imported>Carsten Steger: Unzutreffende Information entfernt. Im 4D gibt es keine zum Sterntetraeder analoge Konstruktion.

2026-03-11T09:10:07Z

Unzutreffende Information entfernt. Im 4D gibt es keine zum Sterntetraeder analoge Konstruktion.

Neue Seite

[[Datei:Stella octangula.svg|mini|Sterntetraeder]]
[[Datei:Sterntetraeder im Würfel.svg|mini|Im [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] sind zwei [[Tetraeder]] zu finden, die zum Sterntetraeder verschmelzen.]]
Das '''Sterntetraeder''', auch bekannt als '''Sternkörper zum Oktaeder''', als '''Stella Octangula''' und als '''Keplerstern''', ist ein achtstrahliger Stern und gehört zu den nicht-[[Konvexgeometrie|konvexen]] [[Deltaeder]]n. Es handelt sich um einen vielflächigen [[Körper (Geometrie)|Körper]], der durch Verschmelzung zweier [[Punktsymmetrisch|punktsymmetrischer]] [[Tetraeder]] entsteht. Das Sterntetraeder ist kein [[Sternkörper]], weil nicht in allen [[Ecke|Ecken]] gleich viele [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] zusammentreffen.

Benannt durch [[Johannes Kepler]] im Jahr 1609, ist dies sowohl das einfachste reguläre zusammengesetzte [[Polyeder]] als auch das einfachste nicht-[[Konvexe Menge|konvexe]] gleichmäßige Polyeder. Erstmals dargestellt wurde er durch [[Leonardo da Vinci]] in [[Luca Pacioli]]s ''De Divina Proportione'' 1509.

Der Grafiker [[M. C. Escher]] hat das Sterntetraeder als Motiv für das Bild ''Doppelplanetoid'' verwendet: Das eine Tetraeder hat die Form einer von Menschen bewohnten Burg, während das andere eine mit dem ersten durchdrungene, von Dinosauriern bewohnte Welt darstellt.<ref>M. C. Escher: [http://robertarood.files.wordpress.com/2008/09/double_planetoid.jpg ''Double Planetoid''.]</ref>

== Eigenschaften ==
Die äußeren [[Eckpunkt|Eckpunkte]] des [[Körper (Geometrie)|Körpers]] beschreiben einen [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], während die [[Schnittmenge]] der beiden Tetraeder ein [[Oktaeder]] darstellt, dessen Kanten wiederum die Innenkanten des Sterntetraeders darstellen.

Das Sterntetraeder ist die erste Stufe der konvexen Form des [[Sierpinski-Dreieck|Sierpinski-Oktaeders]].<ref>{{Webarchiv |url=http://paulbourke.net/fractals/keplerian |text=Keplerian Fractals |wayback=20150316190203 |archiv-bot=}}</ref> Aus den acht kleinen Tetraedern können wieder Sterntetraeder gemacht werden, und dieser Vorgang kann wiederholt werden, so dass schließlich ein [[Fraktal]] entsteht, welches sich der Form eines [[Hexaeder]]s annähert.<ref>[http://www.ux.uis.no/~ruoff/FractalCube.html Approaching a Fractal Cube by a series of non-convex polyhedra]</ref><ref>[http://www.clowder.net/hop/Keplrfrct/Keplrfrct.html Keplerian Fractals]</ref>

Das Sterntetraeder kann als [[Dreidimensional|dreidimensionales]] Hexagramm angesehen werden: Das [[Hexagramm]] ist eine [[Zweidimensional|zweidimensionale]] Figur, die aus zwei überlappenden [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecken]] gebildet wird, die [[punktsymmetrisch]] zueinander sind. Auf ähnliche Weise kann das Sterntetraeder aus zwei punktsymmetrisch überlappenden [[Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßigen Tetraedern]] gebildet werden. Dies kann auf höhere [[Dimensionen]] verallgemeinert werden.

Das Sterntetraeder kann auch als [[Iteration|Iterationsschritt]] beim Erzeugen einer [[Koch-Kurve#Dreidimensionale „Koch-Kurve“|dreidimensionalen „Koch-Kurve“]] angesehen werden. Das ist ein [[Fraktal|Fraktals]], das durch wiederholtes Hinzufügen kleinerer [[Tetraeder]] an jeder dreieckigen Fläche einer größeren Figur gebildet wird. Der Iterationsschritt 0 der dreidimensionalen „Koch-Kurve“ ist ein einzelnes Tetraeder, und der Iterationsschritt 1, der durch Hinzufügen von vier kleineren Tetraedern an die Flächen des zentralen Tetraeders gebildet wird, ist das Sterntetraeder.

== Formeln ==
[[Datei:Sterntetraedernetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Sterntetraeders]]
{| class="wikitable"
! colspan="3" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Sterntetraeders mit Kantenlänge ''a'' bzw. ''b = a/2''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{a^3}{8} \cdot \sqrt{2} = b^3 \cdot \sqrt{2}</math>
| rowspan="14" |
[[Datei:01 Sterntetraeder-Größen.png|400px]]<br>
:: Raumwinkel <math>\Omega</math> in den Ecken siehe [[Tetraeder#Raumwinkel in den Ecken|Tetraeder]]
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>O = \frac{3}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot b^2 \cdot \sqrt{3}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
|<math>r_u = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{6}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Kantenkugel|Kantenkugelradius]]'''
|<math>r_k = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{2} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{2}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel|Inkugelradius]]'''
|<math>r_i = \frac{a}{2\cdot\sqrt{6}} = \frac{b}{\sqrt{6}}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Diagonale (Geometrie)|Raumdiagonale]]'''
|<math>d_R = 2 \cdot r_u = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{6} = b \cdot \sqrt{6} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Kantenabstand'''
|<math>d = 2 \cdot r_k = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \approx 0{,}707 \cdot a </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot \pi} \approx 0{,}184 </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Innenwinkel des [[Gleichseitiges Dreieck#Berechnung und Konstruktion|gleichseitigen Dreiecks]]'''
|<math> \alpha = 60^\circ</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen benachbarten Flächen'''
|<math> \beta = \arccos \left( -\frac{1}{3}\right) </math>  <math>\approx 109^\circ\; 28^\prime \; 16^{\prime\prime}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen Kante und Fläche'''
|<math>\gamma = \arctan \left( \sqrt{2}\right) </math>  <math>\approx 54^\circ\; 44^\prime \; 8^{\prime\prime}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Tetraeder#Winkel|Tetraederwinkel]]'''
|<math>\tau = \arccos \left(-\frac{1}{3} \right)\approx 109^\circ\; 28^\prime \; 16^{\prime\prime}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Raumwinkel]] in den Ecken'''
|<math>\Omega = \arccos \left(\frac{23}{27} \right) \approx 0{,}5512856\; \mathrm{sr}</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]'''
|<math> \Psi = \sqrt [3] { \frac{\pi}{9\sqrt{3}} } \approx 0{,}586 </math>
|}
* Das [[Volumen]] des Sterntetraeders ist gleich der Summe der Volumina von einem [[Oktaeder]] und 8 aufgesetzten [[Tetraeder|Tetraedern]] mit jeweils halber Kantenlänge <math>\frac{a}{2}</math>. Es füllt den umgrenzenden [[Würfel (Geometrie)|Würfel]] mit dem Volumen <math>\frac{a^3}{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot b^3 \cdot \sqrt{2}</math> zur Hälfte aus.
* Der [[Umkugel|Umkugelradius]] des Sterntetraeders entspricht dem eines einzelnen [[Tetraeder|Tetraeders]].

== Anwendung in der Kunst ==
<gallery perrow="5">
Sterntetraeder in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha detail.jpg|Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche in [[Kidekscha]]
Sterntetraeder in der Boris-und-Gleb-Kirche in Kidekscha.jpg|Weitere Wandmalerei eines Sterntetraeders in der Boris-und-Gleb-Kirche
Stainville 55 - Abbaye de Jovilliers -8.JPG|Abtei Jovilliers ([[Stainville]], Lothringen)
</gallery>

== Weblinks ==
{{Commonscat|Stellated octahedron|Sterntetraeder}}
* {{MathWorld|StellaOctangula|Stella Octangula}}
*[https://rechneronline.de/pi/stellated-octahedron.php Stellated Octahedron Calculator] (Web Application zum Berechnen)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Sternkörper]]
[[Kategorie:Johannes Kepler]]

Sterntetraeder - Versionsgeschichte

imported>Carsten Steger: Unzutreffende Information entfernt. Im 4D gibt es keine zum Sterntetraeder analoge Konstruktion.