imported>Valoh65: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */

2025-11-11T16:44:58Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0

Neue Seite

Ein [[System]] ist '''vollständig steuerbar''', wenn ein [[Zustand]] in endlicher Zeit durch geeignete Stellsignale zu jedem beliebigen neuen Zustand überführt werden kann. '''Steuerbar''' ist ein System, wenn es von ausgewählten Anfangszuständen in ausgewählte Endzustände überführt werden kann. Die Steuerbarkeit beschreibt somit den Einfluss äußerer Eingangsgrößen (in der Regel der Steuergrößen) auf den inneren Systemzustand. Dabei wird zwischen ''Ausgangssteuerbarkeit'' und ''Zustandssteuerbarkeit'' unterschieden.

Umgangssprachlich wird die Vokabel ''steuerbar'' häufig benutzt im Sinne von ''regelbar''. Fachsprachlich wird aber unterschieden zwischen ''steuerbar'', ''beobachtbar'' und ''regelbar''. Damit ein System ''regelbar'' ist, muss es sowohl möglich sein, seinen Zustand zu ''[[Beobachter (Regelungstechnik)|beobachten]]'', als auch diesen zu ''steuern''. Für die praktische Anwendung ist normalerweise ''Regelbarkeit'' relevant. ''Steuerbarkeit'' ist ein Aspekt davon.

Das Begriffspaar ''Steuerbarkeit'' und ''Beobachtbarkeit'' wurde nach<ref>{{Literatur |Autor=Otto Föllinger |Titel=Regelungstechnik, Einführung in die Methoden und ihre Anwendung |Auflage=8. |Verlag=Hüthig Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=1994 |ISBN=3-7785-2336-8}}, Abschn. 12.3.1</ref>
1960 von [[Rudolf Kálmán]] eingeführt.

== Definition ==
Ausgangspunkt für die Beurteilung der Steuerbarkeit eines linearen Systems ist die [[Zustandsraumdarstellung]]

<math>\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{u}</math><br />
<math>\mathbf{y}=\mathbf{C}\cdot\mathbf{x}+\mathbf{D}\cdot\mathbf{u}</math>

mit der Systemmatrix <math>\mathbf{A}</math>, der Steuermatrix <math>\mathbf{B}</math>, der Beobachtungsmatrix <math>\mathbf{C}</math>, der Durchgangsmatrix <math>\mathbf{D}</math>, dem Zustandsvektor <math>\mathbf{x}</math>, dem Ausgangsvektor <math>\mathbf{y}</math> und dem Steuervektor <math>\mathbf{u}</math>.

Zur Ermittlung der Steuerbarkeit gibt es verschiedene, von der Form der Zustandsraumdarstellung abhängige, Kriterien.

=== Vollständige Steuerbarkeit ===
Vollständig zustandssteuerbar (teilweise auch erreichbar genannt) heißt ein lineares System, wenn es für jeden Anfangszustand <math>\mathbf{x}(t_0)</math> eine Steuerfunktion <math>\mathbf{u}(t)</math> gibt, die das System innerhalb einer beliebigen endlichen Zeitspanne <math>t_0\leq t \leq t_e</math> in einen beliebigen Endzustand <math>\mathbf{x}(t_e)</math> überführt.

=== Strukturelle Steuerbarkeit ===
Eine Klasse von Systemen <math>S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)</math> heißt strukturell steuerbar, wenn es mindestens ein System <math>(A, B, C) \in S</math> gibt, das vollständig steuerbar ist.

Dabei sind <math>S\ ( S_A,\ S_B,\ S_C)</math> Matrizen, in denen alle Elemente ungleich 0 mit * markiert wurden, da alle Elemente gleich 0 über die strukturelle Beobachtbarkeit und strukturelle Steuerbarkeit entscheiden. D. h. die det S muss ungleich 0 sein.


== Steuerbarkeitskriterien ==

=== Vollständige Ausgangssteuerbarkeit ===
Das System <math>(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D})</math> ist genau dann vollständig ausgangssteuerbar,<ref>Lunze, Jan: ''Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung.'' S. 84, 4. Aufl. Heidelberg: Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X</ref> wenn der Rang der Matrix

:<math>\mathbf{S}_{AS}=\begin{pmatrix}
\mathbf{CB} & \mathbf{CAB} & \mathbf{CA^2B} & \cdots & \mathbf{CA^{n-1}B} & \mathbf{D}
\end{pmatrix}
</math>
mit der Zahl der Ausgangsgrößen übereinstimmt:
Bedingung für Ausgangssteuerbarkeit ist also Rang <math>\mathbf{S}_{AS}=r</math>. Unter der Voraussetzung, dass Rang(C) = r gilt, ist jedes zustandssteuerbare System auch ausgangssteuerbar. Die Umkehrung gilt dabei nicht.

=== Vollständige Zustandssteuerbarkeit ===
==== Kriterium von Kalman ====
Das System
<math>(\mathbf{A},\mathbf{B})</math>
ist genau dann nach Kalman vollständig steuerbar,<ref>Lunze, Jan: ''Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung.'' S. 64, 4. Aufl. Heidelberg: Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X</ref> wenn für die Steuerbarkeitsmatrix

:<math>\mathbf{S}_S=\begin{pmatrix}
\mathbf{B} & \mathbf{AB} & \mathbf{A^2B} & \cdots & \mathbf{A^{n-1}B}
\end{pmatrix}
</math>

gilt

:<math>\mathrm{Rang}\ \mathbf{S}_S{ }={ }n</math>.

Im Spezialfall <math>\mathbf{B}\in\mathbb{R}^{n\times 1}</math> ist <math>\mathbf{S}_S</math> für steuerbare Systeme sogar invertierbar, was Voraussetzung für die Verwendung der
''Formel von Ackermann'' zur [[Polvorgabe#Polvorgabe bei Eingrößensystemen|Polvorgabe für Eingrößensysteme]] ist.
Die Zustandssteuerbarkeit nach Kalman ist ein Spezialfall der ''vollständigen Ausgangssteuerbarkeit'' für
<math>\mathbf{C}=\mathbf{I},\ \mathbf{D}=\mathbf{0}</math>.

==== Kriterium von Gilbert ====
Das System <math>({\rm diag} \lambda_i, \tilde{\mathbf{B}})</math>, dessen Zustandsraummodell in kanonischer Normalform vorliegt, ist genau dann nach Gilbert<ref>Lunze, Jan: ''Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung.'' S. 73, 4. Aufl. Heidelberg: Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X</ref> vollständig steuerbar, wenn die Matrix
<math>\tilde{\mathbf{B}}</math> keine Nullzeile besitzt und wenn die p Zeilen <math>\tilde{\mathbf{b}}_i^T </math>, der Matrix <math>\tilde{\mathbf{B}}</math>, die zu den kanonischen Zustandsvariablen eines p-fachen Eigenwerts gehören, linear unabhängig sind.
:<math>\frac{{\rm d} \tilde{\mathbf{x}}(t)}{{\rm d}t}={\rm diag} \lambda_i \cdot \tilde{\mathbf{x}}(t) + \tilde \mathbf{B} u(t), \ \tilde{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}_0</math>
<math>\mathbf{V}</math> ist dabei die Matrix der zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren der Matrix <math>\mathbf{A}</math>, mit <math>\tilde{x} = \mathbf{V}^{-1}x</math>.

==== Kriterium von Hautus ====
Das System (A,B) ist genau dann nach Hautus vollständig steuerbar,<ref>Lunze, Jan: ''Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung.'' S. 75, 4. Aufl. Heidelberg: Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X</ref> wenn die Bedingung
:<math>\mathrm{Rang}\begin{pmatrix}
\lambda_i I - \mathbf{A} & | &\mathbf{B}
\end{pmatrix}=n
</math>
für alle [[Eigenwert]]e <math>\lambda_i(i = 1,2,\ldots,n)</math> der Matrix A erfüllt ist.

=== Steuerbarkeit von Abtastsystemen ===
Die oben genannten Beziehungen gelten auch für Abtastsysteme, wenn <math>\mathbf{A}</math> durch die [[Transitionsmatrix]] und <math>\mathbf{B}</math> durch die diskrete Eingangsmatrix <math>\mathbf{H}</math> ersetzt wird.
Nach<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Ackermann |Titel=Abtastregelung; 1. Analyse und Synthese |Auflage=2 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=1983 |ISBN=}}</ref> kann die Überprüfung vereinfacht werden, indem zunächst die Bedingungen für das kontinuierliche System geprüft werden und dann die Zusatzbedingung
:<math>e^{s_i T_{ab}} \ne e^{s_j T_{ab}} </math> für <math> s_i \ne s_j</math>
erfüllt ist.

== Regelungsnormalform (Frobenius-Form) ==
Die Regelungsnormalform kann unter anderem aus der [[Übertragungsfunktion]]:
<math>
G(s)=\frac{b_0+b_1s+\dotsb+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n}s^{n}}{a_0+a_1s+\dotsb+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n}s^{n}}
</math>
einfach bestimmt werden. Für <math>a_n=1</math> gilt:

[[Datei:Blockdiagrammzustandsraum.PNG|mini|Blockdiagramm Zustandsraumdarstellung]]

:<math>\begin{bmatrix}
\dot x_1\\
\dot x_2\\
...\\
\dot x_{n-1}\\
\dot x_n\\\end{bmatrix}
=\underbrace{\begin{pmatrix}
0&1 & 0 & ... & 0 \\
0&0 & 1 & ... & 0 \\
0&0 & 0 &... & 0 \\
...& ... &... &... &... \\
0 & 0 & 0 & ... & 1 \\
-a_0 & -a_1 & -a_2 & ... &-a_{n-1}\\
\end{pmatrix}}_{A_R}
\begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
...\\
x_{n-1}\\
x_n\\\end{bmatrix}+
\underbrace{
\begin{bmatrix} 0\\
0\\
...\\
1\\\end{bmatrix}
}_{b_R}
u
</math>
:<math>y=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
b_0 -b_n a_0 & b_1 -b_n a_1 & \cdots & b_{n-1} -b_n a_{n-1}\\
\end{bmatrix}}_{c'_R}
\begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_{n-1}\\
x_n\\\end{bmatrix}+
\begin{matrix}
\underbrace{b_n}\\
\textrm{}^{\rm d_R}
\end{matrix}
u</math>
bzw. für Systeme ohne Ableitungen der Eingangsgröße
:
:<math>y=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
b_0 & 0 &\cdots & 0\\
\end{bmatrix}}_{c'_R}
\begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_{n-1}\\
x_n\\\end{bmatrix}+0 u</math>
Die spezielle Form von <math>A_R</math> und <math>b_R</math> ist hilfreich für die Analyse und die Konstruktion von [[Zustandsregelung|Zustandsreglern]].

== Nichtlineare Steuerbarkeit und Flachheit ==
Im Nichtlinearen kann man keine globale Aussagen zur Steuerbarkeit machen und muss diese immer an einen Gültigkeitsbereich koppeln. Besondere Rolle spielt hier der mathematische ad-Operator.

Deshalb erweitert die Systemeigenschaft der [[Flachheit (Systemtheorie)|Flachheit]] die Steuerbarkeit auf den nichtlinearen Fall. Im linearen Fall sind steuerbare Systeme auch flach.

Vorsicht ist jedoch beim Schließen auf die Steuerbarkeit des nichtlinearen Systems aus der Linearisierung geboten. Ist die Linearisierung um einen Punkt steuerbar, so ist das nicht lineare System lokal um diesen Punkt steuerbar. Ist jedoch die Linearisierung nicht steuerbar, kann das System trotzdem immer noch steuerbar sein.

== Gründe für nicht vollständig steuerbare Systeme ==
Für die nicht vollständige Steuerbarkeit gibt es zwei wesentliche Gründe:<ref>Lunze, Jan: ''Regelungstechnik 2: Mehrgrößensysteme Digitale Regelung.'' S. 76, 4. Aufl. Heidelberg: Springer, 2006. – ISBN 3-540-32335-X</ref>
# Eigenvorgänge, die nicht mit dem Eingang verbunden sind, sind nicht steuerbar.
# Zwei parallele Teilsysteme mit denselben dynamischen Eigenschaften sind nicht vollständig steuerbar.

== Gründe für die Untersuchung ==

Das Steuerbarkeitskriterium kann auch genutzt werden um eine Regelungsaufgabe zu vereinfachen. Wird nicht die [[Stellgröße]], sondern die [[Störgröße]] auf ihre Steuerbarkeit hinsichtlich der Regelgröße untersucht, so zeigt eine Nichtsteuerbarkeit, dass dieser Systemteil dem Störeinfluss nicht unterliegt und somit dieser Teil nicht geregelt werden muss, wenn nur die Störung unterdrückt werden soll. Andererseits kann eine Störgröße nicht kompensiert werden, wenn ein Systemteil durch die Störgröße aber nicht durch die Stellgröße steuerbar ist.

Die Eigenschaft der Nichtsteuerbarkeit der Störgröße wird für einige Regelungsverfahren genutzt. So wird bei der [[Störentkopplung]] der Regler so entwickelt, dass die Stellgröße nicht mehr von der Störgröße abhängt.

== Siehe auch ==
* [[Zustandsraumdarstellung]]
* [[Regelungstechnik]]
* [[Beobachter (Regelungstechnik)|Beobachtbarkeit]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Regelungstheorie]]

[[fr:Commandabilité]]

Steuerbarkeit - Versionsgeschichte

imported>Valoh65: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|0 */