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2025-05-26T17:57:35Z

Vorlagen-fix (Commonscat)

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[[Datei:Steiner chain 12mer.svg|mini|Eine geschlossene Steiner-Kette aus zwölf Kreisen (schwarz); die beiden Ausgangskreise sind blau (außen) und rot (innen) dargestellt.]]
Eine '''Steiner-Kette''' (auch '''Steiner’sche Kreiskette''') ist in der [[Geometrie]] eine zusammenhängende Folge endlich vieler, einander [[Tangente|berührender]] Kreise, deren jeder außerdem zwei vorgegebene, sich nicht schneidende Kreise – im Folgenden „Ausgangskreise“ genannt – berührt.

Die Steiner-Kette ist benannt nach dem [[Schweiz]]er [[Mathematiker]] [[Jakob Steiner]], der sie im [[19. Jahrhundert]] definierte und viele ihrer Eigenschaften entdeckte und beschrieb.

== Varianten ==
Für die nachstehenden Überlegungen ist es hilfreich, sich den sukzessiven Aufbau einer Steiner-Kette vorzustellen, beginnend mit einem „Startkreis“ und endend mit einem „Endkreis“.
In der üblicherweise betrachteten ''geschlossenen'' Steiner-Kette tangiert auch der Endkreis wieder den Startkreis, in einer ''offenen'' ist dies nicht der Fall. Die einzige Bedingung für die Ausgangskreise ist, dass diese einander nicht berühren oder schneiden. Das bedeutet, dass entweder ein kleinerer Kreis vollständig innerhalb eines größeren liegt oder dass die beiden Kreise, ohne einander zu berühren, außerhalb voneinander liegen.

Die Abbildung zeigt den Fall einer geschlossenen Steiner-Kette mit ineinander liegenden Ausgangskreisen – im Folgenden „Standardfall“ genannt.

Neben dem Standardfall sind etliche Varianten möglich.

=== Geschlossen, offen und multi-zyklisch ===

Üblicherweise wird die ''geschlossene'' Steiner-Kette betrachtet, bei der der Endkreis den Startkreis wieder berührt. Ist dies nicht der Fall, bleibt eine Lücke (''offene'' Steiner-Kette) zwischen Start- und Endkreis; wird diese geschlossen, überlappen der erste und der letzte Kreis. Wenn man eine solche Kette in weiteren „Runden“ zwischen den Ausgangskreisen fortführen kann, so dass schließlich doch ein Anschluss an das erste Glied der Kette erfolgt, spricht man von einer ''multi-zyklischen'' Kette. Die Abbildung ganz rechts zeigt eine Steiner-Kette, die nach einer ersten Runde (Übergang von den schwarz linierten Kreisen zu den grün ausgefüllten) eine zweite dreht und sich dann schließt.

<gallery perrow="4" class="centered" caption="Geschlossene, offene und multi-zyklische Steiner-Kette">
Steiner chain 9mer annular.svg|geschlossen
Steiner chain open 9mer.svg|offen, überlappend
Steiner chain double 17mer.svg|„multi-zyklisch“
</gallery>

Die Abbildungen oben zeigen der Einfachheit halber den Sonderfall einer Steiner-Kette im [[Kreisring]].

=== Varianten der Kreisberührung ===

Nicht nur können die beiden Ausgangskreise ''ineinander'' oder ''außerhalb voneinander'' („nebeneinander“) liegen, auch müssen die Kreise der Kette nicht zwingend alle einander ''extern'' berühren. Dies führt hinsichtlich der Berührung der beteiligten Kreise zu folgenden Varianten (die Kreise der Kette sind schwarz, die Ausgangskreise blau und rot dargestellt):

<gallery class="centered" caption="Varianten der Kreisberührung" perrow="3">
Steiner chain 7mer.svg|Variante 1
Steiner chain 7mer all external.svg|Variante 2
Steiner chain 8mer all but one external.svg|Variante 3
</gallery>

# Die Ausgangskreise liegen ''ineinander'', die Kreise der Kette berühren sowohl einander als auch den inneren Ausgangskreis ''extern'', den äußeren hingegen ''intern''. Dies ist der Standardfall.
# Die Ausgangskreise liegen ''nebeneinander'' (blau und größer links, rot und klein etwa in der Mitte), die Kreise der Kette berühren sowohl einander als auch beide Ausgangskreise ''extern''.
# Die Ausgangskreise liegen ''nebeneinander'', sieben Kreise der – im Beispiel {{nowrap|8-gliedrigen}} – Kette berühren sowohl einander als auch beide Ausgangskreise ''extern'', der achte (der schwarze ganz außen) wird von den beiden Ausgangskreisen sowie seinen beiden Nachbarn in der Kette ''intern'' berührt.

== Eigenschaften ==

=== Kreiskettensatz ===

[[Datei:Steiner chain animation ellipse.gif|rahmenlos|rechts]]

Eine fundamentale Aussage über die Steiner-Kette ist der ''Steinersche Kreiskettensatz'' (auch ''Schließungssatz von Steiner''):<ref>{{Internetquelle |autor=Thomas Bauer |url=http://www.mathematik.uni-marburg.de/~tbauer/steiner.htm |titel=Der Kreisketten-Satz von Steiner |hrsg=Philipps-Universität Marburg |abruf=2012-04-05}}</ref>

: ''Wenn zwischen zwei Ausgangskreisen mindestens eine geschlossene Steiner-Kette möglich ist, dann sind auch unendlich viele möglich, wobei jeder beliebige Kreis, der die beiden Ausgangskreise berührt, der Startkreis einer solchen Kette sein kann.''

Dies bedeutet, dass jede dieser Ketten durch Rotation der ursprünglichen Kette entlang der Ausgangskreise aus der Ursprungskette hervorgehen kann. Die [[Animation]] illustriert diesen Sachverhalt.

=== Mittelpunkte und Berührungspunkte ===

Die Berührungspunkte der Kreise einer Steiner-Kette liegen stets auf einem Kreis (gold in der Animation).

Die [[Mittelpunkt]]e der Kreise liegen auf einem [[Kegelschnitt]]. Im Standardfall (die beiden Ausgangskreise liegen ineinander) ist das eine [[Ellipse]] (grün in der Animation), deren [[Brennpunkt (Ellipse)|Brennpunkte]] die Mittelpunkte der beiden Ausgangskreise sind. Dies ist übrigens ''immer dann'' der Fall, wenn Kreise einen vorgegebenen Kreis innen und einen weiteren vorgegebenen Kreis außen tangieren – außer bei der Steiner-Kette auch bei der [[Pappos-Kette]], dem dreidimensionalen [[Soddy-Hexlet]] und den [[Apollonisches Problem|Apollonischen Kreisen]].

Im anderen Fall (die Ausgangskreise liegen außerhalb voneinander) liegen die Mittelpunkte auf einer [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]].

== Generalisierungen ==

<gallery perrow="2" class="centered" caption="Generalisierungen">
Pappus Chain Full.svg|Pappos-Kette
Rotating hexlet equator opt.gif|Soddy-Hexlet
</gallery>

Eine Generalisierung der Steiner-Kette könnte darin bestehen, den beiden Ausgangskreisen zu erlauben, einander zu tangieren oder zu schneiden. Im ersten Fall erhält man eine [[Pappos-Kette]] mit unendlich vielen Kettengliedern.

Das Soddy-Hexlet (siehe Animation) ist eine in die dritte Dimension erweiterte, {{nowrap|6-gliedrige}} Steiner-Kette – aus den Ausgangskreisen sowie den Kreisen der Kette werden jeweils [[Kugel]]n. Die Mittelpunkte der sechs Kugeln der Kette (diese bilden das ''Hexlet'') liegen auf derselben Ellipse wie die Mittelpunkte der Kreise der korrespondierenden Steiner-Kette. Die [[Einhüllende]] der Kugeln ist eine [[Dupinsche Zyklide]], die [[Kreisspiegelung|Inversion]] eines [[Torus]]'. Die sechs Kugeln des Hexlets berühren nicht nur die innere (rot eingefärbt) und die äußere „Ausgangskugel“, sondern zusätzlich zwei weitere (in der Animation nicht dargestellte) Kugeln, die ober- bzw. unterhalb der Ebene der Hexlet-Mittelpunkte liegen.<ref>{{Internetquelle |url=https://web.archive.org/web/20210322131741/http://members.ozemail.com.au/~llan/soddy.html |titel=Soddy's Hexlet |datum=2021-03-22 |abruf=2024-12-01}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Pappos-Kette]]
* [[Schließungssatz von Poncelet]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Steiner chains|audio=0|video=0}}
* {{MathWorld|title=Steiner chain|id=SteinerChain}}
* Alexander Bogomolny: [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SteinerChain.shtml ''Steiner’s Chain: What is it?''] (interaktives Java-Applet)
* Michael Borcherds: [http://www.borcherds.co.uk/geogebra/ringOfCircles.html ''Steiner’s Chain''] (interaktives Java-Applet)
* {{MathWorld |id=SteinersPorism |title=Steiner’s Porism}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]

Steiner-Kette - Versionsgeschichte

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