imported>Thomas Dresler: Format

2025-07-01T22:08:10Z

Format

Neue Seite

[[Datei:Steiner's Roman Surface.gif|mini|Römische Fläche]]
'''Steinersche Flächen''' sind in der [[Projektive Geometrie|Projektiven Geometrie]] spezielle [[Fläche (Mathematik)|Flächen]], auf denen Scharen von [[Kegelschnitt]]en liegen. Sie sind nach [[Jakob Steiner]] (1796–1863) benannt, der sie [[1838]] bei seinem Aufenthalt in [[Rom]] fand. Spezielle Steinerflächen werden deshalb auch ''Römer-'' oder ''Römische Flächen'' genannt. Die Steinerschen Flächen sind von [[Ernst Eduard Kummer]] und [[Karl Weierstraß]] weiter untersucht worden.
Eine Steinerfläche ist eine durch quadratische Polynome <math>\,p_i = Au^2 + Buv + Cv^2 + Du + Ev + F</math> <math>(i= 0, 1,2,3)</math> in zwei Variablen <math>u,v</math> gegebene Fläche im dreidimensionalen Raum:

: <math>\,(x,y,z)=\left(\frac{p_1}{p_0}, \frac{p_2}{p_0}, \frac{p_3}{p_0}\right)</math>

In [[Affine Koordinaten|affinen Koordinaten]] ist sie durch eine Gleichung höchstens vierten Grades gegeben.

Dahinter steckt folgende Konstruktion: Man bettet die reelle [[projektive Ebene]], gegeben durch [[homogene Koordinaten]] <math>\,(u_0, u_1, u_2)</math>, in den projektiven 5-dimensionalen Raum ein, mit homogenen Koordinaten (Veronese-Fläche):

: <math>(u_0^2, u_1^2, u_2^2, u_1 u_2, u_0 u_2, u_0 u_1)</math>

Dann projiziert man durch [[Matrizenmultiplikation|Multiplikation]] mit einer 6 × 4-Matrix auf den vierdimensionalen Raum, was vier Linearkombinationen der oben angegebenen sechs homogenen Koordinaten ergibt: <math>\, (p_0, p_1, p_2, p_3)</math>. Als homogene Koordinaten des dreidimensionalen projektiven Raums aufgefasst (bei diesem Übergang entstehen [[Algebraische Varietät#Singularitäten|Singularitäten]] der Fläche) ergibt sich die oben angegebene Darstellung der Steinerfläche.

== Beispiele ==
Die Römische Fläche von Steiner ist durch
: <math>(p_0, p_1, p_2, p_3)= (u_0^2 + u_1^2 + u_2^2, u_1 u_2, u_0 u_2, u_0 u_1)</math>
gegeben. Die Darstellung ist homogen in den <math>u_i</math>, so dass sich leicht weitere Parametrisierungen ergeben, wenn man mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert (siehe unten). Sie hat drei Doppel-Linien, sechs Verzweigungspunkte und einen Dreifachpunkt. Die drei Doppellinien, an denen sich die Fläche selbst durchdringt, treffen sich im Dreifachpunkt. Die Fläche ist nicht orientierbar (das heißt einseitig wie das [[Möbiusband]]), genauso wie die projektive Ebene, deren Einbettung in den dreidimensionalen Raum sie gemäß obiger Konstruktion darstellt.<ref>Eine weitere Einbettung der projektiven Ebene ist durch die [[Boysche Fläche]] gegeben, die keine Steinersche Fläche ist.</ref> In affinen Koordinaten hat sie die Gleichung:
: <math>\,x^2 y^2 + x^2 z^2 + y^2 z^2 -xyz =0</math>
Weitere Parametrisierungen der Gleichung sind gegeben durch:
: <math>x=\frac{s}{1+s^2+t^3} </math>
: <math>y=\frac{s\cdot t}{1+s^2+t^3} </math>
: <math>z=\frac{t}{1+s^2+t^3}, </math>

was sich durch Ausnutzung der Homogenität der Darstellung in der Form <math>\left(\frac {p_1}{p_0}, \frac {p_2}{p_0}, \frac {p_3}{p_0}\right)</math> ergibt, und

: <math>x=\cos(u)\cdot\sin(u)\cdot\cos(v)^2 </math>
: <math>y=\sin(u)\cdot\cos(v)\cdot\sin(v) </math>
: <math>z=\cos(u)\cdot\cos(v)\cdot\sin(v). </math>

Sie ergibt sich aus der Parametrisierung der Einheitssphäre

<math>(x,y,z) = (\cos (u) \cos (v), \sin (u) \cos (v), \sin (v)) </math>

und der Abbildung <math>(x,y,z) \mapsto ( xy, yz , xz) = (\cos (u) \sin (u) {\cos (v)}^2, \sin (u) \cos (v) \sin (v), \cos (u) \cos (v) \sin (v)).</math>

Die [[Kreuzhaube]] ist gegeben durch:
: <math>(p_0, p_1, p_2, p_3)= (u_0^2 + u_1^2 + u_2^2, u_1 u_2, 2 u_0 u_1, u_0^2- u_1^2)</math>

In affinen Koordinaten:
: <math>\,4 x^2 (x^2 +y^2+ z^2 +z) +y^2 (y^2 +z^2 -1) =0</math>

Coffman, Schwartz und Stanton klassifizierten die möglichen Steinerflächen in 10 Typen.

== Literatur ==
* A. Coffman, A. Schwartz, C. Stanton: ''The Algebra and Geometry of Steiner and other Quadratically Parametrizable Surfaces''. In: ''Computer Aided Geometric Design'', April 1996, (3) 13, S. 257–286.
* Bert Jüttler, Ragni Piene: ''Geometric Modeling and Algebraic Geometry''. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-72184-0, S. 30 ff. ({{Google Buch|BuchID=1wNGq87gWykC|Seite=30|Linktext=eingeschränkte Online-Version|Land=US}})
* {{Meyers-1905 |Lemma=Steinersche Fläche |Band=18 |Seite=900 |zenoID=20007520778}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=SteinerSurface |title=Steiner Surface}}
* {{MathWorld |id=RomanSurface|title=Roman Surface}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Algebraische Varietät]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Untermannigfaltigkeit]]

Steinersche Fläche - Versionsgeschichte

imported>Thomas Dresler: Format