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2026-04-22T08:55:15Z

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'''Spurpunkt''' ist ein Begriff der [[Analytische Geometrie|analytischen]] und der [[Darstellende Geometrie|darstellenden Geometrie]]. Er bezeichnet die [[Schnittpunkt]]e von [[Gerade]]n und [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> mit den [[Koordinatenebene]]n bzw. [[Koordinatenachse|-achsen]].

== Spurpunkte einer Geraden ==
[[Datei:01 Spurpunkte einer Geraden.svg|mini|hochkant=1.6|Die Gerade <math>g{:}\;\overline{x}=(3|2|-4)+ t(4|3|-2)</math> generiert drei Spurpunkte: <math>S_{xy}(-5|-4|0)</math>, <math>S_{yz}(0|-0.25|-2.5)</math> und <math>S_{xz}(0.\overline{3}|0|-2\overline{6})</math>]]

Als Spurpunkte einer Geraden im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> werden die Schnittpunkte der Gerade mit den Koordinatenebenen bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67811-4 |Seiten=245 |Abruf=}}</ref> Der Punkt, an dem die Gerade die x-y-Grundebene mit der Gleichung <math>z=0</math> durchdringt, wird häufig mit <math>S_{xy}</math> bezeichnet, analog sind die Spurpunkte <math>S_{xz}</math> und <math>S_{yz}</math> definiert. Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunkt mit einer Koordinatenebene ist, dass die Gerade nicht [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu dieser Ebene verläuft.<ref>{{Internetquelle |autor=Institut Computational Mathematics der Technischen Universität Braunschweig |url=http://www.icm.tu-bs.de/~beick/vorl/dageo10/dageo.pdf |titel=Spurpunkte und Fluchtpunkte |werk=Darstellende Geometrie für Architekten und Bauingenieure. Skript und Präsenzübungen. WS 2010/11 |seiten=10 |zugriff=2016-08-20 |format=PDF}}</ref> Folglich kann eine Gerade Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenebene haben, je nachdem ob sie parallel zu keiner, zwei oder einer Koordinatenebene verläuft.

=== Berechnung ===
Ist die Gerade in [[Parameterform]] gegeben, <math>g \colon \ \vec x = \vec p + t \vec u </math>, so lassen sich die Koordinaten der Spurpunkte schnell ausrechnen: Bei jedem Spurpunkt ist eine Komponente null, was auf eine lineare Gleichung mit dem Parameter <math>s</math> als Unbekannte führt. Durch Auflösen und Einsetzen in die Geradengleichung erhält man dann den entsprechenden Spurpunkt.

Ist die Gerade beispielsweise gegeben durch<ref>{{Literatur |Autor=Heinz Rapp |Titel=Mathematik für die Fachschule Technik: Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung |Verlag=Springer Verlag |Ort=Heidelberg/Berlin |Datum=2010 |ISBN=978-3-8348-0914-8 |Seiten=451 |Online={{Google Buch|BuchID=6Ez4nHYbxnYC| Seite = 451}}}}</ref>

:<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} </math>

und der Spurpunkt <math>S_{xy}</math> gesucht, so setzt man zunächst die <math>z</math>-Komponente null. Dies führt auf die Gleichung <math>0=-4 -2 t</math>, welche die Lösung <math>t = - 2</math> hat.
Einsetzen von <math>t=-2 </math> in die Parametergleichung liefert dann den [[Ortsvektor]] bzw. die Koordinaten von <math>S_{xy}</math> als <math>(-5\mid-4\mid0)</math>.

== Spurpunkte einer Ebene ==
[[Datei:01 Spurpunkte einer Ebene.svg|mini|hochkant=0.9|Die Ebene <math>6 x + 4 y - 3 z = 12</math> generiert drei Spurpunkte: <math>S_x(2|0|0)</math>, <math>S_y(0|3|0)</math> und <math>S_z(0|0|-4)</math>]]

Die Spurpunkte einer Ebene im dreidimensionalen Raum <math>\R^3</math> sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.<ref>{{Literatur |Autor=Jörg Stark |Titel=Training Intensiv Mathematik: Analytische Geometrie und Lineare Algebra mit Lern-Videos online |Verlag=[[Pons-Verlag]] |Ort=Stuttgart |Datum=2013 |ISBN=978-3-12-949193-5 |Seiten=37 |Online={{Google Buch|BuchID=ZW5jCAAAQBAJ| Seite = 37}}}}</ref> Sie werden häufig mit <math>S_x, S_y, S_z</math> bezeichnet, wobei der Index jeweils die durchschnittene Koordinatenachse angibt. Voraussetzung für die Existenz eines Spurpunktes mit einer der Koordinatenachsen ist, dass sie nicht parallel zu einer der Koordinatenebenen verläuft.<ref>{{Literatur |Autor=Cornelie Leopold |Titel=Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung |Verlag=Springer Verlag |Ort=Heidelberg/Berlin |Datum=2011 |ISBN=978-3-8348-1986-4 |Seiten=199 |Online={{Google Buch|BuchID=IFkeBAAAQBAJ| Seite = 199}}}}</ref> Folglich kann eine Ebene Spurpunkte mit drei, zwei oder einer Koordinatenachse haben, je nachdem ob sie parallel zu keiner, einer oder zwei der Koordinatenachsen liegt.

=== Berechnung ===
Die Berechnung erfolgt am einfachsten, wenn die Ebene als Koordinatengleichung vorliegt, etwa in der [[Achsenabschnittsform#Achsenabschnittsform einer Ebene |Achsenabschnittsform]] oder der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|allgemeinen Koordinatenform]]. Bei jedem Spurpunkt sind zwei Koordinaten null. Die dritte Koordinate erhält man, indem man in der Koordinatengleichung diese beiden Koordinaten null setzt und auflöst.

Ist die Ebene beispielsweise durch die allgemeine Koordinatenform <math>6 x + 4 y - 3 z = 12</math> gegeben, so erhält man die <math>x</math>-Komponente durch Nullsetzen der <math>y</math>- und <math>z</math>-Komponente als <math>x = 2</math>. Der Spurpunkt hat somit die Koordinaten <math>S_x = P(2\mid0\mid0)</math>. Entsprechend können die beiden weiteren Spurpunkte bestimmt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Heinz Griesel u. a. |Titel=Elemente der Mathematik. Qualifikationsphase Technik |Verlag=Schroedel Verlag |Ort=Braunschweig |Datum=2013 |ISBN=978-3-507-87034-5 |Seiten=267}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Spurgerade]]
* [[Spurdreieck]]

== Weblinks ==
{{Wikibooks|MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Spurpunkte|Darstellung von Spurpunkten mit Beispielen}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]

Spurpunkt - Versionsgeschichte

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