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2026-04-03T15:24:08Z

Präzisierung und kleine Ergänzung

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{{Weiterleitungshinweis|Versteifung|Für die krankheitsbedingte oder operative Versteifung von Gelenken siehe [[Gelenksteife]].}}

Die '''Steifigkeit''' ist eine Größe der [[Technische Mechanik | Technischen Mechanik]]. Sie beschreibt den Widerstand eines [[Körper (Physik) | Körpers]] gegen eine durch äußere [[Belastung (Physik)|Belastung]] (eine [[Kraft]] oder ein [[Moment (Technische Mechanik) | Drehmoment]]) bewirkte [[Elastizität (Physik) | elastische Verformung]] und dessen Verformung<ref>''Steifigkeit'', in: ''Deutsche Enzyklopädie''. [https://www.enzyklo.de/Lokal/42134], abgerufen am 18. November 2021.</ref>. Der [[Kehrwert]] der Steifigkeit wird als [[Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)|Nachgiebigkeit]] bezeichnet.

Zu unterscheiden ist
* die Steifigkeit eines Materials, die an einem standardisierten [[Prüfkörper]] gemessen wird → siehe [[#Werkstoffsteifigkeit|Werkstoffsteifigkeit]] und
* die Steifigkeit eines [[Bauteil (Technik) | Bauteils]], die neben dem verwendeten [[Werkstoff]] vornehmlich auch von der Geometrie des betrachteten Objekts sowie der Art der [[Beanspruchung (Technische Mechanik)|Beanspruchung]] abhängt → siehe [[#Profilsteifigkeit|Profilsteifigkeit]] und → sonstige [[#Bauteilsteifigkeit|Bauteilsteifigkeiten]].

Je nach Art der Beanspruchung werden weiterhin die [[Zugkraft | Dehn-]], Schub-, [[Biegung (Mechanik)|Biege-]] und [[Torsion (Mechanik)|Torsionssteifigkeit]] unterschieden, nach Art des Bauteils u. a. die [[Platte (Technische Mechanik)|Platten-]] und die [[Federkonstante | Federsteifigkeit]].

Die Steifigkeit eines Bauteils kann durch eine '''Versteifung''' erhöht werden, beispielsweise durch Modifikation des Werkstoffs, [[Verbundwerkstoff]]e und -konstruktionen sowie konstruktive bzw. strukturelle Verstärkungen wie [[Strebe]]n oder andere aussteifende Elemente.<ref>[[Manfred Neitzel]], Peter Mitschang, Ulf Breuer: ''Handbuch Verbundwerkstoffe.'' 2. Aufl., Carl Hanser Verlag, München 2014.</ref>

== Werkstoffsteifigkeit ==

Die Werkstoffsteifigkeit, definiert als Verhältnis der wirkenden [[Mechanische Spannung | Spannung]] zur zugehörigen [[Dehnung]], ist eine werkstoffmechanische Eigenschaft. Sie dient mit ihren Kennwerten auch der Charakterisierung der Werkstoffe, speziell auch mittels der [[Spezifische Steifigkeit | spezifischen Steifigkeit]], und wird in der [[Werkstoffprüfung]] ermittelt.<ref>Wolfgang W. Seidel, Frank Hahn: ''Werkstofftechnik. Werkstoffe – Eigenschaften – Prüfung – Anwendung.'' 11. Aufl. Carl Hanser Verlag, München 2018. ISBN 978-3-446-45415-6. [https://www.hanser-kundencenter.de/fachbuch/artikel/9783446454156.]</ref> Die Werkstoffsteifigkeit zeigt sich im [[Spannungs-Dehnungs-Diagramm]] als Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die mathematische Darstellung der Werkstoffsteifigkeit wird als mechanisches [[Materialmodell]] oder Stoffgesetz bezeichnet.

Typische Kennwerte der Werkstoffsteifigkeit sind der [[Elastizitätsmodul | Elastizitäts-]] und der [[Schubmodul]] <math>E</math> bzw. <math>G</math> mit der Dimension Kraft pro Flächeneinheit wie auch die dimensionslose [[Poissonzahl]] <math>\nu</math>. In der [[Kontinuumsmechanik]] des isotropen linearelastischen Körpers werden häufig auch die beiden [[Lamé-Konstanten]] <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> als Steifigkeitskennwerte verwendet. Die vollständige [[Elastizitätstheorie | elastizitätstheoretische]] Beschreibung der Steifigkeit erfordert bei [[Isotropie | isotropem]] Werkstoffverhalten zwei, bei [[Monotropie]] fünf, bei [[Orthotropie]] neun und bei allgemeiner [[Anisotropie]] 21 voneinander unabhängige Kennwerte.<ref>[[Holm Altenbach]]: ''Kontinuumsmechanik.'' 4. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2018. ISBN 978-3-662-57503-1. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57504-8]</ref> Diese können in [[Matrix (Mathematik) | Matrizenform]] bzw. als [[Elastizitätstensor | Steifigkeitstensor]] dargestellt werden, wie dies bei numerischen Berechnungen wie der [[Finite-Elemente-Methode]] (FEM) der Fall ist. Bei [[Hookesches Gesetz | linearer Elastizität]] sind diese Kenngrößen Konstanten. Bei nichtlinearem Verhalten sind sie Funktionen der Spannung bzw. der Dehnung. Bei [[Viskoelastizität | viskoelastischem Verhalten]] sind die Steifigkeitskennwerte zeitabhängig, wie z. B. der [[Kriechmodul]]. Die Werkstoffsteifigkeit hängt bei praktisch allen [[Strukturwerkstoff | Konstruktionsmaterialien]] mehr oder weniger stark von den Einsatzbedingungen ab, vor allem von der [[Temperatur]], und teilweise, wie bei gewissen Kunststoffen, auch von der [[Feuchtigkeit]].<ref>[[Wolfgang Kaiser (Chemiker)| Wolfgang Kaiser]]: ''Kunststoffchemie für Ingenieure''. 5. Aufl. Carl Hanser Verlag, München 2021. ISBN 978-3-446-45191-9. [https://www.hanser-fachbuch.de/buch/Kunststoffchemie+fuer+Ingenieure/9783446451919].</ref>

Bei inhomogenen Strukturen ist die Werkstoffsteifigkeit im Querschnitt ungleich verteilt. Für die [[Dimensionierung | Bauteilberechnung]] werden aber häufig [[Mittelwert]]e oder integrale Ersatzgrößen gebildet. Diese hängen von den beteiligten Werkstoffen, deren Verteilung über den Querschnitt und von der [[ Beanspruchung (Technische Mechanik)|Beanspruchungsart]] ab.

Die Werkstoffsteifigkeit ist mit der [[Dichte]] <math>\rho</math> mitbestimmend für die [[Schallgeschwindigkeit]] <math>c_\text{s}</math>, mit der sich [[Welle | Wellen]] in [[Festkörper | Festkörpern]] ausbreiten. Für die [[Longitudinalwelle]] im elastischen Stab mit dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math> z. B. gilt <math>c_\text{s,L} = \sqrt{{E/\rho}}</math>.

== Profilsteifigkeit ==
Die Steifigkeit der einzelnen Bauteilquerschnitte unterscheidet sich nach den vier [[Beanspruchung (Technische Mechanik) | Beanspruchungsarten]] [[Zugkraft | Zug]] bzw. [[Kraft | Druck]], [[Querkraft | Schub]], [[Biegung (Mechanik) | Biegung]] und [[Torsion (Mechanik) | Torsion]]. Sie ist bestimmt durch die örtliche Querschnittsgeometrie und die lokale Werkstoffsteifigkeit bzw. deren Verteilung über den Querschnitt. In den meisten Fällen ist die Werkstoffsteifigkeit über der ganzen Querschnittsfläche konstant. Eine inhomogen-diskrete Verteilung der Werkstoffsteifigkeit liegt z. B. bei [[Laminat | Laminaten]] oder [[Sandwichbauweise | Sandwichstrukturen]]<ref>Howard G. Allen: ''Analysis and Design of Structural Sandwich Panels''. Pergamon Press, Oxford 1969.</ref><ref>Frederic J. Plantema: ''Sandwich Construction.'' John Wiley & Sons, New York 1966.</ref><ref>Andreas Öchsner: ''Stoff- und Formleichtbau''. Springer Vieweg Verlag, Wiesbaden 2020. Kap. 5: ''Sandwichelemente''. ISBN 978-3-658-30713-4. [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-658-30714-1_5]</ref> vor. Bei [[Schaumstoff | Integral- oder Strukturschaumstoffen]] ist die Steifigkeitsverteilung im Querschnitt inhomogen-kontinuierlich, so dass die resultierende Steifigkeit durch eine [[Integralrechnung | Integralfunktion]] beschrieben werden kann<ref>Wolfgang Müller, Lothar Starke: ''Modelle zur Berechnung des Elastizitätsmoduls und der Biegesteifigkeit von thermoplastischen Strukturschaumstoffen''. In: ''Plaste und Kautschuk'' 31(1984)4, S. 348–351.</ref><ref>Johannes Kunz: ''Ein Steifigkeitsmodell für Strukturschaumstoffe.'' In: ''Konstruktion'' 75(2023)1-2, S. 60–64.</ref>. Diese beanspruchungsspezifischen Querschnittsteifigkeiten sind erforderlich für analytische Berechnungen.

=== Dehnsteifigkeit ===
[[Datei:Steifigkeit - Definition der Zugsteifigkeit.png|mini|hochkant=1.3|Dehnsteifigkeit]]
Die Dehnsteifigkeit <math>S_{z,d}</math>, auch Zug/Druck-Steifigkeit genannt, beschreibt den Widerstand eines einachsig auf Zug oder Druck beanspruchten Bauteils im Querschnitt <math>A</math> gegen eine Längsverformung. Sie ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden [[Normalkraft]] <math>F_{n}</math> zur von ihr hervorgerufenen [[Dehnung]] <math>\varepsilon</math>. Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in <math>N</math> oder <math>kN</math> angegeben:

:<math>S_{z,d} = \frac{F_{n}}{\varepsilon}.</math>

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
* Homogene Querschnitte mit <math>E = \text{konst.}</math>:

:<math> S_{z,d} = E \cdot A.</math>

* Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen [[Elastizitätsmodul]]s <math>E</math> über die eben bleibende Querschnittsfläche <math>A</math>:

:<math>S_{z,d} = \int_A E\cdot\mathrm dA.</math>

* Diskrete Verteilung des Elastizit$tsmoduls <math>E</math> über die Querschnittsfläche <math>A</math> mit <math>n</math> Schichten bzw. Bereichen <math>A_{i}</math> und je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln <math>E_{i}</math>:

:<math> S_{z,d} = \sum_{i=1}^n\ E_{i} \cdot A_{i}.</math>

=== Schubsteifigkeit ===
[[Datei:Steifigkeit - Definition der Schubsteifigkeit.png|mini|hochkant=1.3|Schubsteifigkeit]]
Die Schubsteifigkeit <math>S_{s}</math> ist der Widerstand eines auf Schub beanspruchten Bauteils im Querschnitt <math>A</math> gegen eine Schubverformung. Sie ist bei Balken unter [[Timoshenko-Balken | Querkraftbiegung]] relevant. Die Schubsteifigkeit ist definiert als Verhältnis der beanspruchenden [[Querkraft]] <math>F_{q}</math> zum von ihr hervorgerufenen, über den verwölbten Querschnitt gemittelten [[Schubmodul | Schubwinkel]] <math>\gamma_{m}</math>. Sie hat die Dimension einer Kraft und wird in der Regel in <math>N</math> oder <math>kN</math> angegeben:

:<math> S_{s} = \frac{F_{q}}{\gamma_{m}}.</math>

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
* Homogene Querschnitte mit <math>G = \text{konst.}</math>:

:<math> S_{s} = {\frac{1}{\kappa}} \cdot G \cdot A = G \cdot A_{s}.</math>

Hierin sind <math>\kappa</math> die [[Schubkorrekturfaktor | Schubverteilungszahl]]<ref>Hans Winkel, Kurt Lachmann: ''Die Schub- oder Scherfestigkeit. '' In: Kurt Lachmann: ''Festigkeitslehre für Ingenieure.'' Springer Verlag Berlin 1927</ref>, u. a. auch Schubkoeffizient genannt, und <math>A_{s}</math> die sog. [[Schubfläche]]. Die Schubverteilungszahl berücksichtigt den Einfluss der Schubspannungsverteilung in der beanspruchten Querschnittsfläche <math>A</math> auf die Schubsteifigkeit und die Schubverformung. Sie ist analytisch ableitbar und kann für gegebene Querschnittsformen berechnet werden.<ref>[[Carlo Alberto Castigliano]]: ''Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications.'' A.F. Negro Turin 2879, S. 146-174.</ref><ref>[[Carl von Bach]]: ''Elasticität und Festigkeit.'' 4. Aufl. Verlag Julius Springer, Berlin 1902, S. 448–458.</ref><ref>[[Hans Göldner]], [[Franz Holzweißig]]: ''Leitfaden der Technischen Mechanik.'' 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 4.2: ''Querkraftschub in einfach geschlossenen Querschnitten.'' [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-12252-5].</ref><ref>Johannes Kunz: ''Zur Schubbeanspruchung bei Querkraftbiegung.'' In: ''Konstruktion'' 77(2025)7-8; S. 32-36.</ref>

* Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen Schubmoduls <math>G</math> über die sich verwölbende Querschnittsfläche <math>A</math>:

:<math> S_{s} = {\frac{1}{\kappa}} \cdot \int_A G\cdot \mathrm dA.</math>

* Diskrete Verteilung des Schubmoduls <math>G</math> über die Querschnittsfläche <math>A</math> mit <math>n</math> zur Querkraft senkrechten Schichten <math>A_{i}</math> und je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln <math>G_{i}</math>:

:<math> S_{s} = {\frac{1}{\kappa}} \cdot \sum_{i=1}^n\ G_{i} \cdot A_{i}.</math>

Bei inhomogenen Querschnittsstrukturen bezieht sich die Schubverteilungszahl <math>\kappa</math> auf den Gesamtquerschnitt. Sie hängt auch von der Verteilung des Schubmoduls über die Querschnittsfläche ab.<ref>Johannes Kunz: ''Zur Schubsteifigkeit von Schichtverbundkonstruktionen.'' In: ''Konstruktion'' 78(2026)3; S. 35-39.</ref>

=== Biegesteifigkeit ===
[[Datei:Steifigkeit - Definition der Biegesteifigkeit.png|mini|hochkant=1.3|Biegesteifigkeit]]
Die Biegesteifigkeit <math>S_{b}</math> kennzeichnet den Widerstand eines auf [[Balkentheorie | Biegung]] beanspruchten Bauteils im eben bleibenden Querschnitt <math>A</math> gegen eine Krümmung um die Biegeachse. Sie ist bestimmt durch das Verhältnis des beanspruchenden [[Biegemoment | Biegemoments]] <math>M_{b}</math> zur von ihm hervorgerufenen [[Krümmung]] <math>k = 1/\rho</math> mit <math> \rho</math> als lokalem [[Krümmungskreis|Krümmungsradius]]:

:<math>S_{b} = \frac{M_{b}}{k} = M_{b}\cdot \rho.</math>

Die Biegesteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in <math>\mathrm{N \cdot mm^2}</math> oder <math>\mathrm{kN \cdot m^2}.</math> angegeben.

Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
* Homogene Querschnitte mit <math>E = \text{konst.}</math> und <math>I_y</math> als axialem [[Flächenträgheitsmoment]] des Querschnitts bezüglich der Biegeachse <math>y</math>:

:<math> S_{b} = E \cdot I_y.</math>

* Kontinuierliche Verteilung des ortsabhängigen [[Elastizitätsmodul]]s <math>E</math> über die eben bleibende Querschnittsfläche <math>A</math>:

:<math>S_{b} = \int_{A} E\cdot z^2\cdot \mathrm dA.</math>

* Diskrete Verteilung des Elastizitätsmoduls <math>E</math> über <math>n</math> Schichten bzw. Bereiche mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Elastizitätsmoduln <math>E_{i}</math> und den Teil-Flächenträgheitsmomenten <math>I_{y,i}</math> bezüglich der gemeinsamen Biegeachse <math>y</math>:

:<math> S_{b} = \sum_{i=1}^n\ E_{i} \cdot I_{y,i}.</math>

==== Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten ====
Mit wachsender Breite der Querschnittsfläche wird die [[Querkontraktion]] in dieser Richtung zunehmend behindert, was die Biegesteifigkeit erhöht.<ref>[[Hans Göldner]], [[Franz Holzweißig]]: ''Leitfaden der Technischen Mechanik''. 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.7.5: ''Der breite Stab - Einfluss der Querkontraktion''. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-12252-5].</ref> Bei gänzlicher Verhinderung der Querkontraktion führt dies mit der [[Poissonzahl]] <math>\mu</math> zur Beziehung

:<math> S'_{b} = \frac{S_{b}}{1 - \mu^2}.</math>

Im Extremfall der [[Inkompressibilität]] mit <math>\mu = 0{,}5</math> ergibt dies eine Steifigkeitszunahme um den Faktor 4/3, d. h. 33 %.

==== Plattensteifigkeit ====
Die Biegesteifigkeit ebener [[Tragwerk (Bauwesen) | Flächentragwerke]] von vergleichsweise geringer Dicke <math>h</math>, sog. [[Platte (Technische Mechanik) | Platten]], entspricht im Wesentlichen der Biegesteifigkeit bei breiten Querschnitten, jedoch bezogen auf die Einheit der Breite <math>b</math>. Somit ist die Plattensteifigkeit bei Rechteckquerschnitt <math>b\cdot h</math> und konstantem [[Elastizitätsmodul]]

:<math> S'_{b} = \frac{E \cdot{h^3}}{12\cdot (1 - \mu^2)}.</math>

==== Biegesteifigkeit eben gekrümmter Bauteile ====
Die Biegesteifigkeit von Bauteilen mit zur Biegeebene symmetrischer Querschnittsfläche, und deren Längsachse in der Biegeebene im unverformten Zustand mit dem Radius <math>r</math> gekrümmt ist („gekrümmter Träger“), erfährt durch diese Krümmung eine Erhöhung.<ref>[[Hans Göldner]], [[Franz Holzweißig]]: ''Leitfaden der Technischen Mechanik''. 10. Aufl. Springer Verlag, Berlin 1988. Kap. 3.5: ''Biegung eben gekrümmter, symmetrischer Stäbe''. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-12252-5].</ref> Es gilt:

:<math>S_{b} = \int_{A} E\cdot z^2\cdot \frac{r}{r+z}\cdot\mathrm dA.</math>

Die versteifende Wirkung kann in Abhängigkeit von Krümmung und Querschnittsgeometrie bis zu 30 % betragen. Bei konstantem [[Elastizitätsmodul]] zeigt sie sich in der Beziehung:

:<math>{I^*}_{y} = \int_{A} z^2\cdot \frac{r}{r+z}\cdot\mathrm dA = c_I\cdot I_y < I_y. </math>

Die Querschnittsgröße <math>{I^*}_{y} </math> kann für einfache geometrische Flächen berechnet werden.

=== Torsionssteifigkeit ===
[[Datei:Steifigkeit - Definition der Torsionssteifigkeit.png|mini|hochkant=1.3|Torsionssteifigkeit]]
Die [[Torsion (Mechanik)|Torsions]]<nowiki/>steifigkeit, auch als Verdrehsteifigkeit bezeichnet, ist der Widerstand eines auf Torsion beanspruchten Bauteils im Querschnitt <math>A</math> gegen eine Verwindung um die Längsachse. Sie ist definiert als Verhältnis des beanspruchenden [[Torsionsmoment | Torsionsmoments]] zum von ihm hervorgerufenen [[Torsion (Mechanik)| Verwindungswinkel]] <math>\vartheta </math> pro Längeneinheit:

:<math>S_{t} = \frac{M_{t}}{\vartheta'} = M_{t}\cdot \frac{dx}{d\vartheta}.</math>

Die Torsionssteifigkeit hat die Dimension Kraft mal Fläche und wird üblicherweise in <math>\mathrm{N \cdot mm^2} </math> oder <math>\mathrm{kN \cdot m^2}.</math> angegeben.

==== Allgemeine Querschnittsformen ====
Die Torsionssteifigkeit homogener Querschnitte beliebiger Geometrie ist bestimmt als Produkt aus dem Schubmodul <math>G = konst.</math> und dem [[Torsionsträgheitsmoment]] <math>I_{t}</math> des Querschnitts:

:<math>S_{t} = G\cdot I_{t}.</math>

Das Torsionsträgheitsmoment nicht rotationssymmetrischer Querschnittsformen ist nicht elementar berechenbar. Bekannte Lösungen sind in einschlägigen technischen Handbüchern aufgelistet.<ref>Beate Bender, Dietmar Göhlich (Hrsg.): ''Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen.'' Teil III: ''Festigkeitslehre'', Kap. 20.5: ''Torsionsbeanspruchung''. Springer Verlag, Berlin 2020. ISBN 978-3-662-59710-1. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-59711-8]</ref>

Die theoretische Beschreibung führt bei beliebig geformten Vollquerschnitten zu einer [[Potentialgleichung | Poissonschen Differentialgleichung]], die auch andern physikalischen Problemstellungen zugrunde liegt. Daher ermöglichen die [[William Thomson, 1. Baron Kelvin| Thomsonsche]] Strömungsanalogie<ref>[[William Thomson, 1. Baron Kelvin|William Thomson]]: ''Elasticity.'' In: ''Encyclopaedia Britannica'', Math. and Phys. Papers III, 1878, S. 1–112.</ref> oder die [[Ludwig Prandtl | Prandtlsche]] [[Membrangleichung (Statik) | Membrananalogie]]<ref>[[Ludwig Prandtl]]: ''Zur Torsion von prismatischen Stäben.'' In: ''Physikalische Zeitschrift'' 4(1903), S. 758–759.</ref>, auch Seifenhautgleichnis genannt, einen anschaulichen Zugang zum Torsionsproblem.

Die Torsionssteifigkeit geschlossener, dünnwandiger Hohlquerschnitte kann unter der Annahme, die Schubspannungen seien über die Wanddicke konstant, mit den [[Bredtsche Formel | Bredtschen Formeln]]<ref>[[Rudolf Bredt | Rudolph Bredt]]: ''Kritische Bemerkungen zur Drehungselastizität''. In: ''Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure'' 40(1896)28, S. 785–790, und 29, S. 813–817.</ref> berechnet werden; für jene offener, dünnwandiger Querschnitte sind Näherungsformeln bekannt.

Wird die bei nicht rotationssymmetrischen Querschnitten auftretende [[Wölbkrafttorsion | Querschnittsverwölbung]] behindert, z. B. durch Einspannung an den Enden, führt dies zu einer Erhöhung der Torsionssteifigkeit.

==== Rotationssymmetrische Querschnitte ====
Das Torsionsträgheitsmoment rotationssymmetrischer Querschnitte entspricht dem polaren Flächenträgheitsmoment <math>I_{p}</math> bezüglich der Torsionsachse. Je nach Verteilung der Werkstoffsteifigkeit über den Querschnitt gelten folgende Beziehungen:
* Homogene Querschnitte mit <math>G = \text{konst.}</math>:

:<math> S_{t} = G \cdot I_p.</math>

* Kontinuierliche Verteilung des rotationssymmetrisch ortsabhängigen Schubmoduls <math>G(r)</math> über die eben bleibende Querschnittsfläche <math>A</math>, mit <math>r</math>:

:<math>S_{t} = \int_{A} G\cdot r^2\cdot \mathrm dA.</math>

* Diskrete Verteilung des [[Elastizitätsmodul]]s <math>G</math> über <math>n</math> rotationssymmetrische Schichten mit den je unterschiedlichen, aber konstanten Schubmoduln <math>G_{i}</math> und den polaren Teil-Flächenträgheitsmomenten <math>I_{p,i}</math> bezüglich der Torsionsachse, z. B. bei [[Mehrschichtverbundrohr | Mehrschichtverbundrohren]]:

:<math> S_{t} = \sum_{i=1}^n\ G_{i} \cdot I_{p,i}.</math>

== Bauteilsteifigkeit ==

=== Allgemeines ===
Die Bauteilsteifigkeit ist ein wichtiges Kriterium bei der Auslegung von Konstruktionen, auch bei komplexen Strukturen wie z. B. [[Fahrgestell | Fahrzeugchassis]], [[Tragfläche | Flugzeugflügel]] usw., und insbesondere im [[Leichtbau]]<ref>Frank Henning, Elvira Moeller: ''Handbuch Leichtbau''. 2. Aufl. Carl Hanser Verlag, München 2020. ISBN 978-3-446-45638-9. [https://www.hanser-kundencenter.de/fachbuch/artikel/9783446456389]</ref> und bei der beanspruchungsgerechten Gestaltung.<ref>[[Gustav Niemann]], Hans Winter, Bernd-Robert Höhn, Karsten Stahl: ''Gestaltung – Formgebung''. In: ''Maschinenelemente'', Band 1. 5. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2019. ISBN 978-3-662-55481-4. [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-55482-1_2].</ref> Sie hängt von der Werkstoffsteifigkeit und der Bauteilgeometrie inkl. Art der Lagerung ab und ist definiert als Verhältnis zwischen der Belastung <math>F</math> des Bauteils und der zugehörigen Verformung <math>v</math>:

:<math>c = \frac {F}{v}.</math>

Die Bauteilsteifigkeit eines Stabes mit einem durchgehend gleichen Profil ergibt sich aus der Profilsteifigkeit und der Länge des Profils. Steifigkeiten komplexerer Formen lassen sich nur numerisch berechnen und hängen von den mindestens zwei Kraftangriffspunkten ab. Für jede Kombination von Kraftangriffspunkten kann pro Kraftangriffspunkt eine Steifigkeit in Form einer Federsteifigkeit berechnet werden.

=== Federsteifigkeit ===
[[Datei:Federkennlinien-2.png|mini|hochkant=1.3|Federsteifigkeit: Federcharakteristiken]]
Federsteifigkeit bezeichnet die Bauteilsteifigkeit von [[Feder (Technik)|Federn]], d. h. von Bauelementen unterschiedlichster Geometrie, deren Funktion ein definiertes Steifigkeitsverhalten mit elastischem Rückstellungsvermögen verlangt.<ref>Frank Engelmann, Thomas Guthmann: ''Maschinenelemente kompakt.'' Springer Verlag, Berlin 2019. Kap. 9: ''Federn.'' ISBN 978-3-662-57954-1. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57955-8]</ref> Diese Federcharakteristik, dargestellt durch die Federkennlinie im Last-Verformungs-Diagramm, kann je nach Art der Federn und eventueller Federkombinationen [[Lineare Gleichung | linear]], progressiv, degressiv oder geknickt sein.<ref>Herbert Wittel et al.: ''Roloff / Matek Maschinenelemente.'' 24. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2019. Kap. 10: ''Federn.'' ISBN 978-3-658-26279-2. [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-26280-8]</ref>
Die positionsspezifische Federsteifigkeit wird beschrieben durch die [[Federkonstante | Federrate]], d. h. die Steigung der Federkennlinie als [[Differentialquotient]]. Dieser hat bei [[Translation (Physik) | translatorisch]] wirkenden Federn mit der Kraft <math>F</math> und dem Weg <math>s</math> die Form

:<math>c = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}s}</math>

in der üblichen Einheit N/mm. Bei linearer Federcharakteristik ist die Federrate konstant, sie wird zur [[Federkonstante | Federkonstanten]]

:<math>c = \frac{F}{s}.</math>

Bei [[Rotation (Physik) | rotatorisch]] wirkenden Federn (Drehfedern) haben die Federrate bzw. die Federkonstante mit den entsprechenden Größen Drehmoment <math>M</math> und Verdrehwinkel <math>\phi</math> üblicherweise die Einheit N·mm/rad.

=== Verwindungssteifigkeit ===
[[Datei:Verwindung-1.png|mini|hochkant=1.3|Verwindung eines Rechteckrahmens unter der Wirkung zweier Kräftepaare]]
Als Verwindungssteifigkeit wird der Widerstand bezeichnet, den ein Bauteil, z. B. [[Fahrgestell]]rahmen, [[Schiffsschale]], [[Flugzeugrumpf]] u. dgl. oder Sportgeräte wie [[Ski]]er, [[Surfbrett]]er, [[Snowboard]]s usw., einer Beanspruchung durch Torsions- und Biegemomente entgegensetzt.

=== Bettungssteifigkeit ===
[[Bettung]]ssteifigkeit ist der Widerstand einer elastisch nachgiebigen Unterlage gegenüber der Verformung unter Oberflächenbelastung durch einen aufliegenden Körper. Bei linear-elastischem Verhalten der Unterlage ist die lokale Einsenkung <math>w(x,y)</math> dem dort wirkenden Auflagedruck <math>p(x,y)</math> proportional<ref>[[Emil Winkler (Bauingenieur)| Emil Winkler]]: ''Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit mit besonderer Rücksicht auf ihre Anwendung in der Technik.'' Verlag H. Dominicus, Prag 1867.</ref>, mit der Bettungszahl oder Bettungsziffer

:<math>k = \frac{p(x,y)}{w(x,y)}.</math>

als Proportionalitätsfaktor und Steifigkeitsmass der Unterlage. Dieser Ansatz findet z. B. bei der Auslegung von [[Fundament]]en mit elastisch gebetteten [[Balken]] oder [[Platte (Technische Mechanik) | Platten]]<ref>[[Ferdinand Schleicher]]: ''Kreisplatten auf elastischer Unterlage.'' Verlag von Julius Springer, Berlin 1926</ref> Anwendung.

== Siehe auch ==
* [[Nachgiebigkeit (Werkstoffkunde)]]
* [[Elastizitätsmodul]]
* [[Schubmodul]]
* [[Voigtsche Notation #Nachgiebigkeit|Nachgiebigkeitsmatrix als Darstellung der Nachgiebigkeitstensors in der Voigtschen Notation]]
* [[Ringsteifigkeit]]

== Literatur ==
* Norbert Herrlich, Johannes Kunz: ''Kunststoffpraxis. Konstruktion, Band 1/Teil 5/Kap. 8.2: Beanspruchungsgerechtes Konstruieren, Steifigkeit.'' WEKA Media, Augsburg 1999, ISBN 3-8111-5935-6 (Stand März 1999, Loseblatt-Ausgabe in 2 Ordnern + 1 CD-ROM; [https://books.google.de/books?id=79yeup-LpXQC&pg=PT619&dq=Steifigkeit&lr=&client=firefox-a&hl=de#v=onepage&q=Steifigkeit&f=false Google Books])
* Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall: ''Technische Mechanik, Band 2: Elastostatik.'' 14. Aufl. Springer Verlag, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-61861-5.
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht.'' Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 102f.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Werkstoffeigenschaft (Festigkeitslehre)]]
[[Kategorie:Elastostatik]]
[[Kategorie:Technische Mechanik]]

Steifigkeit - Versionsgeschichte

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