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2022-12-16T17:19:30Z

Numerische Verfahren für steife Anfangswertprobleme: typografische Anführungszeichen

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Ein '''steifes Anfangswertproblem''' ist in der [[Liste numerischer Verfahren#Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen|Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen]] ein [[Anfangswertproblem]]
:<math>
y'(t)=f(t,y(t)),\ t\ge t_0,\quad y(t_0)=y_0
</math>
bei dem explizite [[Einschrittverfahren]] oder [[Mehrschrittverfahren]] wegen ihres beschränkten [[Stabilitätsgebiet]]s erhebliche Schwierigkeiten haben.
Dies ist dann der Fall, wenn die Konstante <math>L</math> in der Lipschitzbedingung (vgl. [[Satz von Picard-Lindelöf]])
:<math>
\|f(t,y_1)-f(t,y_2)\|\le L\|y_1-y_2\|
</math>

große Werte <math>L\gg1</math> annimmt, die Lösung <math>y(t)</math> aber recht glatt verläuft.
In diesem Fall könnten numerische Verfahren diese Lösung mit relativ großen Schrittweiten genau approximieren, explizite Verfahren werden aber wegen des beschränkten Stabilitätsgebiets gezwungen, kleine Schrittweiten zu verwenden.
Typischerweise treten steife Anfangswertprobleme bei der numerischen Approximation von [[Parabolische partielle Differentialgleichung|parabolischen partiellen Differentialgleichungen]] nach erfolgter Diskretisierung im Ortsbereich auf. Ein Beispiel ist das [[Crank-Nicolson-Verfahren]], bei dem im Ort eine [[Finite-Differenzen-Methode]] und in Zeitrichtung die implizite [[Trapez-Methode]] eingesetzt wird.

== Beispiel ==
Die Problematik wird mit dem [[Eulersches Polygonzugverfahren|expliziten]] und [[implizites Eulerverfahren|impliziten]] Eulerverfahren und Schrittweite <math>h>0</math> anhand des linearen Anfangswertproblems
:<math>
y'(t)=\lambda\big(y(t)-2\big),\quad y(0)=1,
</math>
mit <math>\lambda=-4</math> erläutert. Die exakte Lösung ist <math>y(t)=2-e^{-4t}</math> und für große <math>t</math> ist die Lösung beinahe konstant, also sehr glatt.

[[Datei:Explicit euler method unstable.png|miniatur|Explizites Euler-Verfahren im Beispiel]]
*Das [[Eulersches Polygonzugverfahren|explizite Eulerverfahren]] berechnet mit <math>y_0=1</math> die Näherungen
:<math>
y_{k+1}=(1+h\lambda)y_k-2h\lambda,\ k=1,2,3,\ldots.
</math> Diese liefern aber nur dann brauchbare Werte, wenn der Betrag des Vorfaktors von <math>y_k</math> kleiner eins ist, <math>|1+h\lambda|<1</math>, hier also für <math>h<1/2</math>. Für <math>h>1/2</math> liegt dagegen das Produkt <math>h\lambda=-4h</math> außerhalb des [[Stabilitätsgebiet]]s, das bei <math>-2</math> endet, siehe [[Eulersches Polygonzugverfahren#Eigenschaften]]. Für solche, zu großen Schrittweiten wachsen die Lösungen unbegrenzt an, vgl. Grafik.

[[Datei:Implicit euler method stable.png|miniatur|Implizites Euler-Verfahren im Beispiel]]
*Das [[implizites Eulerverfahren|implizite Eulerverfahren]] berechnet dagegen von <math>y_0=1</math> ausgehend die Näherungen
:<math>
y_{k+1}=\frac{y_k-2h\lambda}{1-h\lambda},\ k=1,2,3,\ldots.
</math> Für jede positive Schrittweite <math>h</math> ist hier der Vorfaktor von <math>y_k</math>, der Bruch <math>1/(1-h\lambda)<1</math>, da <math>\lambda=-4</math> negativ ist. Denn das [[Stabilitätsgebiet]] des [[implizites Eulerverfahren|impliziten Eulerverfahrens]] umfasst die ganze linke komplexe Halbebene, das Verfahren ist [[A-Stabilität|A-stabil]].

*Die beiden Diagramme zeigen jeweils die exakte Lösung in blau, eine Näherungslösung mit kleiner Schrittweite <math>h=0{,}2</math> in grün und die Näherungslösungen mit <math>h=0{,}52</math> in rot.
Beim [[Eulersches Polygonzugverfahren|expliziten Eulerverfahren]] wachsen die roten Näherungen immer weiter an, während auch diese groben Näherungen beim [[implizites Eulerverfahren|impliziten Eulerverfahren]] in der Nähe der exakten Lösung bleiben.

== Erweiterte Stabilitätsbegriffe ==
Für eine genauere Klassifikation numerischer Verfahren bei steifen Anfangswertproblemen wurden in der Literatur verschiedene Stabilitätsbegriffe eingeführt, die sich in der Regel an unterschiedlichen Testgleichungen orientieren.
Dazu gehören die
#Gleichung von [[Germund Dahlquist|Dahlquist]] <math>y'(t)=\lambda y(t)</math> mit <math>\operatorname{Re}(\lambda) < 0</math>. Ihre Lösungen <math>y(t)=e^{\lambda(t-t_0)}y_0</math> gehen alle gegen null für <math>t\to\infty</math>.
#Prothero-Robinson-Gleichung <math>y'(t)=\lambda\big(y(t)-g(t)\big)+g'(t)</math> mit <math>\operatorname{Re}(\lambda) <0</math> und einer glatten Funktion <math>g(t)</math>. Die Lösung dieser Gleichung ist <math>y(t)=g(t)+e^{\lambda(t-t_0)}(y_0-g(t_0))</math>. Für sehr kleine Realteile <math>\operatorname{Re}(\lambda) \ll-1</math> nähern sich alle Lösungen sehr schnell der Funktion <math>g(t)</math> an.
#Die nichtlineare dissipative Gleichung <math>y'(t)=f\big(t,y(t)\big)</math>, bei der die rechte Seite <math>f</math> eine ''einseitige Lipschitzbedingung'' erfüllt, <math> (y-v)^T\big(f(t,y)-f(t,v)\big)\le\mu\|y-v\|_2^2,\quad y,v\in\R^n.
</math> Im Unterschied zur obigen Lipschitzbedingung sind bei der Konstanten <math>\mu</math> auch negative Werte möglich. Eine Folge der einseitigen Lipschitzbedingung ist, dass für die Differenz von zwei Lösungen <math>y(t),v(t)</math> der Differentialgleichung die Schranke <math>\|y(t)-v(t)\|_2\le e^{\mu(t-t_0)}\|y(t_0)-v(t_0)\|_2</math> gilt, und sich diese für <math>\mu<0</math> und wachsendes <math>t\to\infty</math> also immer weiter annähern.

Bei numerischen Verfahren ist es vorteilhaft, wenn sich die numerischen Approximationen bei Testgleichungen im Wesentlichen so wie die exakten Lösungen verhalten.
Dementsprechend fordert der Begriff
*[[A-Stabilität]], dass Näherungslösungen bei der ersten Testgleichungen gegen Null gehen für <math>t\to\infty</math>,
*[[B-Stabilität]], dass sich zwei Näherungslösungen der dritten Testgleichung mit <math>\mu=0</math> nicht voneinander entfernen für <math>t\to\infty</math>.

Für [[Runge-Kutta-Verfahren|implizite Runge-Kutta-Verfahren]] gibt es mit dem Begriff Algebraische Stabilität ein hinreichendes Kriterium für B-Stabilität.

== Numerische Verfahren für steife Anfangswertprobleme ==
Für steife Anfangswertprobleme sind implizite Verfahren effizienter als explizite (das kann man quasi auch als Definition des Begriffs „steif“ ansehen). Spezielle Klassen sind
*[[Runge-Kutta-Verfahren|implizite Runge-Kutta-Verfahren]]
*[[Rosenbrock-Wanner-Verfahren]]
*[[BDF-Verfahren]]
Da bei impliziten Verfahren die Auflösung der nichtlinearen Gleichungssysteme einen hohen Aufwand erfordert, wurden auch ''linear-implizite'' [[Einschrittverfahren]] entwickelt wie die genannten [[Rosenbrock-Wanner-Verfahren]] (ROW-Methoden).

== Literatur ==
*E. Hairer, G. Wanner: ''Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems'', Springer Verlag
*K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: ''Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen'', Springer Spektrum, 2012.

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Steifes Anfangswertproblem - Versionsgeschichte

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