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Der '''Stammbruch''' ist ein Begriff aus der [[Mathematik]] und bezeichnet einen [[Bruchrechnung|Bruch]] mit einer 1 im Zähler und einer beliebigen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] im Nenner.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=Stammbruch |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Band=5 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53505-9 |Seiten=84}}</ref> Somit sind Stammbrüche die [[Kehrwert|Kehrwerte]] natürlicher Zahlen. Beispielsweise sind <math>\tfrac{1}{2}</math> und <math>\tfrac{1}{6}</math> Stammbrüche, während <math>\tfrac{2}{3}</math> kein Stammbruch ist.

== Stammbruchentwicklung ==

Jeder Bruch der Form <math>\tfrac{a}{b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a, b</math> kann als Summe von Stammbrüchen (und einer natürlichen Zahl, falls <math>a>b</math>) dargestellt werden. Zum Beispiel lässt sich <math>\tfrac{2}{3}</math> schreiben als
:<math>\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}</math>.

Ein Verfahren zur ''Stammbruchentwicklung'' besteht darin, zunächst den ganzzahligen Anteil abzuziehen und dann jeweils den größten Stammbruch, der kleinergleich dem Rest ist (man spricht von einem [[Greedy-Algorithmus]]).<ref name="Walz_Stammbruchsummen">{{Literatur |Autor= |Titel=Stammbruchsummen |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Band=5 |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-53505-9 |Seiten=84}}</ref>

=== Verfahren ===

Mit diesem Verfahren wird ein [[Bruchrechnung#Echte und unechte Brüche|echter]] [[gekürzter Bruch]] in eine Summe von Stammbrüchen zerlegt,
wobei alle Stammbrüche verschiedene Nenner haben:

Gegeben sei ein echter, schon gekürzter Bruch: <math>\tfrac{a}{b}</math> mit <math>a<b</math>.

;1. Schritt: Bilde den neuen Bruch <math>\tfrac{c}{d}</math>, wobei gilt: <math>c=a</math> und <math>d=n \cdot a \; > b \; , n \in \mathbb{N}</math> und <math>n</math> minimal, d. h.,
:der neue Zähler ist gleich dem alten Zähler, und der neue Nenner ist gleich dem kleinsten Vielfachen des alten Zählers, das größer als der alte Nenner ist.
:Der neue Bruch lässt sich aufgrund der Bildungsvorschrift immer zum Stammbruch <math>\tfrac{1}{n}</math> kürzen.
;2. Schritt: Es gilt also <math>\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} \; + \; \tfrac{a}{b} \; - \; \tfrac{c}{d}</math> mit <math>\tfrac{c}{d} = \tfrac{1}{n}</math> .
;3. Schritt: Berechne die Differenz <math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d} + ( \tfrac{a}{b} - \tfrac{c}{d} ) = \tfrac{1}{n} + \tfrac{na - b}{nb}</math> .
;4. Schritt: Wenn möglich, kürze die Differenz <math>\tfrac{na - b}{nb}</math>.
;5. Schritt: Brich das Verfahren ab, falls die Differenz <math>\tfrac{na - b}{nb}</math> ein Stammbruch ist, sonst wiederhole Schritt 1 bis 4 für die Differenz <math>\tfrac{na - b}{nb}</math>.

=== Beispiel ===
Es wird eine Stammbruchentwicklung für <math>\tfrac{2}{3}</math> angegeben:

# Schritt: Neuer Bruch: <math>\frac{2}{4}</math>
# Schritt: <math>\frac{2}{3} = \frac{2}{4} + \frac{2}{3} - \frac{2}{4}</math>
# Schritt: <math>\frac{2}{3} = \frac{2}{4} + \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{4} \right) = \frac{1}{2} + \frac{2}{12}</math>
# Schritt: <math>\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}</math>
# Schritt: Das Verfahren bricht ab, da die Differenz <math>\frac{1}{6}</math> bereits ein Stammbruch ist.

Dieses Verfahren endet stets nach endlich vielen Schritten. Es liefert jedoch nicht immer die kürzestmögliche Darstellung als Summe von Stammbrüchen. Zum Beispiel liefert dieses Verfahren die Darstellung
:<math>\frac{59}{120} = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{65} + \frac{1}{10920}</math>,
es gibt aber die kürzere Darstellung
:<math>\frac{59}{120} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}</math>

== Geschichte ==
Die alten [[Altes Ägypten|Ägypter]] notierten nur echte Brüche. Da sie außer für <math>\tfrac{2}{3}</math> und <math>\tfrac{3}{4}</math> Hieroglyphen nur für Stammbrüche hatten, mussten sie alle anderen Brüche in Summen von Stammbrüchen zerlegen (''siehe auch'' [[Ägyptische Zahlschrift]]).<ref name="Alten13">{{Literatur |Autor=[[Heinz-Wilhelm Alten]] |Titel=4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen |Verlag=Springer |Ort=Berlin u. a. |Datum=2003 |ISBN=3-540-43554-9 |Seiten=13}}</ref>

[[Leonardo Fibonacci]] veröffentlichte den obigen Algorithmus im ''[[Liber abaci]]'' ([[1202]]).<ref name="Walz_Stammbruchsummen" /> Der Beweis zur allgemeinen Gültigkeit des Algorithmus gelang erst [[1880]] dem britischen Mathematiker [[James Joseph Sylvester]].

== Weitere Vorkommen ==
Ein ungelöstes mathematisches Problem im Zusammenhang mit der Stammbruchentwicklung ist die [[Erdős-Straus-Vermutung]].

Manche statistisch erfassten Größen sind proportional zu Stammbrüchen verteilt; dies stellt eine [[Zipfsches Gesetz#Einfache Zipfverteilung|einfache Zipfverteilung]] dar.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Bruchrechnung]]

Stammbruch - Versionsgeschichte

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