~2025-34586-1: /* Algorithmus */

2025-08-10T18:12:39Z

Algorithmus

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Der '''steinsche Algorithmus''' oder '''binäre euklidische Algorithmus''' dient der effizienten Berechnung des [[Größter gemeinsamer Teiler|größten gemeinsamen Teilers]]. Der [[Algorithmus]] wurde [[1967]] vom Physiker Josef Stein ([[Hebräische Universität Jerusalem]]) vorgestellt.<ref>{{Literatur |Autor=J. Stein |Titel=Computational problems associated with Racah algebra |Sammelwerk=Journal of Computational Physics |Band=1 |Nummer=3 |Datum=1967 |ISSN=0021-9991 |Seiten=397–405 |DOI=10.1016/0021-9991(67)90047-2}}</ref> [[Donald E. Knuth]] zufolge entwickelten R. Silver und J. Tersian den Algorithmus bereits 1962, publizierten ihn aber nicht.<ref name="KNUTH">[[Donald E. Knuth]]: ''[[The Art of Computer Programming]].'' Band 2: ''Seminumerical Algorithms.'' 3. Auflage. Addison-Wesley Professional, 1997, ISBN 0-201-89684-2, S. 338–341.</ref>

== Funktionsweise ==
Der Algorithmus nutzt folgende Rechenregeln:

Falls <math>b = 0</math>:
* <math>\operatorname{ggT}(a,\ 0) = a \qquad </math> und Haltebedingung des Algorithmus

Falls <math>b = \text{ungerade}</math>:
* <math>\operatorname{ggT}(a,\ b) = \begin{cases}
\operatorname{ggT}(a,\ b-a)\ \ \quad & \text{falls } b \ge a \\
\operatorname{ggT}(b,\ a-b)\ \ \quad & \text{sonst }
\end{cases}</math>

Falls <math>b = \text{gerade}</math>:
* <math>\operatorname{ggT}(a,\ b) = \begin{cases}
\operatorname{ggT}(a,\ b/2) & \text{falls } a \text{ ungerade} \\
\operatorname{ggT}(a/2,\ b/2) \cdot 2 & \text{sonst }
\end{cases}</math>
;Funktionsweise:
:a) Nutzt <math>\operatorname{ggT}(a,\ 0) = a\ </math> aus und ist gleichzeitig die Haltebedingung des Algorithmus.
:b) Wird abgewendet, wenn <math>b</math> ungerade ist.
::b1) Ist <math>b \ge a</math>, wird <math>b</math> um <math>a</math> reduziert. <math>\operatorname{ggT}(a,\ b) = \operatorname{ggT}(a,\ b-a)</math> ausgenutzt.
::b2) Ist <math>b < a</math>, wird als erster Operand der zweite Operand <math>b</math> benutzt und als zweiter Operand <math>a-b</math>.
:::Durch dieses geschickte Umsortieren wird das Horrorszenario des klassischen euklidischen Algorithmus vermieden, in dem ein sehr großer Operand nur sehr langsam reduziert wird.
:c) wird verwendet, wenn <math>b</math> gerade ist:
::c1) Wenn nur ein Operand gerade ist, kann die <math>2</math> als gemeinsamer Teiler gestrichen werden.
::c2) Wenn beide Operanden gerade ist, werde beide um den Teiler <math>2</math> verringert, diese Operation wird sich aber für das Endergebnis gemerkt, da es ja ein gemeinsamer Teiler ist.

Wir benutzen dafür das Horrorszenario für den klassischen euklidischen Algorithmus, zwei große fast gleiche Zahlen <math>209865</math> und <math>209797</math>:
<div style="font-size:90%">
:<math>\begin{array}{rl|l}
\operatorname{ggT}(209865,\ 209797) & = \operatorname{ggT}(209797,\ 68) & \scriptstyle{\text{b2}} \\
\operatorname{ggT}(209797,\ 68) & = \operatorname{ggT}(209797,\ 34) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(209797,\ 34) & = \operatorname{ggT}(209797,\ 17) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(209797,\ 17) & = \operatorname{ggT}(17,\ 209780) & \scriptstyle{\text{b2, hier bekommt der klassische euklidische Algorithmus ein Problem, hier wird allerdings eine ungerade Zahl durch Division durch 2 erzeugt und diese nach vorn gebracht}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 209780) & = \operatorname{ggT}(17,\ 104890) & \scriptstyle{\text{c1, hier wird entweder halbiert oder diese ungerade Zahl subtrahiert und damit eine gerade Zahl erzeugt}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 104890) & = \operatorname{ggT}(17,\ 52445) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 52445) & = \operatorname{ggT}(17,\ 52428) & \scriptstyle{\text{b1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 52428) & = \operatorname{ggT}(17,\ 26214) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 26214) & = \operatorname{ggT}(17,\ 13107) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 13107) & = \operatorname{ggT}(17,\ 13090) & \scriptstyle{\text{b1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 13090) & = \operatorname{ggT}(17,\ 6545) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 6545) & = \operatorname{ggT}(17,\ 6528) & \scriptstyle{\text{b1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 6528) & = \operatorname{ggT}(17,\ 3264) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 3264) & = \operatorname{ggT}(17,\ 1632) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 1632) & = \operatorname{ggT}(17,\ 816) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 816) & = \operatorname{ggT}(17,\ 408) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 408) & = \operatorname{ggT}(17,\ 204) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 204) & = \operatorname{ggT}(17,\ 102) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 102) & = \operatorname{ggT}(17,\ 51) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 51) & = \operatorname{ggT}(17,\ 34) & \scriptstyle{\text{b1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 34) & = \operatorname{ggT}(17,\ 17) & \scriptstyle{\text{c1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 17) & = \operatorname{ggT}(17,\ 0) & \scriptstyle{\text{b1}} \\
\operatorname{ggT}(17,\ 0) & = 17 & \scriptstyle{\text{a}} \\
\end{array}
</math>
</div>

Zu beachten ist, dass der steinsche Algorithmus nur dann richtig funktioniert, wenn ''vorzeichenlose'' [[Integer (Datentyp)|Integer]] verwendet werden. Negative Zahlen müssen zuerst in positive überführt werden. Der euklidische Algorithmus hingegen funktioniert auch mit ''vorzeichenbehafteten'' Integertypen, wenn ein Operand nicht die kleinste darstellbare Zahl ist.

== Prinzip ==
Zu bestimmen sei der größte gemeinsame Teiler der beiden positiven Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Dazu wird als erstes eine Variable <math>k</math> definiert und dieser wird der Wert 0 zugewiesen. Dann werden sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> solange durch 2 geteilt, bis <math>a</math> und <math>b</math> nicht mehr durch 2 teilbar sind. Bei jeder Halbierung wird <math>k</math> um 1 erhöht.

Der zweite Teil benötigt eine zusätzliche Variable <math>t</math>, der die Differenz von <math>a</math> und <math>b</math> zugewiesen wird. Jeder gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math> ist auch Teiler von <math>t</math>, sodass gilt: <math>\operatorname{ggT}(a, b) = \operatorname{ggT}(a, t) = \operatorname{ggT}(b, t)</math>. Die Variable <math>t</math> wird anschließend noch, solange es sich um eine gerade Zahl handelt, durch 2 geteilt. Dann wird <math>a</math> durch <math>t</math> ersetzt und mit dem neuen <math>a</math> ein neues <math>t</math> berechnet. Der Algorithmus ist beendet, sobald <math>t = 0</math> gilt. Das Ergebnis ist dann <math>\operatorname{ggT}(a, b) = a \cdot 2^k</math>.<ref>{{Internetquelle |autor=Alexander Weers |url=https://www.formelsammlung24.de/sites/Primfaktorzerlegung/ggT/ |titel=Größter gemeinsamer Teiler |werk=Formelsammlung24.de |abruf=2018-03-27 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20180328041145/https://www.formelsammlung24.de/sites/Primfaktorzerlegung/ggT/ |archiv-datum=2018-03-28}}</ref>

== Algorithmus ==
Die hier in [[Pseudocode]] beschriebene Variante des Algorithmus entspricht im Wesentlichen derjenigen, die [[Donald E. Knuth]] in seinem Werk ''[[The Art of Computer Programming]]'' beschreibt.

''STEIN''(a,b)
'''wenn''' a = 0
'''dann''' '''return''' b
k <math>\leftarrow</math> 0
'''solange''' a und b gerade Zahlen sind
a <math>\leftarrow</math> a/2
b <math>\leftarrow</math> b/2
k <math>\leftarrow</math> k + 1
'''wenn''' a eine ungerade Zahl ist
'''dann''' t <math>\leftarrow</math> -b
'''sonst''' t <math>\leftarrow</math> a
'''solange''' t ≠ 0
'''solange''' t eine gerade Zahl ist
t <math>\leftarrow</math> t/2
'''wenn''' t > 0
'''dann''' a <math>\leftarrow</math> t
'''sonst''' b <math>\leftarrow</math> -t
t <math>\leftarrow</math> a - b
'''return''' a <math> \cdot </math> 2<sup>k</sup>

Viele Prozessoren haben heutzutage [[Befehlssatzarchitektur|Befehlssätze]], die sehr schnell (oft in einem Takt) bestimmen können, wie oft eine Ganzzahl durch Zwei teilbar ist. Zum Beispiel stellt die [[x86-Architektur]] seit dem [[Intel 80386|80386]] für diesen Zweck die Instruktion <code>bsf</code> zur Verfügung. Unter Verwendung einer solchen Instruktion ist es möglich, zwei der drei Schleifen des Algorithmus einzusparen und damit seine Laufzeit signifikant zu verbessern. Die folgende Implementierung in der Programmiersprache [[C (Programmiersprache)|C]] nutzt zu diesem Zwecke die [[POSIX]]-Standardfunktion <code>ffs</code> (find first set):

<syntaxhighlight lang="c">
#include <stdlib.h> /* für abs() */
#include <strings.h> /* für ffs() */

int ggt(int a, int b)
{
int c;

if (a == 0 || b == 0) // falls eines oder beide Argumente 0 sind,
return a | b; // ist das andere Argument oder 0 das Ergebnis

// dies kann weggelassen werden, wenn a und b nicht negativ sein können
a = abs(a);
b = abs(b);

c = ffs(a | b) - 1;
a >>= ffs(a) - 1;

do {
b >>= ffs(b) - 1;
if (a > b) {
// vertausche Variablen, damit bei Subtraktion kein Überlauf stattfinden kann
int temp = b;
b = a;
a = temp;
}

b -= a;
} while (b != 0);

return a << c;
}
</syntaxhighlight>

Eine Implementierung für vorzeichenlose Ganzzahlen in [[x86-Architektur|x86]]-[[Assemblersprache|Assembler]], die <code>bsf</code> nutzt:

<syntaxhighlight lang="nasm">
ggt:
mov ecx, 4[esp] ; Lade a
mov eax, 8[esp] ; Lade b
test ecx, ecx ; Vergleiche a mit 0:
jz done ; falls a gleich 0 ist das Ergebnis b

cmp eax, ecx ; Vergleiche a mit b:
je done ; falls a gleich b ist das Ergebnis b

mov edx, eax ; Lade b
mov eax, ecx ; Lade a
test edx, edx ; Vergleiche b mit 0:
jz done ; falls b gleich 0 ist das Ergebnis a

push ebx
bsf ecx, edx ; Bestimme größte Zweierpotenz von b
bsf ebx, eax ; Bestimme größte Zweierpotenz von a
cmp ebx, ecx ; Vergleiche beide
cmova ebx, ecx ; und merke deren Minimum
shr edx, cl ; Dividiere b durch größte Zweierpotenz
next:
bsf ecx, eax ; Bestimme größte Zweierpotenz von a
shr eax, cl ; Dividiere a durch größte Zweierpotenz
mov ecx, edx
cmp edx, eax ; Vergleiche b mit a
cmovb edx, eax ; und vertausche beide, falls b kleiner a
cmovb eax, ecx
sub edx, eax ; Subtrahiere a von b
jnz next ; und wiederhole, bis b gleich 0

mov ecx, ebx
shl eax, cl ; Multipliziere a mit 2**Minimum
pop ebx
done:
ret
</syntaxhighlight>

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretischer Algorithmus]]

Steinscher Algorithmus - Versionsgeschichte

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