imported>KenntnisseSchüler am 18. März 2026 um 10:10 Uhr

2026-03-18T10:10:00Z

Neue Seite

Eine '''Stammfunktion''' oder ein '''unbestimmtes Integral''' ist eine mathematische [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die man in der [[Differentialrechnung]], einem Teilgebiet der [[Analysis]], untersucht. Es kann je nach Kontext erforderlich sein, zwischen diesen beiden Begriffen zu unterscheiden.

== Definition ==
Unter einer Stammfunktion einer [[Reelle Zahl|reellen]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon D \to \R</math> versteht man eine [[Differentialrechnung|differenzierbare]] Funktion <math>F\colon D \to \R,</math> deren Ableitungsfunktion <math>F'</math> mit <math>f</math> übereinstimmt. Damit <math>F</math> Stammfunktion von <math>f</math> ist, muss also gelten:
*<math>F</math> ist auf <math>D</math> definiert,
*<math>F</math> ist differenzierbar,
*Es gilt <math>F'(x)=f(x)</math> an jeder Stelle <math>x \in D</math>.

Stimmt <math>F'</math> zumindest auf einer Menge <math>M \subseteq D</math> mit <math>f</math> überein, so heißt <math>F</math> ''Stammfunktion von <math>f</math> auf <math>M</math>''.

== Existenz und Eindeutigkeit ==
Jede auf einem Intervall <math>I</math> [[stetige Funktion]] <math>f\colon I\to\R</math> besitzt eine Stammfunktion. Nach dem [[Fundamentalsatz der Analysis|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] ist nämlich für jedes <math>a\in I</math> die [[Integralrechnung#Stammfunktionen und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Integralfunktion]]
:<math>x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t</math>
eine Stammfunktion von <math>f</math>.

Ist <math>f</math> auf jedem kompakten Intervall <math>[a,b] \subseteq I</math> integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den [[Unstetigkeitsstelle|Unstetigkeitsstellen]] von <math>f</math> nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. Notwendig für die Existenz einer Stammfunktion ist, dass die Funktion den [[Zwischenwertsatz]] erfüllt. Dies folgt aus dem [[Zwischenwertsatz#Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)|Zwischenwertsatz für Ableitungen]].

Besitzt eine Funktion <math>f</math> eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>, so ist für jede beliebige [[reelle Zahl]] <math>C</math> auch die durch <math>G(x) = F(x)+C</math> definierte Funktion <math>G</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>. Ist der Definitionsbereich von <math>f</math> ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen: Sind <math>F</math> und <math>G</math> zwei Stammfunktionen von <math>f</math>, so ist <math>G - F</math> konstant.
Ist der Definitionsbereich von <math>f</math> kein Intervall, so ist die Differenz zweier Stammfunktionen von <math>f</math> nicht notwendigerweise konstant, aber [[Lokal konstante Funktion|lokal konstant]], das heißt, konstant auf jeder zusammenhängenden Teilmenge des Definitionsbereichs.

== Unbestimmtes Integral ==
Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral <math>\textstyle \int f(x)\,\mathrm{d}x</math> von <math>f</math> als Synonym für eine Stammfunktion verstanden.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6, Kap. 76.</ref> Das Problem dieser Definition ist, dass die Zuordnung <math>f \mapsto \textstyle \int f(x) \,\mathrm{d} x</math> nicht eindeutig ist, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion <math>f</math> abgebildet werden soll. Da die [[Parameter (Mathematik)|Konstante]], um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck <math>\textstyle \int f(x)\,\mathrm{d}x</math> als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren.<ref>[[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 201</ref> Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte [[Äquivalenzklasse]]n sind.

Eine etwas weniger geläufige Methode, das unbestimmte Integral zu definieren, besteht darin, es als Integralfunktion
:<math>x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm dt</math>
aufzufassen.<ref>[[Otto Forster]]: ''Analysis'' Band 1: ''Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen.'' Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 201.</ref> Aufgrund des [[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung]] ist diese Zuordnung für jede stetige Funktion <math>f</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>. Erweitert man diese Definition auf [[Lebesgue-Integral]]e über beliebigen Maßräumen, so ist das unbestimmte Integral im Allgemeinen keine Stammfunktion mehr.<ref>I. P. Natanson: ''Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen.'' Verlag Harry Deutscher Thun, 1981 Frankfurt am Main, ISBN 3-87144-217-8, S. 408.</ref>

== Beispiele ==
* Eine Stammfunktion der [[Ganzrationale Funktion|Polynomfunktion]] <math>x^3 + 5 x + 6</math> ist beispielsweise <math>\tfrac{1}{4} x^4 + \tfrac{5}{2} x^2 + 6x + 3</math>. Die Konstante <math>3</math> wurde dabei frei gewählt, in diesem Fall erhält man diese Stammfunktion durch Umkehrung elementarer Ableitungsregeln.
* Betrachtet man die Funktion <br /><math style="margin-left:2em">
\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & x < 0 \\ 1 & x \geq 0, \end{cases}
</math><br /> dann gilt <math>\textstyle \int_0^x \operatorname{sgn}(t)\, \mathrm{d} t = |x|</math>. Die Abbildung <math>x\mapsto |x|</math> ist auf <math>\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}</math> eine Stammfunktion von <math>\operatorname{sgn}</math>, nicht jedoch auf ganz <math>\mathbb{R}</math>, denn <math>|x|</math> ist an der Stelle <math>x = 0</math> nicht differenzierbar.

== Anwendung ==
Ist <math>f</math> eine auf dem [[Abgeschlossenes Intervall|abgeschlossenen Intervall]] <math>[a,b]</math> [[Stetige Funktion|stetige]] (oder allgemeiner [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbare]]<ref>Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: ''dtv-Atlas zur Mathematik.'' Band 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1977, ISBN 3-423-03008-9, S. 333.</ref>) Funktion, so lässt sich mit Hilfe einer beliebigen Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> das [[Integralrechnung|bestimmte Integral]] von <math>f</math> über <math>[a,b]</math> berechnen:

:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = F(b)-F(a).</math>

Stammfunktionen können daher für verschiedene Berechnungen verwendet werden, z. B.
* für das Bestimmen der [[Flächeninhalt|Größe einer Fläche]], die von [[Funktionsgraph]]en begrenzt wird;
* [[Volumen]]berechnung für [[Rotationskörper]].

== Abgeschlossenheit – Integrationsregeln ==
Für das Differenzieren gibt es einfache Regeln. Dagegen ist die Situation beim unbestimmten Integrieren ganz anders, da einerseits die Operation des unbestimmten Integrierens zu einer Erweiterung vorgegebener Funktionsklassen führt, z. B. ist das Integrieren innerhalb der Klasse der rationalen Funktionen nicht abgeschlossen und führt auf die Funktionen <math>\ln</math> und <math>\arctan</math>. Auch die Klasse der so genannten [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] ist nicht abgeschlossen. So hat [[Joseph Liouville]] bewiesen, dass die einfache Funktion <math>f(x) = e^{-x^2}</math> keine elementare Stammfunktion besitzt. Auch die elementare Funktion <math>f(x) = \tfrac1{\ln x}</math> besitzt keine elementare Stammfunktion. Dagegen ist <math>\textstyle \int\tfrac{\ln x}{x}\,\mathrm dx = \tfrac12\ln^2 x</math>.

Andererseits gibt es keine allgemeine Regel zur Bestimmung von Stammfunktionen, weshalb Stammfunktionen in sogenannten [[Integraltafel]]n tabelliert werden. [[Computeralgebrasystem]]e (CAS) sind heute in der Lage, fast alle bisher tabellierten Integrale zu berechnen. Der [[Risch-Algorithmus]] löst das Problem der [[Algebraische Integration|algebraischen Integration]] elementarer Funktionen und kann entscheiden, ob eine elementare Stammfunktion existiert.

== Stammfunktionen für komplexe Funktionen ==
Der Begriff der Stammfunktion lässt sich auch für [[Komplexe Zahl|komplexe]] Funktionen formulieren. Weil die Ableitung einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist <math>D\subseteq\Complex</math> ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]], <math>f\colon D\to\Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_0\in D</math>, dann gibt es eine Umgebung <math>U</math> von <math>z_0</math> in <math>D</math> und eine Stammfunktion <math>F\colon U\to\Complex</math> von <math>f|U</math>, d. h. <math>F'(z)=f(z)</math> für alle <math>z\in U</math>.

Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz <math>D</math> hängt mit topologischen Eigenschaften von <math>D</math> zusammen.

Für eine holomorphe Funktion <math>f\colon D\to\Complex</math> mit <math>D</math> offen und zusammenhängend sind folgende Aussagen äquivalent:
# Die Funktion <math>f</math> hat eine Stammfunktion <math>F</math> auf ganz <math>D</math>, das heißt, <math>F</math> ist holomorph und <math>f</math> ist die komplexe Ableitung von <math>F</math>.
# [[Kurvenintegral#Komplexe Wegintegrale|Wegintegrale]] über <math>f</math> hängen nur von den Endpunkten des Weges ab.
# Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0.

Für ein [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>D\subseteq\Complex</math> sind äquivalent:
# Jede holomorphe Funktion <math>f\colon D\to\Complex</math> hat eine Stammfunktion <math>F</math>.
# Jeder stetige, geschlossene Weg <math>\gamma\colon[0,1]\to D</math> ist [[nullhomotop]].
# Jeder stetige, geschlossene Weg <math>\gamma\colon[0,1]\to D</math> ist [[nullhomolog]].
# <math>D</math> ist [[einfach zusammenhängend]].

== Siehe auch ==
* [[Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen]]
* [[Faltung (Mathematik)#Ableitungsregel|Faltung]], für eine Methode zur Interpretation und zum Finden von Stammfunktionen.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://integrals.wolfram.com/index.jsp The Integrator] – Berechnung von Stammfunktionen online
* [http://matheguru.com/rechner/integrieren/ Integralrechner mit Rechenweg] – Berechnung von Stammfunktionen mit Rechenweg und schrittweiser Erklärung
* [https://www.geogebra.org/search/%20integralfunktion Applet zur Integralfunktion] – interaktive Arbeitsblätter mit Lösungen zur Visualisierung des Begriffs der Integralfunktion
* {{TIBAV |9907 |Linktext=Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Hauptsatz |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/9907}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analysis]]

Stammfunktion - Versionsgeschichte

imported>KenntnisseSchüler am 18. März 2026 um 10:10 Uhr