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{{Dieser Artikel|behandelt die Berechnung von Trägheitsmomenten und Flächenträgheitsmomenten. Zu dem Satz aus der Geometrie siehe [[Satz von Steiner (Geometrie)]].}}
[[Datei:Steiner Regel.svg|miniatur|Illustration des Steinerschen Satzes:<br />Drehachse 1 geht durch den Schwerpunkt des Körpers der Masse <math>m</math>.<br />Drehachse 2 ist um den Abstand d verschoben.]]
Der '''Steinersche Satz''' (auch '''Satz von Steiner''', '''Steiner-Regel''', '''Satz von Huygens-Steiner''' oder '''Parallelachsen-Theorem'''<ref name="Paus2007">{{Literatur|Autor=Hans J. Paus|Titel=Physik in Experimenten und Beispielen|Verlag=Hanser Verlag|Jahr=2007|ISBN=978-3-446-41142-5|Seiten=83|Online={{Google Buch|BuchID=DJcRnjNVo0wC|Seite=83}}}}</ref>) dient der Berechnung des [[Trägheitsmoment]]es eines [[Starrer Körper|starren Körpers]] für [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] verschobene [[Drehachse]]n. Der Satz geht auf Untersuchungen von [[Jakob Steiner]] und [[Christiaan Huygens]] zurück.

Das Trägheitsmoment eines Körpers hängt von der Lage der Drehachse ab. Ist das Trägheitsmoment bezüglich einer Drehachse durch den [[Massenmittelpunkt]] bekannt, so kann mit dem Steinerschen Satz das Trägheitsmoment für alle Drehachsen, die parallel zu dieser sind, berechnet werden.

Der Satz wird auch verwendet, um [[Flächenträgheitsmoment]]e von [[Balkentheorie|Balken]]-Querschnitten zu bestimmen.

== Anwendung auf Trägheitsmomente ==
Trägheitsmomente sind meistens für Drehachsen <math>1</math> durch den Massenmittelpunkt tabelliert. Falls das Trägheitsmoment für eine dazu parallele Drehachse <math>2</math> benötigt wird, kann der Steinersche Satz angewendet werden und das Trägheitsmoment <math>J_2</math> ergibt sich zu:

: <math>J_2 = J_\text{1}^{(S)} + m \, d^2</math>

Dabei ist <math>J_\text{1}^{(S)}</math> das Trägheitsmoment des Körpers mit Masse <math>m</math> bezüglich der Drehachse <math>1</math>, die durch seinen Massenmittelpunkt (praktisch gleich dem [[Gravizentrum|Schwerpunkt]]) geht und parallel mit Abstand <math>d</math> zur Drehachse <math>2</math> liegt.

Bei Anwendung des Steinerschen Satzes ist zweierlei zu beachten:
* Das Trägheitsmoment eines Körpers ist dann am geringsten, wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. Das folgt daraus, dass der Steinersche Anteil stets positiv ist, wenn man eine Verschiebung vom Schwerpunkt weg durchführt.
* Mit mehrmaliger Anwendung des Steinerschen Satzes kann das Trägheitsmoment zu einer beliebigen parallelen Achse berechnet werden, auch wenn das anfangs gegebene Trägheitsmoment nicht durch den Massenmittelpunkt geht.

== Anwendung auf Flächenträgheitsmomente ==
Liegt der [[Geometrischer Schwerpunkt|Flächenschwerpunkt]] eines Körper-Querschnitts nicht im Ursprung des Koordinatensystems, kann sein [[Flächenträgheitsmoment]] mit dem Steinerschen Satz berechnet werden:

: <math>J_{\bar y \bar y} = J_{yy} + \bar z^2_S \cdot A</math>

: <math>J_{\bar z \bar z} = J_{zz} + \bar y^2_S \cdot A</math>

: <math>J_{\bar y \bar z} = J_{yz} - \bar y_S \cdot \bar z_S \cdot A</math>

Für <math>J_y</math> wird der Abstand des Flächenschwerpunktes zum Ursprung <math>\bar z_S</math> quadriert, mit der Fläche des Querschnitts <math>A</math> multipliziert und auf das (tabellarisch erfasste) Flächenträgheitsmoment addiert. Es ist ersichtlich, dass bei <math>z = 0</math> der Steiner-Term wegfällt.

Praktisch ist, dass man mit diesen Formeln komplexe (z. B. [[Stahlprofil|T-Träger]]) in einfache Körper (z. B. Rechtecke) aufteilen kann, deren Flächenträgheitsmoment bereits bekannt ist.

Für <math>J_y</math> gilt dann beispielsweise:

:<math>\begin{align}
J_y & = \int_{A} z^2 \mathit{d}A\\
& = \int_{A_1} z^2 \mathit{d}A + \int_{A_2} z^2 \mathit{d}A + \dots + \int_{A_n} z^2 \mathit{d}A\\
& = J_{\bar y1} + J_{\bar y2} + \dots + J_{\bar yn}
\end{align}</math>,

wobei <math>A</math> die Fläche der Figur ist und <math>A_1</math> bis <math>A_n</math> die durch die Zerlegung entstandenen Teilflächen sind.

== Verallgemeinerung auf Trägheitstensoren ==
Hat ein Körper eine Masse <math>m</math> und, bezogen auf den Schwerpunkt, den [[Trägheitstensor]] <math>I^{(S)}</math>, so ergibt sich der Trägheitstensor <math>I</math> in einem um den Vektor <math>\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} </math> parallel verschobenen [[Koordinatensystem]] durch die Summe aus <math>I^{(S)}</math> und dem Trägheitstensor eines [[Massenpunkt]]es der Masse <math>m</math> und dem [[Ortsvektor]] <math>\vec{a}</math>:

:<math>I_{ij} = I^{(S)}_{ij} + m \left(\sum_k a_k^2 \, \delta_{ij} - a_i \, a_j\right)</math>

d. h.

:<math>\begin{align}
I & = I^{(S)} + m \begin{pmatrix} a_2^2 + a_3^2 & - a_1a_2 & -a_1a_3 \\ -a_1a_2 & a_1^2+a_3^2 & -a_2a_3 \\ -a_1a_3 & -a_2a_3 & a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}\\
& = I^{(S)} + m \, \tilde{a}^T \, \tilde{a}
\end{align}</math>

wobei

:<math>\tilde{a} = \begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0\end{pmatrix}</math>

bzw. in [[Summenkonvention]] mit dem [[Levi-Civita-Symbol|total antisymmetrischen ε-Tensor]]

:<math>\tilde{a}_{ij} = -\epsilon_{ijk} \, a_k</math>

Daher gilt auch

:<math>-\tilde{a} = \tilde{a}^T</math>

Durch die Verschiebung kann es vorkommen, dass die Achsen des neuen Koordinatensystems nicht mehr mit den [[Hauptträgheitsachse]]n durch den neuen Punkt zusammenfallen.

== Herleitung ==
[[Datei:Steiner.svg|mini|Skizze zur Herleitung]]
Betrachtet man einen starren Körper in einem Koordinatensystem, dessen [[Koordinatenursprung|Ursprung]] mit seinem [[Massenmittelpunkt]] übereinstimmt und legt die Rotationsachse <math>B</math> parallel zur z-Richtung, so ist das Trägheitsmoment bezüglich dieser Achse definiert als

:<math>J_B = \sum_i m_i \left[(x_i-x_B)^2 + (y_i - y_B)^2\right]</math>.

Wobei die Summe über alle [[Massenpunkt]]e <math>m_i</math> des Körpers läuft, der Ort des jeweiligen Massenpunktes mit <math>(x_i,y_i,z_i)</math> bezeichnet ist und die Rotationsachse auf der Geraden parallel zur z-Achse durch den Punkt <math>(x_B,y_B)</math> liegt.

Ausmultiplizieren der Klammern führt auf

:<math>J_B = \underbrace{\sum_i m_i(x_i^2 + y_i^2)}_{J_A^{(S)}} - 2x_B \underbrace{\sum_i m_ix_i}_{=0} - 2 y_B \underbrace{\sum_i m_iy_i}_{=0} + \underbrace{(x_B^2 + y_B^2)}_{=d^2} \underbrace{\sum_i m_i}_{=m}</math>

Der erste Term entspricht dem Trägheitsmoment der Rotationsachse durch den Massenmittelpunkt (und parallel zur z-Achse). Der zweite und dritte Term sind Null, da sie der Definition des Massenmittelpunktes <math>x_s = \frac{1}{M}\cdot \sum_{i=1}^{n}{x_i \cdot m_i}</math> und <math>y_s = \frac{1}{M}\cdot \sum_{i=1}^{n}{y_i \cdot m_i}</math> entsprechen und dieser nach Voraussetzung im Ursprung liegt: <math>x_S=y_S=0</math>.<ref>{{Literatur|Autor=Douglas C. Giancoli|Titel=Physik: Lehr- und Übungsbuch|Verlag=Pearson Deutschland|Jahr=2010|Seiten=342|Online={{Google Buch|BuchID=blIf3HCpDy8C}}}}</ref> Der vierte Term gibt nach [[Satz von Pythagoras|Pythagoras]] gerade das Abstandsquadrat der Rotationsachse <math>B</math> zum Ursprung multipliziert mit der Gesamtmasse <math>m = \sum_i m_i</math> des betrachteten Körpers an. Schreibt man den Abstand als <math>d^2 = x_B^2 + y_B^2</math>, so ergibt sich der Steinersche Satz als

:<math>J_B = J_A^{(S)} + m d^2</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Alfred Böge
|Titel=Technische Mechanik: Statik – Dynamik – Fluidmechanik – Festigkeitslehre
|Verlag=Springer DE
|ISBN=978-3-8348-8107-6
|Online={{Google Buch|BuchID=nr4xyNajspEC}}}}
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Demtröder]]
|Titel=Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme
|Verlag=Springer DE
|Jahr=2008
|ISBN=978-3-540-79295-6
|Online={{Google Buch|BuchID=wD453JJ6nusC|Seite=146}}
|Seiten=146}}
* Christian Spura: ''Technische Mechanik 2. Elstostatik'', Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht'', Ernst und Sohn, Berlin 2016, S. 89, ISBN 978-3-433-03134-6

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Technische Dynamik]]

[[fr:Moment d'inertie#Théorème de transport (ou théorème d'Huygens ou théorème de Steiner)]]

Steinerscher Satz - Versionsgeschichte

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