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2023-06-21T00:30:44Z

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[[Datei:Gleichverteilung.PNG|mini|hochkant=2|Dichtefunktion der Gleichverteilung für <math>a=4, b=8</math> (blau), <math>a=1, b=18</math> (grün) und <math>a=1, b=11</math> (rot)]]
Die '''stetige Gleichverteilung''', auch '''Rechteckverteilung''', '''kontinuierliche Gleichverteilung''' oder '''Uniformverteilung''' genannt, ist eine [[Stetige Funktion|stetige]] [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Sie hat auf einem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math> eine konstante [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Möglichkeit, die stetige [[Gleichverteilung]] auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren, bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der [[Inversionsmethode]] oder der [[Verwerfungsmethode]].

== Definition ==
Eine stetige [[Zufallsvariable]] <math>X</math> bezeichnet man als '''gleichverteilt''' auf dem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn [[Dichtefunktion]] <math>f(x)</math> und [[Verteilungsfunktion]] <math>F(x)</math> gegeben sind als

{|
|-
|<math>f(x)=\begin{cases}
\frac 1{b-a} & a \le x \le b\\
0 & \text{sonst.}
\end{cases}
=
\frac{1}{\sqrt{12\sigma^2}} \cdot \text{rect}\left( \frac{x - \mu}{\sqrt{12\sigma^2}}\right)</math>
|[[Datei:Stetige Gleichverteilung Dichte.png|200px|]]
|-
|<math>F(x)= \begin{cases}
0 & x \le a\\
\frac{x-a}{b-a} & a < x < b\\
1 & x\ge b
\end{cases}</math>
|[[Datei:Stetige Gleichverteilung Verteilungsfunktion.png|200px|]]
|}
Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig <math>\mathcal U(a,b)</math> oder <math>\mathcal{SG}(a,b)</math> verwendet. In einigen Formeln sieht man auch <math>\text{Gleich}(a,b)</math> oder <math>\text{uniform}(a,b)</math> als Bezeichnung für die Verteilung. Die stetige Gleichverteilung ist durch ihre ersten beiden zentralen Momente komplett beschrieben, d. h. alle höheren Momente sind aus Erwartungswert und Varianz berechenbar.

== Eigenschaften ==
=== Wahrscheinlichkeiten ===
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf <math>[a,b]</math> gleichverteilte Zufallsvariable <math>X</math> in einem Teilintervall <math>[c,d] \subseteq [a,b]</math> liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:
:<math>P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) = \frac{d-c}{b-a}</math>.

=== Erwartungswert und Median ===
Der [[Erwartungswert]] und der [[Median (Stochastik)|Median]] der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls <math>[a,b]</math>:
:<math>\operatorname E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx = \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x\cdot 1\,dx = \frac 12\frac{b^2-a^2}{b-a} = \frac{a+b}2</math>
:<math>\operatorname{Median}(X) = F^{-1}(\tfrac{1}{2}) = \frac{a+b}{2}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der stetigen Gleichverteilung ist
:<math>
\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X^2) - \left({\operatorname{E}(X)} \right)^2 = \frac{1}{b - a}\int\limits_a^b {x^2 \cdot 1\,dx} - \left( {\frac{a + b}{2}} \right)^2 = \frac{1}{3}\frac{b^3 - a^3}{b - a} - \left( {\frac{a + b}{2}} \right)^2 \\
&= \frac{1}{12}\left( {4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2 } \right) = \frac{1}{12}(b - a)^2.
\end{align}
</math>

=== Standardabweichung und weitere Streumaße ===
Aus der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]
: <math>\sigma(X)= \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt 3} \approx 0{,}289(b-a)</math>.
Die [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|mittlere absolute Abweichung]] beträgt <math>(b-a)/4</math>, und der [[Streuung (Statistik)#(Inter-)Quartilsabstand|Interquartilsabstand]] <math>(b-a)/2</math> ist genau doppelt so groß.
Die Gleichverteilung ist die [[Streuung (Statistik)#Mittlere absolute Abweichung|einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte]] mit dieser Eigenschaft.

=== Variationskoeffizient ===
Für den [[Variationskoeffizient]]en ergibt sich:
: <math>\operatorname{VarK}(X) = \frac 1{\sqrt 3}\frac{b-a}{a+b}</math>.

=== Symmetrie ===
Die stetige Gleichverteilung ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um <math> \frac{a+b}{2} </math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] lässt sich darstellen als
: <math>\operatorname v(X) = 0</math>.

=== Wölbung und Exzess ===
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] <math>\beta_2</math> und der Exzess <math>\gamma_2 = \beta_2 - 3</math> lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als
: <math>\beta_2 = \tfrac{9}{5} = 1{,}8</math> bzw.
: <math>\gamma_2 = -\tfrac{6}{5} = -1{,}2</math>.

=== Momente ===
{| class="wikitable"
| <math>k</math>-tes [[Moment (Stochastik)|Moment]]
|<math>m_k = \frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^i b^{k-i}
= \frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k \left(\mu - \sqrt{3\sigma^2}\right)^i \left(\mu + \sqrt{3\sigma^2}\right)^{k-i}</math>
|-
| <math>k</math>-tes [[Moment (Stochastik)#Zentrale Momente|zentrales Moment]]
|<math>\mu_k =
\begin{cases}
\frac{(b-a)^k}{2^k(k+1)} & \text{ k gerade}\\
0 & \text{ k ungerade}
\end{cases}
=
\begin{cases}
\frac{\sqrt{3}^k \sigma^k}{(k+1)} & \text{ k gerade}\\
0 & \text{ k ungerade}
\end{cases}</math>
|}

=== Summe gleichverteilter Zufallsvariablen ===
[[Datei:Summe-von-Gleichverteilungen3.svg|300px|mini|Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)]]
Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter [[Zufallsvariable]]n ist [[Dreiecksverteilung|dreiecksverteilt]], falls die Breite der beiden Träger identisch ist. Unterscheiden sich die Trägerbreiten, so ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall <math>[a,b]</math>, die andere auf dem Intervall <math>[c,d]</math>.
Sei <math>\alpha=\min\{d-c,b-a\}</math> und <math>\beta=\max\{d-c,b-a\}</math>. Dann hat ihre Summe die folgende [[Trapezverteilung]]:

: <math>f\colon\R\to\R, x \longmapsto \begin{cases}0 & x \not\in [a+c,b+d]
\\\frac{x}{\alpha\beta}-\frac{a+c}{\alpha\beta} & x \in [a+c,a+c+\alpha]
\\\frac{1}{\beta} & x \in [a+c+\alpha,a+c+\beta]
\\\frac{b+d}{\alpha\beta}-\frac{x}{\alpha\beta} & x \in [a+c+\beta,b+d]
\end{cases}</math>

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen auf dem Intervall [0;1] ist eine [[Irwin-Hall-Verteilung]], sie nähert sich der Normalverteilung an ([[Zentraler Grenzwertsatz]]).

Eine zuweilen verwendete Methode ([[Zwölferregel]]) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
: <math>\phi_X(t) = \frac{1}{(b-a)it}\left(e^{itb}-e^{ita}\right) = \exp\left(i\frac{b+a}{2}t\right)\frac{\sin\left(\frac{b-a}{2}t\right)}{\frac{b-a}{2}t}</math>,
wobei <math>i</math> die [[imaginäre Einheit]] darstellt.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der stetigen Gleichverteilung ist
: <math>m_X(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\
1 & s=0
\end{cases}</math>

und speziell für <math>a=0</math> und <math>b=1</math>
: <math>m_X(s) = \frac 1s(e^s-1).</math>

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Dreiecksverteilung ===
Die Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine [[Dreiecksverteilung]].

=== Beziehung zur Betaverteilung ===
Sind <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> unabhängige auf <math>[0,1]</math> stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die [[Ordnungsstatistik]]en <math>X_{(1)}, X_{(2)}, \dotsc, X_{(n)}</math> eine [[Betaverteilung]]. Genauer gilt
: <math>X_{(k)} \sim B(k, n-k+1)</math>
für <math>k = 1,\dotsc,n</math>.

=== Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung ===
Mit der [[Inversionsmethode]] lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn <math>X</math> eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise <math>Y=-\tfrac 1\lambda \ln(X)</math> der
[[Exponentialverteilung]] mit dem Parameter <math>\lambda</math>.

=== Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ===
Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall <math>[a,b] </math> auf beliebige messbare Teilmengen <math> \Omega </math> des <math> \mathbb{R}^n </math> mit [[Lebesgue-Maß]] <math>0 < \lambda^n(\Omega) < \infty</math> verallgemeinern. Man setzt dann
: <math> \mathcal{U}_\Omega(A)=\int_A\frac{1}{\lambda^n(\Omega)}\,dx = \frac{\lambda^n(A)}{\lambda^n(\Omega)}</math>

für messbare <math> A \subseteq \Omega</math>.

=== Diskreter Fall ===
Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie [[diskrete Gleichverteilung]].

== Beispiel für das Intervall [0, 1] ==
Häufig wird <math>a=0</math> und <math>b=1</math> angenommen, also <math>X \sim \mathcal U(0,1)</math> betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion <math>f</math> auf dem Intervall <math>[0, 1]</math> konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort <math>F(x)=x</math>.
Der Erwartungswert beträgt dementsprechend <math>E(X) = \tfrac{1}{2}</math>, die Varianz <math>\operatorname{Var}(X) = \tfrac{1}{12}</math> und die Standardabweichung <math>\sigma(X) = \sqrt{\tfrac{1}{12}} = \tfrac{1}{6}\sqrt{3} \approx 0{,}29</math>, wobei die letztgenannten beiden Werte auch für ''beliebige'' Intervalle <math>[a, a+1]</math> der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt ''[[#Summe gleichverteilter Zufallsvariablen|Summe gleichverteilter Zufallsvariablen]]''.

Ist <math>X</math> eine <math>\mathcal U(0,1)</math>-verteilte Zufallsvariable, dann ist
: <math>Y = (b-a)X + a</math>
<math>\mathcal U(a,b)</math>-verteilt.

== Siehe auch ==
* [[Diskrete Gleichverteilung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]
|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie
|Auflage=1.
|Verlag=Vieweg
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2003
|ISBN=3-528-03183-2
|Seiten=155-156
|DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Stetige Gleichverteilung - Versionsgeschichte

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