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2025-07-25T03:46:47Z

Basis allgemein: Form (Kursivsetzung für eingeführte Begriffe)

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{{Dieser Artikel|behandelt kanonische Basen in bestimmten Vektorräumen, für das Konzept aus der Theorie der Polynomideale siehe [[Gröbnerbasis]].}}
Als '''Standardbasis''', '''natürliche Basis''', '''Einheitsbasis''' oder '''kanonische Basis''' (von griech. ''κανονικός'' ''(kanonikós)'' „regelmäßig“) bezeichnet man im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine spezielle [[Basis (Vektorraum)|Basis]], die in gewissen [[Vektorraum|Vektorräumen]] bereits aufgrund ihrer Konstruktion unter allen möglichen Basen ausgezeichnet ist.

== Basis allgemein ==

{{Hauptartikel|Basis (Vektorraum)}}

Allgemein ist eine Basis eines Vektorraums eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Vektoren mit der Eigenschaft, dass sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche [[Linearkombination]] dieser darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die ''Koordinaten'' des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt ''Basisvektor''.

Jeder Vektorraum hat eine Basis, im Allgemeinen sogar zahlreiche Basen, unter denen jedoch keine ausgezeichnet ist.

=== Beispiele ===

* Die [[Parallelverschiebung]]en der Anschauungsebene bilden einen Vektorraum (''siehe'' [[Euklidischer Raum]]) der [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] zwei. Es ist jedoch keine Basis ausgezeichnet. Eine mögliche Basis bestünde etwa aus der „Verschiebung um eine Einheit nach rechts“ und der „Verschiebung um eine Einheit nach oben“. Hierbei sind „Einheit“, „rechts“ und „oben“ aber Konventionen bzw. anschauungsabhängig.
* Diejenigen reellwertigen [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f\colon \R\to\R</math>, die zweimal [[differenzierbar]] sind und für alle <math>x \in \R</math> die Gleichung <math>f(x)+f''(x)=0</matH> erfüllen, bilden einen reellen Vektorraum <math> V</math> der Dimension zwei. Eine mögliche Basis wird von der [[Sinus]]- sowie der [[Kosinus|Cosinus]]-Funktion gebildet. Diese Basis zu wählen, mag zwar naheliegen, sie ist jedoch nicht besonders vor anderen Auswahlen ausgezeichnet.

== Standardbasis in den Standardräumen ==
[[Datei:Unit vectors qtl2.svg|miniatur|Standardbasisvektoren in der euklidischen Ebene]]

Die meist als erstes eingeführten Vektorräume sind die [[Standardraum|Standardräume]] <math>\R^n</math> mit <math>n\in\N</math>.
Elemente des <math>\R^n</math> sind alle <math>n</math>-[[Tupel]] [[reelle Zahl|reeller]] Zahlen.
Man kann unter allen Basen des <math>\R^n</math> diejenige auszeichnen, bezüglich der die Koordinaten eines Vektors genau mit seinen Tupel-Komponenten übereinstimmen. Diese Basis besteht also aus <math>e_1, \ldots, e_n</math> wobei
:<math>\begin{matrix}
e_1&=&(1,0,0,\ldots,0),\\
e_2&=&(0,1,0,\ldots,0),\\
&\vdots&\\
e_n&=&(0,0,0,\ldots,1)
\end{matrix}</math>
und wird als die ''Standardbasis'' des <math>\R^n</math> bezeichnet.

Dasselbe gilt für den Vektorraum <math>K^n</math> über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>, das heißt auch hier gibt es die Standard-Basisvektoren <math>e_1=(1,0,\ldots,0), \ldots, e_n=(0,\ldots,0,1)</math>.

=== Beispiel ===

Die Standardbasis des <math>\R^2</math> besteht aus <math>e_1=(1,0)</math> und <math>e_2=(0,1)</math>. Die beiden oben als Beispiel aufgeführten Vektorräume sind zwar [[isomorph]] zu <math>\R^2</math>, besitzen jedoch keine Standardbasis. Infolgedessen ist auch unter den Isomorphismen zwischen diesen Räumen und <math>\R^2</math> keiner ausgezeichnet.

=== Bezeichnung ===

Die Bezeichnung <math>e_1, e_2, \ldots</math> für die Standard-Basisvektoren ist weit verbreitet.
Die drei Standard-Basisvektoren des dreidimensionalen Vektorraums <math>\R^3</math> werden in den angewandten Naturwissenschaften jedoch manchmal mit <math>\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k}</math> bezeichnet:

:<math>
\mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad
\mathbf{j} = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad
\mathbf{k} = e_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
</math>

=== Weitere Eigenschaften ===

Der <math>\R^n</math> hat über die Vektorraum-Eigenschaft hinaus noch weitere Eigenschaften. Auch hinsichtlich dieser erfüllen die Standard-Basisvektoren oft besondere Bedingungen. So ist die Standardbasis eine [[Orthonormalbasis]] bezüglich des [[Standardskalarprodukt]]s.

== Standardbasis im Matrizenraum ==

Auch die Menge der [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] über einem Körper <math>K^{m \times n}</math> bildet mit der [[Matrizenaddition]] und der [[Skalarmultiplikation]] einen Vektorraum. Die Standardbasis in diesem [[Matrizenraum]] wird durch die [[Standardmatrix|Standardmatrizen]] <math>E_{ij}</math> gebildet, bei denen genau ein Eintrag gleich eins und alle anderen Einträge gleich null sind. Beispielsweise bilden die vier Matrizen

:<math>E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

die Standardbasis des Raums der <math>(2 \times 2)</math>-Matrizen.

== Standardbasis in unendlichdimensionalen Räumen ==

Ist <math>K</matH> ein Körper und <math>M</math> eine beliebige (insb. möglicherweise unendliche) Menge, so bilden die endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen aus <math>M</math> einen Vektorraum. Dann ist <math>M</math> selbst Basis dieses Vektorraumes und wird als dessen Standardbasis bezeichnet.

Anstelle formaler Linearkombinationen betrachtet man auch alternativ den Vektorraum derjenigen Abbildungen <math>f \colon M\to K</math> mit der Eigenschaft, dass <math>f(x)=0</math> für [[fast alle]] <math>x \in M</math> gilt.
Zu <math>m\in M</math> sei <math>e_m\colon M\to K</math> die durch
:<math>e_m(x)=\begin{cases}1,&\text{falls } x=m\\ 0,&\text{falls } x\ne m\end{cases}</math>
gegebene Abbildung <math>M\to K</math>.
Dann bildet die Familie <math>\{e_m\}_{m \in M}</math> eine Basis des Vektorraums, die in diesem Fall ebenfalls als die Standardbasis bezeichnet wird.

Der Vektorraum ''aller'' Abbildungen <math>f \colon M\to K</math> besitzt hingegen, sofern <math>M</math> unendlich ist, keine Standardbasis.

Auch [[Polynomring]]e über Körpern sind Vektorräume, in denen eine Basis bereits unmittelbar aufgrund der Konstruktion ausgezeichnet ist. So sind die Elemente des Polynomringes <math>\R[X]</math> definitionsgemäß die endlichen Linearkombinationen der Monome <math>1,</math> <math>X,</math> <math>X^2,</math> <math>X^3 </math> usw., die demnach eine Basis – die Standardbasis – von <math>\R[X]</math> bilden.

== Zusammenhang mit universellen Eigenschaften ==

Der Begriff ''kanonisch'' wird allgemein bei Konstruktionen über eine [[universelle Eigenschaft]] verwendet.
So ergibt sich auch ein Zusammenhang zwischen Standardbasen und folgender Konstruktion:

Sei <math>K</math> ein Körper und <math>M</math> eine beliebige Menge.
Gesucht ist ein <math>K</math>-Vektorraum <math>U</math> zusammen mit einer Abbildung <math>f\colon M\to U</math> in dessen zugrunde liegende Menge, so dass zu jedem <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> und jeder Abbildung <math>g\colon M\to X</math> genau eine [[lineare Abbildung]] <math>h\colon U\to X</math> existiert mit <math>g=h\circ f</math>.
In solch einem Paar <math>(U,f)</math> wird dann <math>f</math> als ''kanonische Abbildung'' oder ''[[universelle Lösung]]'' von <math>M</math> bezüglich des [[Vergissfunktor]]s, der jedem <math>K</math>-Vektorraum die zugrundeliegende Menge zuordnet, bezeichnet.

Die oben angegebenen Vektorräume mit Standardbasis haben genau diese universelle Eigenschaft. Das Bild von <math>M</math> unter der kanonischen Abbildung sind genau die Vektoren der kanonischen Basis bzw. die kanonische Abbildung als Familie aufgefasst ''ist'' die kanonische Basis.

Daraus, dass stets eine solche universelle Lösung existiert, folgt bereits, dass eine Abbildung, die jeder Menge <math>M</math> eine solche universelle Lösung <math>U</math> und jedem <math>g</math> ein solches <math>h</math> zuordnet, ein [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] ist, der [[linksadjungiert]] zum Vergissfunktor ist. Ein solcher Funktor heißt ''[[freier Funktor]]''.

== Literatur ==

* Kowalsky und Michler: ''Lineare Algebra'', Gruyter, ISBN 978-3-11-017963-7
* Albrecht Beutelspacher: ''„Das ist o.B.d.A. trivial!“'' 9. aktualisierte Auflage, Vieweg + Teubner, Braunschweig und Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0771-7, s. v. „Kanonisch“

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Standardbasis - Versionsgeschichte

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