [[Stichprobenumfang|Stichprobenumfänge]] dargestellt.
[[Bild:Sampling distribution.png|thumb|[[Stichprobenverteilung]] des Stichprobenmittels normalverteilter Zufallsvariablen.]]

== Eigenschaften ==
Das Stichprobenmittel ist das erste [[Stichprobenmoment]] und damit Erwartungswert der [[Empirische Verteilung (Zufälliges Maß)|empirischen Verteilung]]. Daraus folgt direkt, dass es sich bei dem Stichprobenmittel um den [[Momentenschätzer]] für den Erwartungswert handelt (für eine Herleitung siehe [[Momentenmethode#Schätzung des Erwartungswertes]]).

Der so gewonnene Schätzer ist [[Erwartungstreue|erwartungstreu]] für den unbekannten Erwartungswert <math>\mu</math> und hat damit eine [[Verzerrung einer Schätzfunktion|Verzerrung]] von Null. Dies folgt direkt aus der [[Erwartungswert#Linearität|Linearität des Erwartungswertes]], denn es ist

:<math> \operatorname{E}(\overline X ) = \operatorname{E}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\operatorname{E} \left( \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\operatorname{E}( X_i) = \frac 1n \cdot n \cdot \mu = \mu</math>,

was genau dem Erwartungswert des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes entspricht.
Des Weiteren ist das Stichprobenmittel aufgrund des [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatzes]] stets [[Asymptotische Normalität|asymptotisch normalverteilt]] und nach dem [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetz der großen Zahlen]] auch [[Konsistente Schätzfolge|stark konsistent]].
=== Varianz des Stichprobenmittelwertes ===
{{Hauptartikel|Standardfehler}}
==== Unendlich große Population ====
Für unendlich große [[Grundgesamtheit]]en gilt für unabhängige <math>X_i</math>

:<math>\operatorname{Var}(\overline{X}) = \operatorname{Var}\left( \frac1n \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac1{n^2} \operatorname{Var}\left( \sum_i X_i \right) = \frac1{n^2} \sum_i \operatorname{Var}(X_i) = \frac1{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}</math>

==== Endlich große Population ====
Bei einer endlich großen Population mit Größe <math>N</math> und Stichproben Größe <math>n</math>
ist die Varianz des geschätzten Mittelwertes<ref>Quenouille, M. (2014). Introductory Statistics. Niederlande: Elsevier Science. https://books.google.de/books?id=anHiBQAAQBAJ&pg=PA208</ref> <math>\operatorname{Var}\left( \frac1n \sum_{i=1}^n X_i \right) =\frac{1}{n}(1-\frac{n}{N}) \sigma^2.</math>
Die Varianz des Mittelwert-Schätzers ist somit Null, wenn <math>n=N</math>.

== Weblinks ==
* [https://mathworld.wolfram.com/SampleMean.html Eric Weisstein: ''Sample Mean'' auf MathWorld] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Kusolitsch99" > {{Literatur|Autor=Norbert Kusolitsch|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|TitelErg=Eine Einführung|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-45386-1|Seiten=99|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} </ref>
<ref name="Czado5" > {{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|Seiten=5|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}</ref>
<ref name="Czado26" > {{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|Seiten=26|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}}</ref>
<ref name="Kusolitsch246" > {{Literatur|Autor=Norbert Kusolitsch|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|TitelErg=Eine Einführung|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-45386-1|Seiten=246|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}} </ref>
</references>

[[Kategorie:Stichprobentheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Statistik]]

Stichprobenmittel - Versionsgeschichte

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