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2025-05-12T16:52:21Z

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[[Datei:Slope picture.svg|mini|hochkant|Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Quotienten <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math>]]
In der [[Mathematik]], insbesondere in der [[Analysis]], ist die '''Steigung''' (auch als '''Anstieg'''<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Filler |Titel=Elementare Lineare Algebra |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2011 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2412-9 |Seiten=53 |Abruf=}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule Mathematik. 5. bis 10. Klasse |Hrsg=Duden |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Ort= |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=180 |Abruf=}}</ref> bezeichnet) ein Maß für die [[Steilheit]] einer [[Gerade]]n oder einer [[Kurve (Mathematik)|Kurve]].

== Allgemeines ==
Die Aufgabe, eine Steigung zu ermitteln, stellt sich nicht nur bei [[Geometrie|geometrischen]] Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der [[Physik]], im [[Höhenplan|Straßenbau]], in der [[Betriebswirtschaftslehre]] oder in der [[Volkswirtschaftslehre]]. So entspricht etwa die Steigung in einem [[Zeit-Weg-Diagramm]] der [[Geschwindigkeit]] oder die Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm der [[Stromstärke]].

== Steigung einer Geraden ==
=== Definition und Berechnung ===
[[Datei:Wiki slope in 2d.svg|mini|Steigung und Steigungswinkel einer Geraden]]
Die Steigung einer [[Gerade]]n wird häufig durch den Buchstaben <math>m</math> bezeichnet. Verwendet man [[kartesische Koordinaten]], so hat die Gerade, die durch zwei Punkte <math>(x_1|y_1)</math> und <math>(x_2|y_2)</math> festgelegt ist, die Steigung

:<math>m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</math>.

<math>\Delta x</math> (sprich: „Delta x“) bedeutet dabei die Differenz der <math>x</math>-Werte, <math>\Delta y</math> entsprechend die Differenz der zugeordneten <math>y</math>-Werte.

Für die durch die Punkte <math>(1|2)</math> und <math>(3|7)</math> verlaufende Gerade ergibt sich beispielsweise die Steigung

: <math>m = \frac{7-2}{3-1} = \frac{5}{2} = 2{,}5</math>.

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt, es kommt stets dieselbe Steigung raus.<ref group="A">Eine Begründung hierfür liefert der [[Strahlensatz|zweite Strahlensatz]].</ref> Wählt man zum Beispiel die Punkte <math>(-1|-3)</math> und <math>(1|2)</math>, so erhält man ebenfalls

: <math>m = \frac{2-(-3)}{1-(-1)} = \frac{5}{2} = 2{,}5</math>.

Steigt die Gerade an (in positiver <math>x</math>-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur <math>x</math>-Achse verläuft.

Hat die Gerade die Steigung <math>m</math> und schneidet sie die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0|c)</math>, so hat sie die [[Geradengleichung|Gleichung]]
<math>y = m x + c</math>.

''Hinweis:'' Geraden, die zur <math>y</math>-Achse parallel verlaufen, haben keinen Steigungswert: Je zwei Punkte haben nämlich denselben <math>x</math>-Wert, so dass bei Einsetzen in die Steigungsformel ein unbestimmter Ausdruck entsteht (siehe [[Division durch null]]). Man kann ihnen jedoch die Steigung „unendlich“ (<math>\infty</math>) zusprechen.<ref group="A"> Genauso gut könnte man senkrechten Geraden auch die Steigung „minus unendlich“ (<math>-\infty</math>) zusprechen. Daran erkennt man, dass diese Zuordnung nicht ganz unproblematisch ist.</ref>

=== Prozentangabe – v. a. im Straßenverkehr ===
{{Hauptartikel|Gradiente}}

[[Datei:DunedinBaldwinStreet Parked Car.jpg|mini|Die steilste Straße der Welt mit rund 35 % (19,3°) ist die [[Baldwin Street]] in Neuseeland.]]
[[Datei:Steigung 33 Prozent.jpg|mini|Steigungsangabe in Prozent auf einem Verkehrsschild (unteres Schild) in [[St Mawes]], [[Cornwall]]]]

Die Steigung einer Geraden spielt auch im [[Straßenverkehr]] eine Rolle. Das [[Verkehrszeichen]] für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff, allerdings wird sie meist in [[Prozent]] (%) ausgedrückt. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet zum Beispiel, dass pro 100 m in waagerechter Richtung die Höhe um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12 %).

==== Steilste Straße Deutschlands ====

Die [[Steilstrecke Nordschleife]] hat seit 1927 bis zu 27 % Steigung, war aber gemäß Fahrordnung nicht Teil der Touristenfahrten, bei denen die [[Nordschleife]] eine gegen Maut öffentlich befahrbare Einbahnstraße ist, mit getrennter Richtungsfahrbahn, außerorts somit ohne Tempolimit.

Bislang galt nach eigenen Angaben die Oberweißbacher Straße in [[Deesbach]], [[Thüringen]] als „steilste Straße Deutschlands“ mit 25,30 % Steigung, auf der jährlich ein Klapprad-Bergrennen stattfindet, sowie ebendort die „steilste Ortsstraße“ mit 22,65 % Steigung als zweitsteilste.

2017 fand jedoch ein hessischer Radiosender heraus, dass es im [[Hessen|hessischen]] [[Ranstadt]]-[[Dauernheim]] eine Straße mit einer Steigung von 29 % gibt: den Hasenpfad.

In [[Berchtesgaden]] befindet sich die steilste deutsche [[Bundesstraße]], die [[Bundesstraße 319 |B 319]] auf den [[Obersalzberg]] hinauf, mit 26 % Steigung.

==== Steilste Straße der Welt ====

Die steilste Straße der Welt ist die [[Baldwin Street]] in Neuseeland. Die maximale Steigung der knapp 350 Meter langen Straße beträgt 1:2,86 (19,3° oder ca. 35 %).<ref>Steven Morris: [https://www.theguardian.com/uk-news/2020/apr/08/welsh-road-loses-title-of-worlds-steepest-after-new-zealand-rivals-appeal ''Welsh street loses world’s steepest title after New Zealand rival’s appeal.''] theguardian.com, 8. April 2020; abgerufen am 22. Mai 2020 (englisch).</ref>

=== Verhältnisangabe – z. B. bei Böschungen ===
Eine Verhältnisangabe wie 1:2,67 ist eine weitere Möglichkeit, Neigungen bzw. Steigungen zu definieren. Sie gibt, ebenso wie eine prozentuale Angabe, den ''Höhenunterschied pro Horizontalstrecke'' an: 1 m Höhe auf 2,67 m Strecke = 1/2,67 ≈ 0,37453 ≈ 37,45 % (= 37,45 m Höhe auf 100 m Strecke).
Auch [[Böschung]]en werden so angegeben. Das oft verwendete Verhältnis künstlicher Böschungen von 1:1,5 (abhängig vom Material usw.) ergibt 1 Meter Höhenunterschied auf 1,5 Meter Horizontalstrecke. Das bedeutet eine Steigung von 66,7 % sowie einen Steigungswinkel von arctan(1/1,5) = 33,7°.

== Steigungs- oder Neigungswinkel ==

Aus der Steigung <math>m</math> einer Geraden lässt sich mit Hilfe der [[Arcustangens]]-Funktion der zugehörige ''Steigungs- bzw. Neigungswinkel'' <math>\alpha</math> der Geraden bezogen auf die positive Richtung der <math>x</math>-Achse berechnen:

In einem [[Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] ist der [[Tangens]] von einem der beiden spitzen [[Winkel]] gleich dem [[Quotient]]en der jeweiligen Gegen- und Ankathete. Somit ist die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels gegenüber der positiven Richtung der <math>x</math>-Achse:

: <math>m = \tan(\alpha).</math>

Dabei ist <math>\alpha</math> ein orientierter Winkel, d. h. für negative Steigungen ist der Steigungswinkel negativ, während positiven Steigungen positive Steigungswinkel entsprechen. Bei der Angabe in Prozent ist zu beachten, dass Steigung und Steigungswinkel nicht [[Proportionalität|proportional]] zueinander sind, es also auch nicht möglich ist, Steigungen und Steigungswinkel mit einem einfachen [[Dreisatz]] ineinander umzurechnen. So entspricht beispielsweise der Steigung 1 (= 100 %) ein Steigungswinkel von 45°, der Steigung 2 (= 200 %) dagegen nur noch ein Winkel von rund 63,4°, und nähert sich der Steigungswinkel dem Wert von 90°, so wächst die Steigung ins Unendliche.

Annähernde Proportionalität von Steigung und Steigungswinkel dagegen ist nur für kleine Steigungswinkel bis etwa 5° gegeben – so entspricht einer Steigung von ±0,01 bzw. ±1 % ein Steigungswinkel von annähernd ±0,57°, und umgekehrt ein Steigungswinkel von ±1° einer Steigung von annähernd ±0,0175 bzw. 1,75 %. Mathematisch lässt sich das dadurch erklären, dass die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Tangens in 0 gerade gleich 1 ist, d. h. für Werte von <math>x</math> in der Nähe von 0 gilt <math>\tan(x)\approx x</math>.

Für größere Steigungswinkel dagegen, oder wenn ihre Größe exakt bestimmt werden soll, benötigt man die [[Umkehrfunktion]] des Tangens, das heißt die [[Arcustangens|Arcustangens-Funktion]]:

: <math>\alpha = \arctan(m).</math>

So erhält man zum Beispiel für eine Steigung von <math>m = 40\,\%</math> einen Steigungswinkel von

: <math>\alpha = \arctan(0{,}4)\approx 21{,}8^\circ.</math>

Bei negativen Steigungen ist hier zu beachten, dass – aufgrund der [[Punktsymmetrie]] der Arcustangens-Funktion – die Steigungswinkel <math>\alpha</math> negativ sind.

== Schnittwinkel ==

Der Steigungsbegriff liefert auch eine bequeme Methode, den [[Schnittwinkel (Geometrie)|Schnittwinkel]] <math>\varepsilon</math> zweier Geraden mit gegebenen Steigungen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> zu bestimmen:

: <math>\tan \varepsilon = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|.</math>

: <math>\varepsilon = \arctan \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|.</math>

Zwei Geraden sind genau dann [[Parallel (Geometrie)|parallel]] (<math>\varepsilon = 0^\circ </math>), wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Sie sind genau dann [[Orthogonalität|senkrecht]] zueinander (<math>\varepsilon= 90^\circ</math>), wenn ihre Steigungen die Orthogonalitäts-Bedingung <math>m_1 \cdot m_2 = -1</math> erfüllen.

== Steigung von Gewinden ==
Bei metrischen [[Gewinde]]n kennzeichnet die Steigung die [[Ganghöhe]], das heißt den Abstand zwischen zwei Gewindestufen entlang der Gewindeachse, anders gesagt den axialen Weg, der durch eine Umdrehung des Gewindes zurückgelegt wird.

Bei zölligen Gewinden dagegen wird als Wert die Anzahl der Gewindegänge auf der Strecke von einem Zoll angegeben. Als [[Pseudoeinheit]] wird oft die Abkürzung TPI (“threads per inch”) verwendet.

== Gefälle an Gewässern, in potentialgetriebenen Prozessen und Strömungen ==
Insbesondere an [[Wasserkraftwerk]]en wird der lokale Wasserspiegelunterschied zwischen Oberwasser und Unterwasser als Gefälle (oder auch Arbeitshöhe) bezeichnet. Das gilt für Mühlen, Laufkraftwerke, aber auch für Konstruktionen mit Stollen, Wasserschlössern und Druckrohren. Auch die Abnahme der Wasserspiegelhöhe zwischen zwei längs eines Fließgewässers bestimmten entfernten Punkten wird als Gefälle bezeichnet.

In [[Wärmekraftmaschine|Wärmekraftprozessen]], etwa an Wärmekraftmaschinen oder Kälteaggregaten, wird von Druck- und Temperaturgefällen gesprochen, wenn diskrete Unterschiede entsprechenden Messgrößen zwischen zwei Bereichen bestehen, die zu von selbst ablaufenden Strömen von Fluiden (Gas, Flüssigkeit) bzw. Wärmeenergie führen.

Statische Druckgefälle können auch zwischen verschiedenen Punkten von Versorgungssystemen für [[Druckluft]] oder [[Leitungswasser]], sowie in Lüftungsanlagen (bedeutsam für Hygiene, Reinraum, Geruchsbelästigung) bestehen. (Dynamisch tritt Druckabfall längs einer Strömungsstrecke auf.)

Chemisch-physikalische Prozesse werden mitunter durch ein räumlich bestehendes stoffliches Konzentrationsgefälle angetrieben. [[Osmose]], [[Diffusion]], [[Chromatografie]], [[Kristallisation]] aus Lösung, Verdunstung seien hier genannt.

Im übertragenen Sinn werden analog in Ökonomie und Soziologie Unterschiede von [[Lohnniveau]], [[Preisniveau]] oder [[Bildung]], etwa regional zwischen Stadt und Land, sozial zwischen Mann und Frau als Lohngefälle, Preisgefälle, Bildungsgefälle bezeichnet.

In all diesen Fällen ist abweichend vom sonst üblichen Begriffsinhalt von Gefälle (als negativer Steigung) nicht eine Neigung im Sinn von Höhenunterschied pro Entfernung (Länge) und damit der Maßeinheit 1, sondern eine Höhendifferenz (gemessen in der Maßeinheit Meter) gemeint. Allen dadurch getriebenen Strömungsprozessen ist gemein, (von selbst) nur in eine Richtung – gefälleabwärts – abzulaufen (vgl. [[Potentialunterschied]]).

== Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve ==

Eines der grundlegenden Probleme der [[Analysis]] besteht darin, die Steigung einer Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt herauszufinden. Die oben besprochene Formel ist jetzt nicht mehr verwendbar, da nur ein Punkt gegeben ist. Wählt man den zweiten Punkt willkürlich, erhält man kein eindeutiges Ergebnis oder, falls beide Punkte identisch gewählt werden, ist das Ergebnis nicht definiert, da durch 0 geteilt wird.

Man definiert die Steigung des [[Funktionsgraph|Graphen]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] in einem Punkt des Graphen daher als Steigung der [[Tangente|Kurventangente]] in diesem Punkt. Die [[Differenzialrechnung]] liefert den Begriff der [[Differentialrechnung|Ableitung]] als Hilfsmittel, um solche Steigungswerte ausrechnen zu können.

Beispiel: Für den Graphen der Funktion <math>f(x)=2x^2 - \frac{1}{2} x^3</math> sollen die Steigung im Kurvenpunkt <math>(2|4)</math> und der zugehörige Neigungswinkel berechnet werden.

[[Datei:SteigungFktGraph.png]]

Zunächst ermittelt man die Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>:

: <math>f'(x) = 4x - \frac{3}{2} x^2</math>

Nun wird die <math>x</math>-Koordinate des gegebenen Punktes eingesetzt:

: <math>f'(2) = 4 \cdot 2 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 = 2</math>

Aus dem Wert der Steigung ergibt sich der Neigungswinkel:

: <math>\tan \alpha = 2</math> und damit <math>\alpha = \arctan 2 \approx 63{,}4^\circ</math>.

== Siehe auch ==

* [[Anstieg]], [[Steilheit]]
* Steigung am [[Gewinde]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Funktionen/ Lineare Funktion|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule |suffix=-}}
{{Wiktionary}}
* [https://www.johannes-strommer.com/mathematik-rechner/berechnung-steigung/ Steigungsrechner]

== Anmerkungen ==
<references group="A" />

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Steigung - Versionsgeschichte

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