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2024-02-19T19:38:31Z

Definition nach Le Cam: typo

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Ein '''statistisches Modell''', manchmal auch '''statistischer Raum''' oder '''statistisches Experiment''' genannt, ist ein Begriff aus der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]], dem Teilbereich der [[Statistik]], der sich der Methoden der [[Stochastik]] und [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] bedient. Anschaulich fasst ein statistisches Modell alle Ausgangsinformationen zusammen: Welche Werte können die Daten annehmen, welchen [[Menge (Mathematik)|Mengen]] von Werten soll eine [[Wahrscheinlichkeit]] zugeordnet werden und welche [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e sind möglich beziehungsweise sollen in Betracht gezogen werden?

== Definition ==
Ein statistisches Modell <math> \mathcal E </math> ist ein Tripel <math>\mathcal E= (\mathcal X, \mathcal A, \mathcal P) </math> bestehend aus
* einer Grundmenge <math> \mathcal X </math>, die alle möglichen Ergebnisse eines [[Zufallsexperiment]]s oder einer [[Stichprobenziehung]] enthält,
* einer [[σ-Algebra]] <math> \mathcal A </math> auf der Grundmenge <math> \mathcal X </math> und
* einer Menge <math> \mathcal P </math> von [[Wahrscheinlichkeitsmaß]]en auf <math> (\mathcal X, \mathcal A ) </math>

Oftmals ist es handlicher, die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen als Familie (mit beliebiger Indexmenge) zu notieren, um auf ausgewiesene Elemente leichter zugreifen zu können. Die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen wird dann auch mit <math> (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta} </math> notiert. Dies bedeutet nicht zwangsläufig, dass es sich um ein parametrisches Modell handelt.

== Alternative Definitionen ==
Es existieren mehrere alternative Definitionen eines statistischen Modells, die sich in ihrer Detailliertheit unterscheiden.

Einerseits findet sich die Beschreibung eines statistischen Modells als eine [[Zufallsvariable]] <math> X </math>, die Werte in dem [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] <math> (\mathcal X, \mathcal A ) </math> annimmt entsprechend den Verteilungen aus <math> \mathcal P </math>.<ref> Rüschendorf: ''Mathematische Statistik.'' 2014, S. 18. </ref> Der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum der Zufallsvariable wird nicht näher präzisiert, da er für die Verteilungen nicht relevant ist. Diese Beschreibung macht im Gegensatz zur obigen Beschreibung klarer, dass die Stichproben, also die Elemente aus <math> \mathcal X </math>, als [[Realisierung (Stochastik)|Realisierung]] einer Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung zu sehen sind. Die Menge <math> \mathcal X </math> heißt dann auch [[Stichprobenraum]].

Bei vielen statistischen Anwendungen in der statistischen [[Schätztheorie|Schätz-]] und [[Testtheorie (Statistik)|Testtheorie]] ist <math> X </math> ein [[Zufallsvektor]] <math> X = (X_1,\dots,X_n)</math> von [[unabhängig und identisch verteilt|stochastisch unabhängigen und identisch verteilten]] [[reelle Zufallsvariable|reellen Zufallsvariablen]] <math>X_1,\dots,X_n</math>, die eine [[Zufallsstichprobe]] bilden. Der Stichprobenraum ist dann häufig <math>\R^n</math>.

Andererseits findet sich auch die Beschreibung eines statistischen Modells lediglich als Familie oder Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen <math> \mathcal P </math>.<ref>Czado, Schmidt: ''Mathematische Statistik.'' 2011, S. 39. </ref> Der entsprechende Grundraum ergibt sich dann implizit aus den definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen, die verwendete σ-Algebra ist entsprechend die kanonische Wahl (Potenzmenge im diskreten Fall, [[Borelsche σ-Algebra]] sonst).

=== Definition nach Le Cam ===
[[Lucien Le Cam]] verwendete wie [[David Blackwell]] den Begriff des statistischen Experiments statt des statistischen Modells, definierte dieses aber abstrakter über bestimmte [[Banachverband|Banachverbände]], deren [[Norm (Mathematik)|Norm]] additiv auf dem [[Ordnungskegel|positiven Kegel]] ist, den sogenannten [[Abstrakter L-Raum|abstrakten L-Räumen]]. Le Cam definierte das statistische Modell wie folgt:
:''Ein statistisches Experiment <math>\mathcal{E}</math>, indexiert von einer Menge <math>\Theta</math>, ist eine Abbildung der Form <math>\theta\mapsto P_{\theta}</math> von <math>\Theta</math> in einen abstrakten L-Raum <math>(L,\|\cdot\|)</math>, bestehend aus positiven normierten linearen [[Funktional]]en <math>P_{\theta}</math>, das heißt es gilt <math>\|P_{\theta}\|=1</math> und für alle <math>f\geq 0</math> gilt <math>P_{\theta}f\geq 0</math>.''<ref>{{Literatur|Autor=[[Lucien Le Cam]] |Datum=1986 |Titel=Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory |Sammelwerk=Springer Series in Statistics |Hrsg=Springer, New York |Seiten=5 |DOI=10.1007/978-1-4612-4946-7}}</ref>
Ein statistisches Modell ist somit eine Abbildung auf den nichtnegativen [[Rand (Topologie)|Rand]] des [[Einheitsball]] in einem abstrakten L-Raum.

== Klassifikation statistischer Modelle ==
=== Parametrische und nichtparametrische Modelle ===
Lässt sich die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen über eine Parametermenge, auch Parameterraum genannt, beschreiben, ist also
:<math> \mathcal P = \{P_\vartheta \, | \, \vartheta \in \Theta \} </math>

für eine Parametermenge <math> \Theta \subset \R^n </math>, so spricht man von einem ''parametrischen Modell'', ansonsten von einem ''nichtparametrischen Modell''. Ist <math> \Theta \subset \R </math>, so spricht man von einem ''einparametrigen Modell''.

Die Parameter des Modells können zum Beispiel mit der [[Maximum-Likelihood-Methode]] mithilfe von Stichproben geschätzt werden.

=== Diskrete Modelle ===
Ist <math>\mathcal X </math> endlich oder [[abzählbar unendlich]] und ist <math> \mathcal A = 2^{\mathcal X} </math> die [[Potenzmenge]], so spricht man von einem ''diskreten Modell''. Die Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich dann durch [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]en beschreiben.

=== Stetige Modelle ===
Ist <math>\mathcal X </math> eine [[Borel-Menge]] des <math> \R^n </math> und ist <math> \mathcal A </math> die Einschränkung der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] auf diese Menge, also <math> \mathcal A = \mathcal B (\R^n)|_{\mathcal X} </math> und besitzt jedes der Wahrscheinlichkeitsmaße in <math> \mathcal P </math> eine [[Wahrscheinlichkeitsdichte]], so spricht man von einem ''stetigen Modell''.

=== Standardmodelle ===
Handelt es sich um ein stetiges Modell oder um ein diskretes Modell, so spricht man von einem ''Standardmodell''<ref> Georgii: ''Stochastik.'' 2009, S. 197. </ref>. Bei Standardmodellen existiert also insbesondere eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Manche Autoren nennen diese Modelle auch reguläre Modelle<ref>{{Literatur|Autor=Claudia Czado, Thorsten Schmidt|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-17260-1|Seiten=41|DOI=10.1007/978-3-642-17261-8}} </ref>.

=== Reguläre Modelle ===
{{Hauptartikel|Reguläres statistisches Modell}}
Reguläre statistische Modelle sind einparametrige Standardmodelle, bei denen noch Anforderungen an die Existenz von Ableitungen der Dichtefunktion gestellt werden. Sie werden zur Formulierung der [[Cramér-Rao-Ungleichung]] benötigt.

=== Lokations- und Skalenmodelle ===
Statistische Modelle, deren Verteilungsklasse eine [[Lokationsklasse]] ist, also durch Verschiebung einer einzigen Wahrscheinlichkeitsverteilung entstehen, werden '''Lokationsmodelle''' genannt, ebenso werden statistische Modelle mit [[Skalenfamilie]]n '''Skalenmodell''' genannt.

=== Produktmodelle ===
{{Hauptartikel|Produktmodell (Statistik)}}
Produktmodelle entstehen, wenn man das mehrmalige Produkt eines statistischen Modells mit sich selbst bildet. Sie formalisieren die Vorstellung, dass man einen Versuch mehrmals hintereinander ausführt und die Ergebnisse der Einzelversuche sich nicht gegenseitig beeinflussen. Viele der gängigen Modelle wie das [[Normalverteilungsmodell]] sind Produktmodelle.

== Beispiele ==
Ein Beispiel für ein statistisches Modell ist der Grundraum <math> \mathcal X= \{0,1\}^{100} </math> versehen mit der σ-Algebra <math> \mathcal A = 2^{\mathcal X} </math> und als Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße die Menge
:<math> \mathcal P = \{\operatorname{Bin}_{100,\vartheta}\, | \, \vartheta \in [0,1] \} </math>

aller [[Binomialverteilung]]en mit Parametern 100 und <math> \vartheta </math>. Dieses statistische Modell könnte man beispielsweise wählen, wenn man eine Münze 100-mal wirft und die Anzahl der Erfolge zählt. Diese ist binomialverteilt, aber zu einem unbekannten Parameter, da nicht klar ist, ob die Münze gefälscht ist oder nicht. Es handelt sich bei diesem Modell um ein einparametriges Modell, da <math> \vartheta \in \Theta = [0,1] \subset \R </math> ist. Außerdem ist es ein diskretes Modell, da die Grundmenge endlich ist und die σ-Algebra durch die Potenzmenge definiert wird. Damit ist es auch automatisch ein Standardmodell. Die Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen
:<math> \mathcal P = \{ P \, | \, P \text{ ist W-Maß auf } (\mathcal X, \mathcal A) \} </math>,

ergibt hingegen ein nichtparametrisches Modell.

== Verwendungsarten statischer Modelle ==
Prinzipiell lassen sich zwei Ansätze bei der Erstellung statistischer Modelle unterscheiden:<ref>Breiman, Leo. ''Statistical modeling: The two cultures (with comments and a rejoinder by the author)''. Statistical science, 16.3 (2001): 199–231, [https://projecteuclid.org/journals/statistical-science/volume-16/issue-3/Statistical-Modeling--The-Two-Cultures-with-comments-and-a/10.1214/ss/1009213726.full online]</ref>
* bei der ersten Gruppe von Methoden werden zunächst generierende stochastische Modelle angenommen,
* in der anderen werden die Modelle algorithmisch als [[Black Box (Systemtheorie)|Black Box]] erstellt und ihre prädiktive Genauigkeit analysiert.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Ludger Rüschendorf|Titel=Mathematische Statistik|Verlag=Springer Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-41996-6|DOI=10.1007/978-3-642-41997-3}}
* {{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7|DOI=10.1515/9783110215274}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Statistik]]

Statistisches Modell - Versionsgeschichte

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