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2024-06-12T19:37:50Z

Mathfix mit AWB

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In der [[Mathematik]], insbesondere in der [[Operatortheorie]] und der Theorie der [[C*-Algebra|C*-Algebren]], ermöglicht der '''stetige Funktionalkalkül''' die Anwendung einer [[Stetige Funktion|stetigen Funktion]] auf [[Normales Element|normale Elemente]] einer C*-Algebra.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses [[Funktionalkalkül]]s so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, ''den'' Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen [[Banachalgebra|Banachalgebren]], in denen man lediglich einen [[Holomorpher Funktionalkalkül|holomorphen Funktionalkalkül]] hat, ausmacht.

== Motivation ==

Will man den [[Funktionalkalkül|natürlichen Funktionalkalkül für Polynome]] auf dem [[Spektrum (Operatortheorie)#Spektraltheorie für Elemente einer Banachalgebra|Spektrum]] <math>\sigma(a)</math> eines [[Element (Mathematik)|Elements]] <math>a</math> einer Banachalgebra <math>\mathcal{A}</math> zu einem Funktionalkalkül für stetige Funktionen <math>C(\sigma(a))</math> auf dem Spektrum erweitern, so liegt es nahe, eine stetige Funktion gemäß dem [[Satz von Stone-Weierstraß]] durch [[Polynom]]e zu [[Approximation|approximieren]], das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass diese [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Elementen in <math>\mathcal{A}</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]].
Die stetigen Funktionen auf <math>\sigma(a) \subset \C</math> werden von Polynomen in <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> approximiert, das heißt von Polynomen der Form {{nowrap|<math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \Complex \right)</math>.}} Dabei bezeichnet <math>\overline{z}</math> die [[komplexe Konjugation]], welche eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] auf den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist.
Damit man nun <math>a</math> an Stelle von <math>z</math> in ein solches Polynom einsetzen kann, betrachtet man [[Banachalgebra#Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra|Banach-*-Algebren]], also Banachalgebren, die ebenfalls eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] * haben, und setzt <math>a^*</math> an die Stelle von {{nowrap|<math>\overline{z}</math>.}} Um einen [[Homomorphismus]] <math>{\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A}</math> zu erhalten, muss man sich auf normale Elemente einschränken, also Elemente mit <math>a^*a = aa^*</math>, da der [[Polynomring]] <math>\C[z,\overline{z}]</math> [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist.
Ist nun <math>(p_n(z,\overline{z}))_n</math> eine [[Funktionenfolge|Folge von Polynomen]], die auf <math>\sigma(a)</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen eine stetige Funktion <math>f</math> konvergiert, so ist noch die Konvergenz der Folge <math>(p_n(a,a^*))_n</math> in <math>\mathcal{A}</math> gegen ein Element <math>f(a)</math> sicherzustellen. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

== Der stetige Funktionalkalkül ==

; Satz (Stetiger Funktionalkalkül).
: Sei <math>a</math> ein normales Element der C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> mit [[Neutrales Element|Einselement]] <math>e</math> und sei <math>C (\sigma(a))</math> die [[Algebra über einem Körper#Kommutative Algebren|kommutative C*-Algebra]] der stetigen Funktionen auf <math>\sigma(a)</math>, dem Spektrum von {{nowrap|<math>a</math>.}} Dann gibt es genau einen [[C*-Algebra#Weitere Eigenschaften von C*-Algebren|*-Homomorphismus]] <math>\Phi_a \colon C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A}</math> mit <math>\Phi_a (\boldsymbol{1}) = e</math> für <math>\boldsymbol{1}(z) = 1</math> und <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a</math> für die [[Identische Abbildung|Identität]].

Die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>\Phi_a</math> heißt der stetige Funktionalkalkül zum normalen Element {{nowrap|<math>a</math>.}} Üblicherweise setzt man suggestiv {{nowrap|<math>f(a) := \Phi_a(f)</math>.}}

Durch die *-Homomorphie-Eigenschaft gelten für alle Funktionen <math>f,g \in C(\sigma(a))</math> und [[Skalar (Mathematik)|Skalare]] <math>\lambda,\mu \in \C</math> die folgenden Rechenregeln:
{|
|
* <math>(\lambda f + \mu g)(a) = \lambda f(a) + \mu g(a) \qquad</math>
|(linear)
|-
|
* <math>(f \cdot g)(a) = f (a) \cdot g(a)</math>
|(multiplikativ)
|-
|
* <math>\overline{f}(a) =\colon \; (f^*)(a) = (f(a))^*</math>
|(involutiv)
|}
Man kann sich also vorstellen, die normalen Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein [[Adjunktion (Einselement)|Einselement adjungieren]] und in der so vergrößerten C*-Algebra <math>\mathcal{A}_1</math> arbeiten. Ist dann <math>a \in \mathcal{A}</math> und <math>f \in C(\sigma (a))</math> mit <math>f(0) = 0</math>, so gilt <math>0 \in \sigma (a)</math> und {{nowrap|<math>f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1</math>.}}

Die Existenz und die Eindeutigkeit des stetigen Funktionalkalküls beweist man getrennt:

* ''Existenz:'' Da das Spektrum von <math>a</math> in der von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugten C*-[[Algebra über einem Körper#Unteralgebren und Ideale|Unteralgebra]] <math>C^*(a,e)</math> dasselbe ist, wie in <math>\mathcal{A}</math> genügt es die Aussage für <math>\mathcal{A} = C^*(a,e)</math> zu zeigen. Die eigentliche Konstruktion des stetigen Funktionalkalküls erfolgt anschließend unter Verwendung der [[Umkehrfunktion|Inversen]] [[Gelfand-Transformation]].

* ''Eindeutigkeit:'' Da <math>\Phi_a(\boldsymbol{1})</math> und <math>\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)})</math> festgelegt sind, ist <math>\Phi_a</math> bereits für alle Polynome <math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \Complex \right)</math> eindeutig festgelegt, da <math>\Phi_a</math> ein *-Homomorphismus ist. Diese bilden nach dem Satz von Stone-Weierstraß eine [[Dichte Teilmenge|dichte]] Unteralgebra von {{nowrap|<math>C(\sigma(a))</math>.}} Damit ist <math>\Phi_a</math> insgesamt eindeutig.

In der Funktionalanalysis ist man häufig am stetigen Funktionalkalkül für einen normale Operatoren <math>T</math> interessiert, das heißt an dem Fall, dass <math>\mathcal{A}</math> die C*-Algebra <math>\mathcal{B}(H)</math> der [[Beschränkter Operator|beschränkten Operatoren]] auf einem [[Hilbertraum]] <math>H</math> ist. Häufig wird in der Literatur der stetige Funktionalkalkül in diesem Setting sogar nur für [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte Operatoren]] bewiesen. Der Beweis kommt in diesem Fall ohne die Gelfand-Transformation {{nowrap|aus.<ref>[[Michael C. Reed|Michael Reed]], [[Barry Simon]]: ''Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis.'' Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222–223.</ref>}}

== Weitere Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ==

Der stetige Funktionalkalkül <math>\Phi_a</math> ist ein [[Isometrie|isometrischer]] [[Isomorphismus]] auf die von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugte C*-Unteralgebra <math>C^*(a,e)</math>, das heißt:

* <math>\left\| \Phi_a (f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)}</math> für alle <math>f \in C(\sigma(a))</math>; <math>\Phi_a</math> ist somit stetig.
* <math>\Phi_a \left( C(\sigma(a)) \right) = C^*(a, e) \subseteq \mathcal{A}</math>

Da <math>a</math> ein normales Element von <math>\mathcal{A}</math> ist, ist die von <math>a</math> und <math>e</math> erzeugte C*-Unteralgebra kommutativ. Insbesondere ist <math>f(a)</math> normal und alle Elemente eines Funktionalkalküls [[Kommutativgesetz|kommutieren]].

Der [[Holomorpher Funktionalkalkül|holomorphe Funktionalkalkül]] wird vom stetigen Funktionalkalkül in eindeutiger Weise {{nowrap|[[Fortsetzung (Mathematik)|fortgesetzt]].<ref>[[Eberhard Kaniuth]]: ''A Course in Commutative Banach Algebras.'' Springer, 2009, ISBN 978-0-387-72475-1, S. 147.</ref>}} Daher stimmt für Polynome <math>p(z,\overline{z})</math> der stetige Funktionalkalkül mit dem natürlichen Funktionalkalkül für Polynome überein: <math display="inline">\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^*) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} a^k(a^*)^l</math> für alle <math display="inline">p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l</math> mit {{nowrap|<math>c_{k,l} \in \C</math>.}}

Für eine Folge von Funktionen <math>f_n \in C(\sigma(a))</math>, die auf <math>\sigma(a)</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen eine Funktion <math>f \in C(\sigma(a))</math> konvergiert, konvergiert {{nowrap|<math>f_n(a)</math> gegen <math>f(a)</math>.<ref>[[Bruce Blackadar]]: ''Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.</ref>}} Für eine [[Potenzreihe]] <math display="inline">f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n</math>, die auf <math>\sigma(a)</math> [[Absolut konvergente Reihe|absolut gleichmäßig konvergiert]], gilt daher {{nowrap|<math display="inline">f(a) = \sum_{n=0}^\infty c_na^n</math>.<ref>[[Anton Deitmar]], [[Siegfried Echterhoff]]: ''Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.'' Springer, 2014, ISBN 978-3-319-05791-0, S. 55.</ref>}}

Sind <math>f \in \mathcal{C}(\sigma(a))</math> und <math>g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a)))</math>, so gilt für deren [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] {{nowrap|<math>(g \circ f)(a) = g(f(a))</math>.}} Sind <math>a,b \in \mathcal{A}_N</math> zwei normale Elemente mit <math>f(a) = f(b)</math> und ist <math>g</math> sowohl auf <math>\sigma(a)</math> als auch <math>\sigma(b)</math> die Umkehrfunktion von <math>f</math>, so ist bereits <math>a = b</math>, da {{nowrap|<math>a = (f \circ g) (a) = f(g(a)) = f(g(b)) = (f \circ g) (b) = b</math>.}}

Es gilt der ''spektrale Abbildungssatz'': <math>\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))</math> für alle {{nowrap|<math>f \in C(\sigma(a))</math>.}}

Gilt <math>ab = ba</math> für <math>b \in \mathcal{A}</math>, so gilt auch <math>f(a)b = bf(a)</math> für alle <math>f \in C ( \sigma (a))</math>, das heißt wenn <math>b</math> mit <math>a</math> kommutiert, dann auch mit den zugehörigen Elementen des stetigen Funktionalkalküls {{nowrap|<math>f(a)</math>.}}

Sei <math>\Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math> ein unitärer *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren <math>\mathcal{A}</math> und {{nowrap|<math>\mathcal{B}</math>.}} Dann kommutiert <math>\Psi</math> mit dem stetigen Funktionalkalkül. Es gilt: <math>\Psi(f(a)) = f(\Psi(a))</math> für alle {{nowrap|<math>f \in C(\sigma(a))</math>.}} Insbesondere kommutiert der stetige Funktionalkalkül mit der Gelfand-Transformation.

Mit dem spektralen Abbildungssatz lassen sich Funktionen mit bestimmten Eigenschaften direkt mit bestimmten Eigenschaften von Elementen von C*-Algebren in Verbindung bringen:

* <math>f(a)</math> ist genau dann [[Inverses Element|invertierbar]], wenn <math>f</math> auf <math>\sigma(a)</math> keine [[Nullstelle]] {{nowrap|hat.<ref>[[Winfried Kaballo]]: ''Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 332.</ref>}} Dann ist {{nowrap|<math display="inline">f(a)^{-1} = \tfrac{1}{f} (a)</math>.<ref>[[Konrad Schmüdgen]]: ''Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.'' Springer, 2012, ISBN 978-94-007-4752-4, S. 93.</ref>}}
* <math>f(a)</math> ist genau dann [[Selbstadjungiertes Element|selbstadjungiert]], wenn <math>f</math> [[Reellwertige Funktion|reellwertig]], also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \R</math> ist.
* <math>f(a)</math> ist genau dann [[Positives Element|positiv]] (<math>f(a) \geq 0</math>), wenn <math>f \geq 0</math>, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty )</math> ist.
* <math>f(a)</math> ist genau dann [[Unitäres Element|unitär]], wenn alle Werte von <math>f</math> in der [[Kreisgruppe]] liegen, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \Complex \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}</math> ist.
* <math>f(a)</math> ist genau dann eine [[Projektion (Lineare Algebra)|Projektion]], wenn <math>f</math> nur die Werte <math>0</math> und <math>1</math> annimmt, also <math>f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}</math> ist.

Diese gehen auf Aussagen über das Spektrum bestimmter Elemente zurück, welche im Abschnitt Anwendungen dargestellt sind.

Im speziellen Fall, dass <math>\mathcal{A}</math> die C*-Algebra der beschränkten Operatoren <math>\mathcal{B}(H)</math> für einen Hilbertraum <math>H</math> ist, sind [[Eigenwerte und Eigenvektoren|Eigenvektoren]] <math>v \in H</math> zum Eigenwert <math>\lambda \in \sigma(T)</math> eines [[Normaler Operator|normalen Operators]] <math>T \in \mathcal{B}(H)</math> auch Eigenvektoren zum Eigenwert <math>f(\lambda) \in \sigma(f(T))</math> des Operators {{nowrap|<math>f(T)</math>.}} Gilt also <math>Tv = \lambda v</math>, so gilt auch <math>f(T)v = f(\lambda)v</math> für alle {{nowrap|<math>f \in \sigma(T)</math>.<ref>Michael Reed, Barry Simon: ''Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis.'' Academic Pres, San Diego, CA, 1980, ISBN 0-12-585050-6, S. 222.</ref>}}

== Anwendungen ==

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls:

=== Spektrum ===

Sei <math>\mathcal{A}</math> eine C*-Algebra und <math>a \in \mathcal{A}_N</math> ein normales Element. Dann gilt für das Spektrum <math>\sigma(a)</math>:

* <math>a</math> ist genau dann selbstadjungiert, wenn {{nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \R</math>.}}
* <math>a</math> ist genau dann unitär, wenn {{nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \Complex \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}</math>.}}
* <math>a</math> ist genau dann eine Projektion, wenn {{nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}</math>.}}

''Beweis.'' Der stetige Funktionalkalkül <math>\Phi_a</math> zum normalen Element <math>a \in \mathcal{A}</math> ist ein *-Homomorphismus mit <math>\Phi_a (\operatorname{Id}) = a</math> und somit ist <math>a</math> selbstadjungiert/unitär/eine Projektion, wenn <math>\operatorname{Id} \in C( \sigma(a))</math> ebenfalls selbstadjungiert/unitär/eine Projektion ist. Genau dann ist <math>\operatorname{Id}</math> selbstadjungiert, wenn <math>z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z}</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math> gilt, also wenn <math>\sigma(a)</math> reell ist. Genau dann ist <math>\text{Id}</math> unitär, wenn <math>1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math> gilt, also {{nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \Complex \ | \ \left\| \lambda \right\| = 1 \}</math>.}} Genau dann ist <math>\text{Id}</math> eine Projektion, wenn <math>(\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z)</math>, d. h. <math>z^2 = z = \overline{z}</math> für alle <math>z \in \sigma(a)</math>, also {{nowrap|<math>\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}</math>.}}

=== Wurzeln ===

Sei <math>a</math> ein positives Element einer C*-Algebra {{nowrap|<math>\mathcal{A}</math>.}} Dann existiert für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ein eindeutig bestimmtes positives Element <math>b \in \mathcal{A}_+</math> mit <math>b^n =a</math>, das heißt eine eindeutige <math>n</math>-te [[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]].

''Beweis.'' Für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ist die Wurzelfunktion <math>f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+, x \mapsto \sqrt[n]x</math> eine stetige Funktion auf {{nowrap|<math>\sigma (a) \subseteq \R_0^+</math>.}} Sei <math>b \; \colon = f_n (a)</math> mittels stetigem Funktionalkalkül definiert, dann folgt aus den Eigenschaften des Kalküls {{nowrap|<math>b^n = (f_n(a))^n = (f_n^n)(a) = \operatorname{Id}_{\sigma(a)}(a)=a</math>.}} Aus dem spektralen Abbildungssatz folgt <math>\sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty)</math>, das heißt <math>b</math> ist positiv. Sei <math>c \in \mathcal{A}_+</math> ein weiteres positives Element mit <math>c^n = a = b^n</math>, so gilt <math>c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b</math>, da die Wurzelfunktion auf den positiven reellen Zahlen eine Umkehrfunktion zur Funktion <math>z \mapsto z^n</math> ist.

Ist <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> ein selbstadjungiertes Element, dann existiert zumindest für jedes ungerade <math>n \in \N</math> ein eindeutig bestimmtes selbstadjungiertes Element <math>b \in \mathcal{A}_{sa}</math> mit {{nowrap|<math>b^n = a</math>.<ref>Bruce Blackadar: ''Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 64–65.</ref>}}

Ebenso definiert für ein positives Element <math>a</math> einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> jedes <math>\alpha \geq 0</math> ein eindeutig bestimmtes positives Element <math>a^\alpha</math> von <math>C^*(a)</math>, sodass <math>a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}</math> für alle <math>\alpha, \beta \geq 0</math> gilt. Falls <math>a</math> invertierbar ist, lässt sich dies auch auf negative Werte von <math>\alpha</math> fortsetzen.

=== Betrag ===

Sei <math>a \in \mathcal{A}</math>, dann ist das Element <math>a^*a</math> positiv, sodass der Betrag durch den stetigen Funktionalkalkül definiert werden kann <math>|a| = \sqrt{a^*a}</math>, da dieser auf den positiven reellen Zahlen stetig {{nowrap|ist.<ref>Bruce Blackadar: ''Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9, S. 62.</ref>}}

Sei <math>a</math> ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math>, dann existieren positive Elemente <math>a_+,a_- \in \mathcal{A}_+</math>, sodass <math>a = a_+ - a_-</math> mit <math>a_+ a_- = a_- a_+ = 0</math> gilt. Man bezeichnet <math>a_+</math> und <math>a_-</math> auch als [[Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion|Positiv- und Negativteil]]. Darüber hinaus gilt {{nowrap|<math>|a| = a_+ + a_-</math>.}}

''Beweis.'' Die Funktionen <math>f_+(z) = \max(z,0)</math> und <math>f_-(z) = -\min(z,0)</math> sind stetige Funktionen auf <math>\sigma(a) \subseteq \R</math> mit <math>\operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z)</math> und {{nowrap|<math>f_+(z)f_-(z) = f_-(z)f_+(z) = 0</math>.}} Setze <math>a_+ = f_+(a)</math> und {{nowrap|<math>a_- = f_-(a)</math>.}} Nach dem spektralen Abbildungssatz sind <math>a_+</math> und <math>a_-</math> positive Elemente und es gilt <math>a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-</math> und {{nowrap|<math>a_+ a_- = f_+(a)f_-(a) = (f_+f_-)(a) = 0 = (f_-f_+)(a) = f_-(a)f_+(a) = a_- a_+</math>.}} Weiterhin gilt <math display="inline">f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2}</math>, sodass <math display="inline">a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}</math> gilt.

=== Unitäre Elemente ===

Ist <math>a</math> ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra <math>\mathcal{A}</math> mit Einselement <math>e</math>, so ist <math>u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}</math> unitär, wobei <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]] bezeichnet. Ist umgekehrt <math>u \in \mathcal{A}_U</math> ein unitäres Element, mit der Einschränkung, dass das Spektrum eine [[Teilmenge|echte Teilmenge]] des Einheitskreises ist, also <math>\sigma(u) \subsetneq \mathbb{T}</math>, so existiert ein selbstadjungiertes Element <math>a \in \mathcal{A}_{sa}</math> mit {{nowrap|<math>u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}</math>.}}

''Beweis.'' Es ist <math>u = f(a)</math> mit <math>f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}</math>, denn da <math>a</math> selbstadjungiert ist, folgt <math>\sigma(a) \subset \R</math>, das heißt <math>f</math> ist eine Funktion auf dem Spektrum von {{nowrap|<math>a</math>.}} Da <math>f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1</math> folgt mittels Funktionalkalkül <math>uu^* = u^*u = e</math>, das heißt <math>u</math> ist unitär. Da für die andere Aussage ein <math>z_0 \in \mathbb{T}</math> existiert, sodass <math>\sigma(u) \subseteq \{ \mathrm{e}^{\mathrm{i} z} \mid z_0 \leq z \leq z_0 + 2 \pi \}</math> ist die Funktion <math>f(\mathrm{e}^{\mathrm{i} z}) = z</math> für <math>z_0 \leq z \leq z_0 + 2 \pi</math> eine reellwertige stetige Funktion auf dem Spektrum <math>\sigma(u)</math>, sodass <math>a = f(u)</math> ein selbstadjungiertes Element ist, das <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} f(u)} = u</math> erfüllt.

=== Spektraler Zerlegungssatz ===

Sei <math>\mathcal{A}</math> eine unitäre C*-Algebra und <math>a \in \mathcal{A}_N</math> ein normales Element. Das Spektrum bestehe aus <math>n</math> paarweise [[Disjunkt|disjunkten]] [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] Teilmengen <math>\sigma_k \subset \C</math> für alle <math>1 \leq k \leq n</math>, also {{nowrap|<math>\sigma(a)=\sigma_1 \sqcup \cdots \sqcup \sigma_n</math>.}} Dann existieren Projektionen <math>p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A}</math>, die für alle <math>1 \leq j,k \leq n</math> die folgenden Eigenschaften {{nowrap|besitzen<ref name="kaballo">Winfried Kaballo: ''Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, S. 375.</ref>:}}

* Für das Spektrum gilt {{nowrap|<math>\sigma(ap_k) = \sigma_k</math>.}}
* Die Projektionen kommutieren mit {{nowrap|<math>a</math>, also <math>p_ka=ap_k</math>.}}
* Die Projektionen sind [[Orthogonalität|orthogonal]], also {{nowrap|<math>p_jp_k=\delta_{jk} p_k</math>.}}
* Die Summe der Projektionen ist das Einselement, also {{nowrap|<math display="inline">\sum_{k=1}^n p_k = e</math>.}}

Insbesondere existiert eine Zerlegung <math display="inline">a = \sum_{k=1}^n a_k</math> für die <math>\sigma(a_k) = \sigma_k</math> für alle <math>1 \leq k \leq n</math> gilt.

''Beweis.''<ref name="kaballo" /> Da die <math>\sigma_k</math> alle abgeschlossen sind, sind die [[Indikatorfunktion|charakteristischen Funktionen]] <math>\chi_{\sigma_k}</math> stetig auf {{nowrap|<math>\sigma(a)</math>.}} Sei nun <math>p_k := \chi_{\sigma_k} (a)</math> mithilfe des stetigen Funktionalkalküls definiert. Da die <math>\sigma_k</math> paarweise disjunkt sind gilt <math>\chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k}</math> und <math display="inline">\sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1}</math> und somit erfüllen die <math>p_k</math> die geforderten Eigenschaften, wie sich wiederum aus den Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ergibt. Für die letzte Aussage setzt man {{nowrap|<math>a_k = a p_k = \operatorname{Id} (a) \cdot \chi_{\sigma_k} (a) = (\operatorname{Id} \cdot \chi_{\sigma_k}) (a)</math>.}}

== Literatur ==
* [[Jacques Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations''. Gauthier-Villars, Paris, 1969.
* Jacques Dixmier: ''C*-algebras.'' Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
* [[Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[John Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.'' Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
* [[Masamichi Takesaki]]: ''Theory of Operator Algebras I''. Springer, Heidelberg/Berlin, 1979, ISBN 3-540-90391-7.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Stetiger Funktionalkalkül - Versionsgeschichte

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