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'''Statische Bestimmtheit''' ist ein Begriff der [[Statik (Mechanik)|Statik]]. Er charakterisiert die [[Lager (Statik)|Lagerung]] ruhender [[Körper (Physik)|Körper]] und den inneren Aufbau von Körpersystemen wie z. B. [[Fachwerk]]e sowie die Lösbarkeit der mit ihr verbundenen [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsaufgabe]] mit den Mitteln der [[Starrkörpermechanik]].<ref name="Timoshenko">[[Stephen P. Timoshenko]], Donovan H. Young: ''Engineering Mechanics.'' 4th Ed. McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo, 1956.</ref><ref name="Kurrer">[[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik.'' 2. Aufl. Wilhelm Ernst & Sohn Berlin, 2016.</ref>

Lagerungen können grundsätzlich statisch ''bestimmt'', ''un''bestimmt oder ''über''bestimmt sein.
Die statische Bestimmtheit ist bei der Konzipierung von Konstruktionen von Bedeutung, vor allem in der [[Baustatik]], in der [[Maschinenbau|Maschinentechnik]] und im [[Apparatebau]]. Statisch bestimmt gelagerte Körper bzw. statisch bestimmte Körpersysteme ertragen geometrische Einflüsse wie [[Wärmedehnung]]en, kleine Lagerverschiebungen, Herstellungs- und Montageungenauigkeiten usw. ohne [[Zwängung]]en und damit verbundene Kräfte, wie dies z. B. für [[Brücke]]n und andere [[Tragwerk (Bauwesen)|Tragwerke]] wesentlich sein kann.

== Statische Bestimmtheit und Lagerung ==
[[Datei:Stat bestimmtheit-determinante.png|mini|Statische Bestimmtheit: Determinante]]

=== Statisch bestimmte Lagerung ===
''Statisch bestimmt'' ist die Lagerung eines Körpers, wenn die unbekannten [[Lagerreaktion]]en ([[Kraft|Kräfte]] und [[Drehmoment|Momente]]) mit den [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]]s-Bedingungen ''allein'' berechnet oder mit den Mitteln der graphischen Statik bestimmt werden können.<ref name="Föppl">[[August Föppl]]: ''Vorlesungen über Technische Mechanik, Zweiter Band: Graphische Statik''. Verlag von B. G. Teubner Leipzig, 1900.</ref><ref name="Egerer">Heinz Egerer: ''Ingenieur-Mechanik.'' Verlag von Julius Springer Berlin, 1919.</ref><ref name="Szabó">[[István Szabó (Ingenieur)|István Szabó]]: ''Einführung in die Technische Mechanik.'' 8. Aufl., Springer Verlag Berlin, 1975. S. 32.</ref> Eine statisch bestimmte Lagerung ist bewegungs[[Geometrie|geometrisch]] eindeutig und damit auch ''[[Kinematik|kinematisch]] bestimmt''.<ref name="Föppl"/><ref name="Gross">Dietmar Gross, Werner Hauger, [[Jörg Schröder (Bauingenieur)|Jörg Schröder]], Wolfgang A. Wall: ''Technische Mechanik 1''. 14. Aufl., Springer Verlag Berlin, 2019.</ref> Dies bedeutet, dass die Lagerung jeden der [[Freiheitsgrad|Bewegungsfreiheitsgrade]] des Körpers genau einmal einschränkt. Bei räumlichen Problemen sind es 6 Freiheitsgrade (je 3 [[Translation (Physik)|Translationen]] und [[Rotation (Physik)|Rotationen]]), bei ebenen Problemen sind es 3 Freiheitsgrade (2 Translationen, 1 Rotation). Die einzelnen Lager tragen zu dieser entsprechend ihrer [[Lager (Statik)|Wertigkeit]] mit Lagerreaktionen (Kräften und/oder Momenten) bei.<ref name="Gross"/><ref name="Dankert">Jürgen Dankert, Helga Dankert: ''Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik''. 7. Aufl., Springer Verlag Berlin, 2013.</ref> Die Wertigkeit drückt die Anzahl Freiheitsgrade aus, die durch das betreffende Lager eingeschränkt werden.
Jede Einschränkung eines Freiheitsgrades wird mathematisch durch eine entsprechende [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsbedingung]] ausgedrückt. Diese verknüpfen die als bekannt geltenden äußeren Belastungen (Kräfte und Momente) mit den unbekannten Lagerreaktionen und bilden ein lineares, homogenes [[lineares Gleichungssystem|Gleichungssystem]]. Statische Bestimmtheit verlangt als notwendige und hinreichende Bedingung, dass die [[Lineares Gleichungssystem|Koeffizientenmatrix]] der unbekannten Lagerreaktionen quadratisch ist, und dass ihre [[Determinante]] ungleich Null ist. Dies trifft zu, wenn die [[Gleichgewichtsbedingung]]en voneinander [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind.<ref name="Föppl"/><ref name="Dankert"/><ref name="Marguerre">Kurt Marguerre: ''Technische Mechanik, Erster Teil: Statik.'' Heidelberger Taschenbücher Band 20. Springer Verlag Berlin, 1967.</ref>

=== {{Anker|Statisch unbestimmte Lagerung}}Statisch unbestimmte Lagerung ===
Schränkt die Lagerung einzelne Freiheitsgrade mehrfach ein, so enthält das Gleichungssystem mehr unbekannte Lagerreaktionen als Gleichgewichtsbedingungen; es ist mit letzteren allein nicht lösbar. Die Lagerung ist somit ''statisch unbestimmt''<ref>Beate Bender, Dietmar Gählich (Hrsg.): ''Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau 1: Grundlagen und Tabellen.'' 26. Aufl., Springer Vieweg Verlag Wiesbaden, 2020.</ref>, aber wegen der Überzahl an bewegungsgeometrischen Bedingungen gleichzeitig auch ''geometrisch bzw. kinematisch überbestimmt''.<ref name="Föppl"/><ref name="Flügge">[[Wilhelm Flügge]]: ''Festigkeitslehre''. Springer Verlag Berlin, 1967.</ref> In solchen Fällen kann der Zusammenhang zwischen Belastung und Verformung des Körpers weitere Gleichungen liefern.<ref name="Gross"></ref><ref name="Flügge"/><ref name="Ziegler">[[Hans Ziegler (Physiker)|Hans Ziegler]]: ''Mechanik I – Statik der starren und flüssigen Körper sowie Festigkeitslehre''. 4. Aufl., Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1962.</ref>

Aus einem statisch unbestimmt gelagerten Körper kann durch geeignete Unterteilung und Verbindung mittels Gelenken ein statisch bestimmtes Körpersystem erzeugt werden. Jedes eingefügte Gelenk erhöht den Freiheitsgrad bei ebenen Problemen um 1 bzw. bei räumlichen Problemen je nach Art des Gelenks um 1 bis 3. Einfache Beispiele hierfür sind der [[Gerberträger]] und der [[Dreigelenkbogen]].
Auch mit jedem [[Plastizität (Physik)|plastischen]] [[Fließgelenk|Dreh- oder Verschiebungsgelenk]] wird der Grad der statischen Unbestimmtheit eines Körpers reduziert. Dies wird beim [[Traglast]]verfahren<ref name="Kurrer"/> ausgenutzt, um die maximale [[Dimensionierung|Belastbarkeit]] eines Tragwerks bis zum Erreichen eines verschieblichen, also statisch überbestimmten Systems zu ermitteln.<ref name="Winkler">Johannes Winkler, Horst Aurich: ''Taschenbuch der Technischen Mechanik.'' 8. Aufl., Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag München, 2006.</ref>

Bei einer statisch unbestimmten Lagerung können die elastischen Bauteilverformungen reduziert werden, und eine Beeinträchtigung der Lagerung führt nicht zwingend zum vollständigen Funktionsausfall.<ref name="Winkler"/>
Bei der Auslegung statisch unbestimmter Körper und Systeme sind die [[Beanspruchung]]en bzw. Zwängsspannungen zu berücksichtigen, die von geometrischen Einflüssen wie Wärmedehnungen, [[Schwindung]]en, kleinen Lagerverschiebungen, Herstellungs- und Montageungenauigkeiten usw. hervorgerufen werden.

=== Statisch überbestimmte Lagerung ===
Sind umgekehrt einzelne Freiheitsgrade nicht eingeschränkt, bestehen mehr Gleichgewichtsbedingungen als unbekannte statische Größen. Dann ist die Lagerung ''statisch überbestimmt'' bzw. ''kinematisch unbestimmt''.<ref name="Gross"/> In diesem Fall ist das [[Gleichgewicht (Systemtheorie)|Kräftegleichgewicht]] je nach den Gegebenheiten labil oder indifferent. Eine solche Situation liegt bei Bauteilen vor, deren Funktion eine bestimmte Beweglichkeit verlangt, z. B. die Rotation um die Körperachse bei einer [[Antriebswelle]] oder die freie Drehbarkeit eines [[Turmkran|Turmdrehkrans]] um die vertikale Achse bei Betriebsruhe, um das Schwenken in die Windrichtung zu ermöglichen. Ansonsten aber sind statisch überbestimmte, also verschiebliche Systeme für die Aufnahme statischer Kräfte ungeeignet.<ref name="Göldner">[[Hans Göldner]]: ''Leitfaden der Technischen Mechanik''. 2. Aufl., VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1967.</ref><ref name="Assmann">Bruno Assmann: ''Technische Mechanik, Band 1: Statik''. 16. Aufl., Oldenbourg Verlag München Wien, 2002.</ref>

=== Beurteilung ===
In einfacheren Fällen kann mit technischem Sachverstand die statische Bestimmtheit durch eine qualitative, anschauliche Betrachtung beurteilt werden. Statisch bestimmte Konstruktionen lassen sich zwangsfrei zu einem unbeweglichen System aufbauen. Zur Beurteilung der statischen Bestimmtheit eines Körpers oder eines Körpersystems können auch geeignete Abzählformeln hilfreich sein. Zusätzlich zur statischen Bestimmtheit ist es sinnvoll, auch die technische Brauchbarkeit bzw. Tauglichkeit zu betrachten. Nicht jede statisch bestimmte Konstruktion ist zugleich brauchbar.

Um die Begriffe ''statisch unbestimmt'' und ''statisch überbestimmt'' bzw. ''kinematisch überbestimmt'' und ''kinematisch unbestimmt'' ist in jüngerer Zeit einige Verwirrung entstanden, indem sie entgegen ihrer klassischen Definition im deutschsprachigen Schrifttum vereinzelt auch umgekehrt<ref>Peter Selke: ''Statik''. De Gruyter Verlag Berlin, 2018.</ref> oder vermischt gehandhabt werden.<ref name ="Dankert"/>

==== Grad der statischen Bestimmtheit ====
[[Datei:Stat bestimmtheit-beispiele.png|mini|Statische Bestimmtheit: Beispiele]]
Ein wichtiges Beurteilungskriterium ist der ''Grad der statischen Bestimmtheit''<ref name="Stüssi">[[Fritz Stüssi (Bauingenieur)|Fritz Stüssi]]: ''Baustatik II''. Springer Verlag Basel 1954.</ref> bzw. etwas weniger allgemein ''Grad der statischen Unbestimmtheit''<ref name="Göldner"/><ref name="Assmann"/>. Er charakterisiert die Lagerung eines Körpers oder Körpersystems sowie dessen innerer Aufbau quantitativ. Diese ganzzahlige Kenngröße <math>n</math> besteht beim einzelnen Körper aus der Differenz zwischen der Zahl <math>r</math> unbekannter statischer Größen (Lagerreaktionen) und der Anzahl <math>f</math> Gleichgewichtsbedingungen:

:<math>n=r-f</math>

Aus kinematischer Sicht bedeuten <math>f</math> der Freiheitsgrad des frei beweglichen Körpers und <math>r</math> die Anzahl konstruktionsseitig eingeschränkter Freiheitsgrade.

:<math>n = 0</math>: statisch und kinematisch bestimmt, sofern jeder Freiheitsgrad genau einmal eingeschränkt ist,

:<math>n > 0</math>: n-fach statisch unbestimmt bzw. kinematisch überbestimmt,

:<math>n < 0</math>: n-fach statisch überbestimmt bzw. kinematisch unbestimmt, d. h. verschieblich.

In der Literatur wird die rechte Seite der obigen Formel und damit der Grad der statischen Bestimmtheit jedoch auch mit vertauschten Vorzeichen dargestellt.<ref name="Kunz">Johannes Kunz: ''Statische Bestimmtheit – alles klar?'' Konstruktion 76(2024)6/7, S. 49–53</ref>

[[Datei:Statische Bestimmtheit - Gelenkeinbau.png|mini|Statisch bestimmt dank eingebautem Gelenk]]
Die Bedingung <math>n = 0</math> ist für die statische Bestimmtheit notwendig, aber nicht hinreichend. Denn es ist möglich, dass einzelne Freiheitsgrade nicht eingeschränkt sind, andere aber mehrfach. Dann ist die Koeffizientendeterminante der Gleichgewichtsbedingungen Null, und die Lagerung ist weder statisch noch kinematisch bestimmt.
Jedes eingebaute einfache Gelenk erhöht den Freiheitsgrad um eine Rotation bei ebenen Problemen, um drei Rotationen bei räumlichen Problemen. Mit geeignet angebrachten Gelenken können statisch unbestimmte Probleme statisch bestimmt gemacht werden, wie z. B. beim [[Dreigelenkbogen]] oder beim [[Gerberträger|Gelenkträger]].

== Statische Bestimmtheit von Körpersystemen ==
Die statische Bestimmtheit eines Systems, das aus mehreren, untereinander verbundenen Körpern besteht, z. B. ein [[Fachwerk]], resultiert aus der Lagerung des Systems als Ganzes und aus seinem inneren Aufbau. Letzterer umfasst die einzelnen Teile des Systems wie [[Scheibe (Technische Mechanik)|Scheiben]], [[Stab (Statik)|Stäbe]] usw. sowie deren [[Verbindungstechnik|Verbindungen]] untereinander in Form von [[Knoten (Statik)|Knoten]], Gelenken, Schiebehülsen und dgl.<ref name="Gross"/> Die Lösbarkeit der Gleichgewichtsaufgabe des Systems setzt voraus, dass diese Verbindungen als reibungsfrei angenommen werden.
Bei Körpersystemen ist zwischen der äußeren und der inneren statischen Bestimmtheit zu unterscheiden<ref name="Ziegler"/>. Körpersysteme können äußerlich und innerlich statisch bestimmt oder unbestimmt sein. Ist ein System innerlich aber statisch überbestimmt bzw. kinematisch unbestimmt, wie z. B. ein [[Dreigelenkbogen]], bedarf es für das eindeutige Kräftegleichgewicht einer entsprechend statisch unbestimmten äußeren Lagerung.
Die statische Bestimmtheit eines Systems verlangt, dass die Summe von äußerer und innerer statischer Bestimmtheit <math>n_a</math> bzw. <math>n_i</math> verschwindet:
:<math>n=n_{a}+n_{i}=0</math>
Da diese Bedingung notwendig, aber nicht hinreichend ist, bedarf es für die Feststellung der statischen Bestimmtheit einer zusätzlichen Beurteilung des Systems. Ein äußerlich statisch unbestimmtes System kann insgesamt statisch bestimmt sein, wenn es entsprechend innerlich statisch überbestimmt ist. Ein System kann je nach Betriebszustand unterschiedliche statische Bestimmtheitsgrade annehmen, wie z. B. ein zweiachsiger Wagen auf horizontaler Unterlage. Sind beide Achsen fest gebremst, ist der Wagen äußerlich statisch unbestimmt, bei gelösten Bremsen ist er statisch überbestimmt. Statisch bestimmt ist er, wenn nur eine Achse fest gebremst ist.
=== Äußere statische Bestimmtheit ===
''Äußerlich statisch bestimmt'' ist das Körpersystem, wenn es nach dem [[Erstarrungsprinzip]] als Ganzes mit seiner Lagerung die Bedingungen der statischen Bestimmtheit wie ein Einzelkörper erfüllt (siehe oben).
=== Innere statische Bestimmtheit ===
''Innerlich statisch bestimmt'' ist das Körpersystem, wenn es in sich selbst und ohne äußere Lagerung ein zwangsfrei aufbaubares, stabiles Ganzes bildet. Dann erfüllt jeder nach dem Zerlegungs- bzw. [[Schnittprinzip]] freigemachte, als starr betrachtete Teilkörper und jedes Verbindungsglied für sich die Gleichgewichtsbedingungen.<ref name="Ziegler"/><ref name="Göldner"/>
==== Grad der inneren statischen Bestimmtheit ====
Der Grad der inneren statischen Bestimmtheit ergibt sich aus der Gesamtzahl <math>s</math> an Stäben und der Gesamtzahl <math>k</math> an Knoten für ebene Systeme aus der Beziehung
:<math>n_{i}=3+s-2 \cdot k</math>
und für räumliche Systeme aus
:<math>n_{i}=6+s-3 \cdot k</math>
Es handelt sich im Wesentlichen um den Vergleich der Anzahl <math>s</math> unbekannter Stabkräfte mit der Anzahl Gleichgewichtsbedingungen an den <math>k</math> Knoten, nämlich 2 pro Knoten in ebenen und 3 in räumlichen Systemen. <math>n_{i}=0</math> ist das System innerlich statisch bestimmt, sofern es sich zwangsfrei zu einer unbeweglichen Konstruktion aufbauen lässt. Andernfalls liegt ein Grenz- oder Spezialfall vor.<ref name="Egerer"/> Bei <math>n_{i}>0</math> ist es innerlich <math>n_{i}</math>-fach statisch unbestimmt, bei <math>n_{i}<0</math> innerlich <math>n_{i}</math>-fach statisch überbestimmt. Letztere Systeme, die eine gewisse Verschieblichkeit aufweisen und für die reine Statik keine Bedeutung haben, werden auch etwa als ''Mechanismus'' bezeichnet.<ref name="Göldner"/>
[[Datei:Statische Bestimmtheit - Stabäquivalente.png|mini|Stabäqivalente von ebenen Scheiben und Biegestäben]]
Diese Abzählformeln sind aus den Bildungsgesetzen der Fachwerktheorie<ref name="Föppl"/> abgeleitet, gelten aber nicht nur für Fachwerke. Sie lassen sich auf beliebige Körpersysteme anwenden, wenn die einzelnen Teilkörper wie Scheiben oder Biegestäbe mit ihren Stabäquivalenten eingesetzt werden.<ref name="Göldner"/><ref name="Kunz"/> Als Stabäquivalent wird die Anzahl an Stäben bezeichnet, die für den Ersatz des betreffenden Körpers durch ein innerlich statisch bestimmtes Stabwerk erforderlich sind.

[[Datei:Statische Bestimmtheit - Gelenkwertigkeit.png|mini|Gelenke mit der Anzahl unbekannter Kraftkomponenten (Wertigkeit)]]
Eine andere Betrachtungsweise vergleicht die Anzahl Gleichgewichtsbedingungen an den <math>s</math> Stäben mit der Anzahl <math>v</math> unbekannter Verbindungskräfte an den Knoten<ref name="Göldner"></ref> mit der Abzählformel
:<math>n_{i}=3+v-3 \cdot s</math>
für ebene Systeme und
:<math>n_{i}=6+v-6 \cdot s</math> bzw. <math>n_{i}=6+v-5 \cdot s</math>
für räumliche Systeme.
Pro Stab gibt es 3 Gleichgewichtsbedingungen bei ebenen und 6 bei räumlichen Systemen, bzw. 5, wenn die Rotation der Stäbe um ihre eigene Achse entfällt. Zu beachten ist, dass Biegestäbe, Scheiben usw. wie Stäbe nur einfach gezählt werden. An einem Gelenkknoten treten bei der Verbindung zweier Stäbe bei ebenen Problemen 2, bei räumlichen Problemen 3 unbekannte Kraftkomponenten auf, pro weiteren angebundenen Stab kommen nochmal so viel dazu. Die Zahl <math>v_i</math> unbekannter Verbindungskräfte (Wertigkeit) am <math>i</math>-ten Knoten mit <math>q_i</math> gelenkig angebundenen Stäben beträgt damit <math>v_i = 2 \cdot (q_i-1)</math> bei ebenen und <math>v_i = 3\cdot (q_i-1)</math> bei räumlichen Problemen.

[[Datei:Statische Bestimmtheit - Statischer Bestimmheitsgrad.png|mini|Ermittlung des statischen Bestimmtheitsgrades durch Anbringen virtueller Gelenke]]Bei einem statisch unbestimmten System kann der Grad der statischen Bestimmtheit durch schrittweises Entfernen von Bindungen bzw. Anbringen virtueller Gelenke ermittelt werden, so dass ein statisch bestimmtes Grundsystem entsteht.<ref name="Stüssi"/>
Umgekehrt kann man von einem statisch bestimmten Grundsystem ausgehen, wie z. B. einem Träger auf zwei Stützen, einem Kragarm, einem Dreigelenkrahmen, einem Fachwerk aus drei gelenkig miteinander verbundenen Stäben o. ä., und durch Ergänzen bzw. Entfernen von Bindungswertigkeiten/Lagerreaktionen das gewünschte System aufbauen.<ref name="pichler2016baustatik">{{Literatur |Autor=Bernhard Pichler, [[Josef Eberhardsteiner]] |Hrsg=E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen – Fakultät Bauingenieurwesen, TU Wien |Titel=Baustatik VO – LVA-Nr. 202.065 |Auflage=SS 2016 |Verlag=TU Verlag |Ort=Wien |Datum=2016 |ISBN=978-3-903024-17-5 |Kapitel=Drehwinkelverfahren}}</ref>

Beispiel:
Bei einem System ist der Grad der statischen Unbestimmtheit gesucht.
Es wird ein (ähnliches) statisch bestimmtes Grundsystem gewählt und anschließend statisch bestimmte Kragarme hinzugefügt.
Man fügt Bindungen und Lagerreaktionen hinzu (bzw. bei kinematischen Systemen entfernt sie) und zählt ihre Wertigkeit zusammen.
<gallery mode="packed-hover">
Statically indeterminate.png|Statisch unbestimmtes System mit Freiheitsgrad ''n'' > 0
Aufbaukriterium Step1.png|Statisch bestimmtes Grundsystem
Aufbaukriterium Step2.png|Statisch bestimmtes Grundsystem mit Kragarmen
Aufbaukriterium Step3.png|Man fügt 7 Lagewertigkeiten hinzu.
</gallery>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=N. Hinrichs
|Titel=Keine Panik vor Mechanik!
|Verlag=Springer
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0646-8
|Online={{Google Buch|BuchID=mOGDjxwew8IC}}}}
* {{Literatur
|Autor=C. Spura
|Titel=Technische Mechanik 1. Stereostatik
|Verlag=Springer
|Datum=2016
|ISBN=978-3-658-14984-0}}
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht'', Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6, S. 32 ff.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statik]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

Statische Bestimmtheit - Versionsgeschichte

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