imported>Aka: /* Quantile */ Tippfehler entfernt

2025-10-17T11:55:43Z

Neue Seite

[[Bild:Phi 0 1 thumb.png|mini|Graph der halbseitigen Kurve von Φ<sub>0;1</sub>(''z'')]]

Da sich das [[Integralrechnung|Integral]] der [[Normalverteilung]]

:<math>F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math>

nicht auf eine elementare [[Stammfunktion]] zurückführen lässt, wird für die Berechnung meist auf Tabellen zurückgegriffen. Diese gelten aber nicht für beliebige <math>\mu</math>- und <math>\sigma</math>-Werte, sondern nur für die [[Standardisierung (Statistik)|standardisierte]] Form der Normalverteilung, bei der jeweils <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma=1</math> ist (man spricht auch von einer ''0-1-Normalverteilung'', ''Standardnormalverteilung'' oder ''normierten Normalverteilung''). Trotzdem ist die Tabelle auch für beliebige <math>\mu</math>-<math>\sigma</math>-Normalverteilungen nützlich, da sich diese auf sehr einfache Weise in eine 0-1 Verteilung überführen lassen.
Die folgende '''Tabelle der Standardnormalverteilung''' berechnet sich demnach durch
:<math>\Phi_{0;1}(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt </math>
(weil <math>\mu=0</math> und <math>\sigma=1</math>) für <math>z\in\R</math>.

== Flächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung ==
:<math>\Phi_{0;1}(z)\,</math> →

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|-class="hintergrundfarbe6"
|| '''z'''
|align="center"|'''0'''
|align="center"|'''0,01'''
|align="center"|'''0,02'''
|align="center"|'''0,03'''
|align="center"|'''0,04'''
|align="center"|'''0,05'''
|align="center"|'''0,06'''
|align="center"|'''0,07'''
|align="center"|'''0,08'''
|align="center"|'''0,09'''
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,0'''
|0,50000||0,50399||0,50798||0,51197||0,51595||0,51994||0,52392||0,52790||0,53188||0,53586
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,1'''||0,53983||0,54380||0,54776||0,55172||0,55567||0,55962||0,56356||0,56749||0,57142||0,57535
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,2'''||0,57926||0,58317||0,58706||0,59095||0,59483||0,59871||0,60257||0,60642||0,61026||0,61409
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,3'''||0,61791||0,62172||0,62552||0,62930||0,63307||0,63683||0,64058||0,64431||0,64803||0,65173
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,4'''||0,65542||0,65910||0,66276||0,66640||0,67003||0,67364||0,67724||0,68082||0,68439||0,68793
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,5'''||0,69146||0,69497||0,69847||0,70194||0,70540||0,70884||0,71226||0,71566||0,71904||0,72240
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,6'''||0,72575||0,72907||0,73237||0,73565||0,73891||0,74215||0,74537||0,74857||0,75175||0,75490
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,7'''||0,75804||0,76115||0,76424||0,76730||0,77035||0,77337||0,77637||0,77935||0,78230||0,78524
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,8'''||0,78814||0,79103||0,79389||0,79673||0,79955||0,80234||0,80511||0,80785||0,81057||0,81327
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''0,9'''||0,81594||0,81859||0,82121||0,82381||0,82639||0,82894||0,83147||0,83398||0,83646||0,83891
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,0'''||0,84134||0,84375||0,84614||0,84849||0,85083||0,85314||0,85543||0,85769||0,85993||0,86214
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,1'''||0,86433||0,86650||0,86864||0,87076||0,87286||0,87493||0,87698||0,87900||0,88100||0,88298
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,2'''||0,88493||0,88686||0,88877||0,89065||0,89251||0,89435||0,89617||0,89796||0,89973||0,90147
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,3'''||0,90320||0,90490||0,90658||0,90824||0,90988||0,91149||0,91309||0,91466||0,91621||0,91774
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,4'''||0,91924||0,92073||0,92220||0,92364||0,92507||0,92647||0,92785||0,92922||0,93056||0,93189
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,5'''||0,93319||0,93448||0,93574||0,93699||0,93822||0,93943||0,94062||0,94179||0,94295||0,94408
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,6'''||0,94520||0,94630||0,94738||0,94845||0,94950||0,95053||0,95154||0,95254||0,95352||0,95449
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,7'''||0,95543||0,95637||0,95728||0,95818||0,95907||0,95994||0,96080||0,96164||0,96246||0,96327
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,8'''||0,96407||0,96485||0,96562||0,96638||0,96712||0,96784||0,96856||0,96926||0,96995||0,97062
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''1,9'''||0,97128||0,97193||0,97257||0,97320||0,97381||0,97441||0,97500||0,97558||0,97615||0,97670
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,0'''||0,97725||0,97778||0,97831||0,97882||0,97932||0,97982||0,98030||0,98077||0,98124||0,98169
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,1'''||0,98214||0,98257||0,98300||0,98341||0,98382||0,98422||0,98461||0,98500||0,98537||0,98574
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,2'''||0,98610||0,98645||0,98679||0,98713||0,98745||0,98778||0,98809||0,98840||0,98870||0,98899
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,3'''||0,98928||0,98956||0,98983||0,99010||0,99036||0,99061||0,99086||0,99111||0,99134||0,99158
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,4'''||0,99180||0,99202||0,99224||0,99245||0,99266||0,99286||0,99305||0,99324||0,99343||0,99361
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,5'''||0,99379||0,99396||0,99413||0,99430||0,99446||0,99461||0,99477||0,99492||0,99506||0,99520
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,6'''||0,99534||0,99547||0,99560||0,99573||0,99585||0,99598||0,99609||0,99621||0,99632||0,99643
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,7'''||0,99653||0,99664||0,99674||0,99683||0,99693||0,99702||0,99711||0,99720||0,99728||0,99736
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,8'''||0,99744||0,99752||0,99760||0,99767||0,99774||0,99781||0,99788||0,99795||0,99801||0,99807
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''2,9'''||0,99813||0,99819||0,99825||0,99831||0,99836||0,99841||0,99846||0,99851||0,99856||0,99861
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,0'''||0,99865||0,99869||0,99874||0,99878||0,99882||0,99886||0,99889||0,99893||0,99896||0,99900
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,1'''||0,99903||0,99906||0,99910||0,99913||0,99916||0,99918||0,99921||0,99924||0,99926||0,99929
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,2'''||0,99931||0,99934||0,99936||0,99938||0,99940||0,99942||0,99944||0,99946||0,99948||0,99950
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,3'''||0,99952||0,99953||0,99955||0,99957||0,99958||0,99960||0,99961||0,99962||0,99964||0,99965
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,4'''||0,99966||0,99968||0,99969||0,99970||0,99971||0,99972||0,99973||0,99974||0,99975||0,99976
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,5'''||0,99977||0,99978||0,99978||0,99979||0,99980||0,99981||0,99981||0,99982||0,99983||0,99983
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,6'''||0,99984||0,99985||0,99985||0,99986||0,99986||0,99987||0,99987||0,99988||0,99988||0,99989
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,7'''||0,99989||0,99990||0,99990||0,99990||0,99991||0,99991||0,99992||0,99992||0,99992||0,99992
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,8'''||0,99993||0,99993||0,99993||0,99994||0,99994||0,99994||0,99994||0,99995||0,99995||0,99995
|-class="hintergrundfarbe1"
|class="hintergrundfarbe6"|'''3,9'''||0,99995||0,99995||0,99996||0,99996||0,99996||0,99996||0,99996||0,99996||0,99997||0,99997
|-class="hintergrundfarbe5"
|class="hintergrundfarbe6"|'''4,0'''||0,99997||0,99997||0,99997||0,99997||0,99997||0,99997||0,99998||0,99998||0,99998||0,99998
|}

''Anmerkung:'' Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, da <math>\Phi(-z)=1-\Phi(z)</math> ist.

== Arbeiten mit der Tabelle ==
Aus der Tabelle kann die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>\Phi(z)</math> für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges <math>\Phi(-z)=1-\Phi(z)</math> (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von <math>z</math> zu finden.

Ist nun die Wahrscheinlichkeit <math>\Phi(z)</math> für Werte von <math>z</math> im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] von 0 bis 4,09 gesucht, so steht <math>z</math> bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort, wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen, steht die Wahrscheinlichkeit <math>\Phi(z)</math>.

Übersteigt <math>z</math> die Grenze von 4,09, dann gilt
:<math>\Phi(z) \approx 1</math>, für <math>z > 4{,}09.</math>

Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige <math>z</math> gesucht ist. Hier kann derjenige Wert <math>\Phi(z)</math> angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man <math>z</math> aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0,90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0,90658 (entspricht einem <math>z</math> von 1,32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0,90824 (wobei dieser ein <math>z</math> von 1,33 ergäbe). Das genauere Ergebnis für <math>z</math> von 1,321 erhält man durch die übliche (lineare) Interpolation, die hier ergibt (0,90670 - 0,90658) / (0,90824 - 0,90658) = 12/166, was rund 0,1 ist. Um diese 0,1 der Differenz von 1,32 und 1,33, also um 0,001, ist damit der untere Wert 1,32 auf 1,321 zu erhöhen.

''Anmerkung:'' Wurde eine beliebige <math>\mu</math>-<math>\sigma</math>-Normalverteilung in die Standardnormalverteilung [[Standardisierung (Statistik)|transformiert]], so muss die in der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit ''nicht'' mehr rücktransformiert werden, da eine ''flächengleiche'' Transformation vorliegt. (Wurde hingegen <math>z</math> aus der Tabelle ermittelt, so muss die Grenze <math>x</math> noch durch <math>x=z\sigma+\mu</math> berechnet werden.)

== Beispielrechnung ==
Gegeben sei eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> von 5 und der Standardabweichung <math>\sigma</math> von 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die [[Zufallsvariable]] <math>X</math> zwischen den Werten <math> x_1 = 3</math> und <math> x_2 =7</math> liegt.

Betrachtet man die Gaußsche Glockenkurve, dann ist dies die Fläche unter dem Graphen der [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichte]]

:<math>f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,
e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>, mit <math> \mu=5 </math> und <math> \sigma=2 </math>,
welche durch <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> begrenzt wird.

Um die Wahrscheinlichkeit berechnen zu können, muss die zu dieser Wahrscheinlichkeitsdichte gehörige [[Verteilungsfunktion]]
:<math> F(x) = \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm dt</math>
transformiert werden (siehe ''[[Normalverteilung#Definition|Normalverteilung § Definition]]''). Durch die Transformation wird die Kurve mit dem Erwartungswert <math>\mu</math> und der Standardabweichung <math>\sigma</math> verschoben und gestaucht (bzw. gestreckt), sodass sie einer 0-1-Normalverteilung entspricht. Dabei verschieben sich aber auch die Grenzen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>; ebenfalls wird die Zufallsvariable <math>X</math> transformiert.

Dies geschieht durch
:<math>z=\frac{x-\mu}{\sigma}</math> bzw. <math>Z= \frac {X-\mu}{\sigma}.</math>
(Das heißt, bei der eigentlichen Berechnung müssen die Transformationsschritte der Verteilungsfunktion nicht durchgerechnet werden; sie dienen nur dem Verständnis, wie die z-Formel zustande kommt.)

Am Beispiel gezeigt:
:<math>\begin{align}
P(3 \leq X \leq 7) &=\\
&= P\left(\frac {x_1-\mu}{\sigma} \leq Z= \frac {X-\mu}{\sigma} \leq \frac {x_2-\mu}{\sigma}\right)\\
&= P(-1 \leq Z \leq 1)\\
&= P(Z \leq 1) - P (Z \leq -1)\\
&= \Phi(1) - \Phi(-1).
\end{align}</math>

Während man nun den Wert für <math>\Phi(1)</math> einfach aus der Tabelle bestimmen kann, muss man sich für <math>\Phi(-1)</math> überlegen, dass die gesuchte Fläche (bzw. Wahrscheinlichkeit) sich von <math>-\infty</math> bis zur Grenze −1 erstreckt. Durch die Symmetrie der Glockenkurve ist dies allerdings derselbe Wert wie von +1 bis <math>\infty</math>. Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also <math>\Phi(+1)</math> abgezogen, das heißt
:<math>\Phi(-1)=1-\Phi(1).</math>

Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich
:<math>\begin{align}
\Phi(1) - \Phi(-1) &= \Phi(1)-(1-\Phi(1))\\
&= 2 \Phi(1) -1\qquad\Phi(1)\text{ der Tabelle entnehmen}\\
&= 2 \cdot 0{,}84134 -1\\
&= 0{,}68268,
\end{align}</math>
das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent.

== Quantile ==
In statistischen Anwendungen, z. B. im Rahmen von [[Statistischer Test|Hypothesentests]] zum Auffinden [[Kritischer Wert (Statistik)|kritischer Werte]], stellt sich oft auch die Frage: Welchen Wert hat das <math>q</math>-[[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantil]] <math>z_q</math>, wann also gilt <math>\Phi(z_q)=q</math>?

Sucht man z. B. das 97,5-%-Quantil <math>z_{0{,}975}</math>, d. h. <math>\Phi(z_{0{,}975})=0{,}975</math>, dann ergibt sich laut nebenstehender Tabelle <math>z_{0{,}975} \approx 1{,}959960 \approx 1{,}96</math> (gerundet auf sechs bzw. auf zwei Nachkommastellen).

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="border-collapse:collapse;"
|- class="hintergrundfarbe6" align="right"
! <math>q</math>
| 0,750
| 0,800
| 0,900
| 0,950
| 0,975
| 0,990
| 0,995
|- align="right"
! <math>z_q</math>
| 0,674490
| 0,841621
| 1,281550
| 1,644850
| 1,959960
| 2,326350
| 2,575830
|}

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Hans-Otto Georgii|Titel=Stochastik|TitelErg=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|Auflage=4.|Verlag=Walter de Gruyter|Ort=Berlin|Jahr=2009|ISBN=978-3-11-021526-7|DOI=10.1515/9783110215274}}
*{{Literatur|Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=1.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2003|ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Tabelle Standardnormalverteilung}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Standardnormalverteilungstabelle - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Quantile */ Tippfehler entfernt