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2026-02-17T06:06:16Z

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{{Quellen}}
Der Begriff '''Stelligkeit''' steht in der [[Mathematik]] für die Anzahl der Argumente einer [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], einer [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]], bzw. eines [[Operator (Mathematik)|Operators]] oder in der [[Informatik]] für die [[Parameter (Informatik)|Parameteranzahl]] von [[Funktion (Programmierung)|Funktionen]], [[Prozedur (Programmierung)|Prozeduren]] oder [[Methode (Programmierung)|Methoden]]. Allgemeiner kann dieser Begriff auch auf Relationen angewendet werden.<ref name="EFT" />

== Stelligkeit für Abbildungen ==
'''Einstellige Funktionen''' sind nichts anderes als Abbildungen, in die man ein Argument einsetzen kann. Ein typisches Beispiel ist etwa die [[Betragsfunktion]] (absoluter Wert) einer Zahl.

'''Zweistellige Funktionen''' benötigen zwei Argumente. Diese nennt man je nach Kontext auch [[zweistellige Verknüpfung]], wobei man sich vorstellt, dass die beiden Argumente durch die Funktion zu einem dritten verknüpft werden.
Beispiele für zweistellige Verknüpfungen sind etwa die arithmetischen Operationen [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]], oder [[Division (Mathematik)|Division]], oder die logischen Operationen ''[[Konjunktion (Logik)|und]]'' und ''[[Disjunktion|oder]]''.
Die Funktion <math>f\colon\, \R \times \N \to \R,\, (x, n) \mapsto f(x, n) := x^n</math> ist ein Beispiel für eine zweistellige Funktion, die man eher nicht als Verknüpfung ansieht.

'''Mehrstellige Funktionen'''. Eine <math>k</math>-stellige Funktion, <math>k > 0</math>, ist eine Abbildung mit <math>k</math> Argumenten:
: <math>f\colon\, A_1 \times A_2 \times \dotsb \times A_k \to B,\, (a_1, \dotsc, a_k) \mapsto f(a_1, \dotsc, a_k).</math>

Für <math>A_1 = A_2 = \dotsb = A_k = A</math> gilt <math>A_1 \times A_2 \times \dotsb \times A_k = A^k = \{g \mid g\colon\, \{0, \dotsc, k-1\} \to A\}</math>,
so dass man dann eine Funktion <math>f\colon\, A^k \to B</math> hat.
Ein Beispiel ist die Norm eines Vektors aus dem Vektorraum <math>\R^k</math>, die aus den <math>k</math> Komponenten des Vektors gebildet wird. Man hat dann die <math>k</math>-stellige Funktion <math>\textstyle f\colon \R^k \rightarrow \R, \, (a_1, \ldots, a_k) \mapsto \sqrt(a_1^2+\ldots a_k^2)</math>.

'''Nullstellige Funktionen'''. Schließlich kann man die Auswahl eines festen Elements als '''nullstellige Funktion''' auffassen, etwa die Auswahl der Konstanten 0 oder 1. Das wird dadurch gerechtfertigt, dass das [[Kartesisches Produkt#Leeres Produkt|leere kartesische Produkt]] <math>A^0</math> gleich <math>\{\emptyset\}</math> ist und daher eine Abbildung <math>f\colon A^0\rightarrow B</math> durch die Wahl des Bildes <math>f(\emptyset)</math> festgelegt ist. Dem liegt die Vorstellung zu Grunde, dass man hier eine „Funktion“ hat, in die man nichts Variables einsetzen kann. Viele Autoren sprechen dann aber lieber von [[Konstante (Logik)|Konstanten]].

== Beispiele und Anmerkungen ==
* Die üblichen aus der Schule bekannten Funktionen wie die [[Quadratfunktion]] <math>x\mapsto x^2</math> oder die [[Exponentialfunktion]] <math>x\mapsto e^x</math> sind einstellig.
* Die Addition auf den reellen Zahlen ist eine zweistellige Abbildung <math>+:\R^2\rightarrow \R</math>. Statt <math>+(x,y)</math> für das Ergebnis einer solchen Addition verwendet man die geläufigere Schreibweise <math>x+y</math>.
* Mehrstellige Funktionen sind prinzipiell vermeidbar, denn man kann statt <math>k</math> Argumenten <math>a_1,\ldots a_k</math> genauso gut nur ein Argument verwenden, das dann das [[Tupel]] <math>(a_1,\ldots, a_k)</math> ist. In der Informatik entspricht das dem Übergang von einer [[Methode (Programmierung)|Methode]] mit <math>k</math> Variablen zu einer Methode, der ein [[Array (Datentyp)|Array]], bestehend aus <math>k</math> Einträgen, zu übergeben ist. Letztlich ist das eine Frage der Zweckmäßigkeit.
* In der [[Physik]] hat man es häufig mit Größen zu tun, die von mehreren Parameters abhängen. So hängt der [[Druck (Physik)|Druck]] <math>P</math> eines eingeschlossenen Gases von dessen Volumen <math>V</math> und dessen [[Temperatur]] <math>T</math> ab. In der Physik sagt man, <math>P</math> sei eine Funktion von <math>V</math> und <math>T</math> und schreibt das als zweistellige Funktion <math>P(V,T)</math>. Hier wäre eine Zusammenfassung der Argumente zu einem Tupel <math>(V,T)</math> unzweckmäßig, da man oft das Verhalten bei Änderung nur einer der Größen untersucht.

== Stelligkeit von Relationen ==
Man nennt eine Teilmenge <math>R\subset A_1 \times A_2 \times \dotsb \times A_k</math> eine ''<math>k</math>-stellige Relation''. Ist <math>A_1=\dotsb =A_k = A</math>, so spricht man von einer ''<math>k</math>-stelligen Relation auf <math>A</math>.''

Eine einstellige Relation ist demnach nichts anderes als eine [[Teilmenge]].

Eine nullstellige Relation ist wegen <math>\textstyle \prod_{i=1}^0 A_i = \{\emptyset\}</math> bzw. <math>A^0 = \{\emptyset\}</math> (leeres kartesisches Produkt) stets eine Teilmenge von <math>\{\emptyset\}</math>, also gleich <math>\emptyset</math> oder <math>\{\emptyset\}</math>. Ordnet man dies den logischen (booleschen) Konstanten ''falsch'' (für <math>\emptyset</math>) und ''wahr'' (für <math>\{\emptyset\}</math>) zu, so erhält man die nullstelligen Relationen als Wahrheitswerte.

Ein typisches Beispiel für eine zweistellige Relation ist
:<math>\{(m,m+k)\mid m,k\in \N_0\} \subset \N_0 \times \N_0</math>,
Dies ist eine zweistellige Relation auf den natürlichen Zahlen <math>\N_0</math>, die man üblicherweise mit <math>\le</math> bezeichnet. Statt <math>(m,n)\in{\le}</math>
schreibt man <math>m\le n</math>.
Auch für beliebige zweistellige Relationen <math>R</math> wird <math>(x,y)\in R</math> der besseren Lesbarkeit wegen gern als <math>xRy</math> wiedergegeben.

== Zusammenhang zwischen Funktionen und Relationen ==
Beachtet man, dass Funktionen spezielle Relationen sind, so decken sich die hier für Abbildungen und Relationen gegebenen Definitionen der Stelligkeit nicht. Behandelt man eine <math>k</math>-stellige Funktion als Relation, so bedeutet das, dass man von der Funktion
:<math>f\colon\, A_1 \times \dotsb \times A_k \to B</math>
zu ihrem [[Funktionsgraph]]en
:<math>\{(a_1,\dotsc,a_k,b) \in A_1 \times \dotsb \times A_k \times B|\, f(a_1,\dotsc,a_k)=b\} \, \subset \, A_1 \times \dotsb \times A_k \times B</math>
übergeht, und das ist eine <math>(k+1)</math>-stellige Relation.<ref name="EFT127" />

== Anmerkungen ==
<references>
<ref name="EFT">
{{Literatur
|Autor=H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas
|Titel=Einführung in die mathematische Logik
|Verlag=Spektrum Verlag
|Datum=1996
|ISBN=3-8274-0130-5
|Fundstelle=Kapitel II ''Syntax der Sprachen erster Stufe''}}
</ref>
<ref name="EFT127">
{{Literatur
|Autor=H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas
|Titel=Einführung in die mathematische Logik
|Verlag=Spektrum Verlag
|Datum=1996
|ISBN=3-8274-0130-5
|Seiten=127}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Logik]]

[[cs:Operace (matematika)#Arita operace]]

Stelligkeit - Versionsgeschichte

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