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2024-04-30T08:44:44Z

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[[Datei:Star domain.svg|220px|mini|Sternförmige Menge mit Sternzentrum <math>x_0,</math> ihr Inneres (grün) ist ein Sterngebiet]]
In der [[Mathematik]] versteht man unter einer '''sternförmigen Menge''' eine Teilmenge <math>M</math> des <math>\mathbb{R}^n </math>, zu der es einen Punkt <math>x_0</math> gibt (ein ''Sternzentrum'' bzw. einen ''Sternmittelpunkt''), von dem aus alle Punkte der Menge „sichtbar“ sind, das heißt, jede gerade Verbindungsstrecke von <math>x_0</math> zu einem beliebigen Punkt <math>x \in M</math> liegt vollständig in <math>M</math>.

Ist eine sternförmige Menge zusätzlich [[Offene Menge|offen]], so spricht man von einem '''Sterngebiet'''.

== Formale Definition ==
Eine Menge <math> M \subseteq \mathbb{R}^n</math> heißt ''sternförmig'', wenn es ein <math>x_0 \in M</math> gibt, so dass für alle <math>x \in M</math> die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]]
: <math>[x_0\, x] = \left \{ x_0+t(x-x_0) \;\colon\; t \in [0,1] \right \}</math>
eine [[Teilmenge]] von <math>M</math> ist.

Eine Teilmenge <math> M </math> eines Vektorraums <math> X </math> heißt sternförmig um <math> x_{0} \in M </math>, wenn für jedes <math> x \in M </math> das abgeschlossene Intervall <math> \left[x_{0}, x\right] \subseteq M </math> ist. Eine Menge <math> M </math> wird als sternförmiges Gebiet bezeichnet, wenn es einen Punkt <math> x_{0} \in M </math> gibt, sodass <math> M </math> um <math> x_{0} </math> sternförmig ist.

== Bemerkungen ==
* Jede nichtleere [[konvexe Menge]] ist sternförmig.
* Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch ''Zentrum'' der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist.
* Sternförmige Mengen sind [[kontrahierbar]]. Daraus folgt:
* Sternförmige Mengen sind [[einfach zusammenhängend]], also insbesondere [[wegzusammenhängend]].
* Ein Sterngebiet ist ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]].

== Siehe auch ==
* [[Problem der Museumswächter]]

== Literatur ==
* Konrad Königsberger: ''Analysis 2.'' 1. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-54723-1, S. 345

== Weblinks ==
* [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite13.html sternförmiges Gebiet in ''Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder'' auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)]
* {{MathWorld |id=StarConvex |title=star convex}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/StarShapedRegion.html star shaped] auf [[PlanetMath]] (englisch)

[[Kategorie:Analysis]]

Sterngebiet - Versionsgeschichte

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