imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|2 */

2024-11-11T16:40:12Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|2

Neue Seite

Die '''Spur''' (Spurfunktion, Spurabbildung) ist ein Konzept in den [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebieten]] der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] sowie der [[Funktionalanalysis]] und wird auch in der Theorie der [[Körper (Algebra)|Körper]] und [[Körpererweiterung]]en verwendet.

== Die Spur in der linearen Algebra ==
=== Definition ===
In der linearen Algebra bezeichnet man als die Spur einer quadratischen <math>n \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> über einem Körper <math>K</math> die Summe der [[Hauptdiagonale]]lemente dieser Matrix. Für die Matrix

:<math>A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}</math>

ist also
:<math>\operatorname{Spur}(A)=\sum_{j=1}^n a_{jj} = a_{11}+a_{22}+\dotsb+a_{nn} \in K.</math>

Gilt <math>\operatorname{Spur}(A) = 0</math>, so bezeichnet man die Matrix <math>A</math> als ''spurfrei''.

Statt <math>\operatorname{Spur}</math> sind auch die Schreibweisen <math>\operatorname{spur}</math>, <math>\operatorname{spr}</math>, <math>\operatorname{Sp}</math> oder <math>\operatorname{sp}</math> oder vom englischen Begriff ''trace'' abgeleitet auch <math>\operatorname{Trace}</math>, <math>\operatorname{trace}</math>, <math>\operatorname{Tr}</math> oder <math>\operatorname{tr}</math> gebräuchlich.

=== Eigenschaften ===
* Die Spur einer Matrix ist die Summe ihrer [[Eigenwert]]e (mit [[Eigenwert#Spektrum und Vielfachheiten|algebraischer Vielfachheit]]). Für diagonalisierbare Matrizen sind [[Eigenwert#Spektrum und Vielfachheiten|algebraische Vielfachheit]] und [[Eigenraum#Geometrische Vielfachheit|geometrische Vielfachheit]] identisch, so dass die Vielfachheit eines Eigenwertes der Anzahl seiner zugehörigen (linear unabhängigen) Eigenvektoren entspricht.

* Im [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynom]] einer Matrix tritt das Negative der Spur als zweithöchster Koeffizient auf.<ref>Jörg Liesen, [[Volker Mehrmann]]: ''Lineare Algebra'', Lemma 8.3</ref>

* Die Spur einer <math>n \times n</math>-Matrix <math>A</math> ist gleich der Spur ihrer [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]], das heißt, es gilt
:: <math>\operatorname{Spur}(A)= \operatorname{Spur}\left(A^T\right)</math>.

* Die Spur ist eine [[lineare Abbildung]], das heißt, für <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> sowie <math>r,s \in K</math> gilt
:: <math>\operatorname{Spur}(rA + sB) = r \cdot \operatorname{Spur}(A) + s \cdot \operatorname{Spur}(B)</math>.

* Unter der Spur dürfen Matrizen <math>A \in K^{n \times m}</math> und <math>B \in K^{m \times n}</math> vertauscht werden, das heißt
:: <math>\operatorname{Spur}(A\cdot B)= \operatorname{Spur}(B\cdot A)</math>: Beides ist <math>\textstyle\sum_{i,j}a_{ij}b_{ji}</math>.
: Daraus folgt sofort im Fall <math>m=n</math>, dass die Spur des [[Kommutator (Mathematik)|Kommutators]] verschwindet, das heißt <math>\operatorname{Spur}(AB - BA) = 0</math>.

* Aus der letzten Eigenschaft folgt die Invarianz der Spur unter [[Zyklische Permutation|zyklischen Vertauschungen]]. Beispielsweise ist für drei <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>:
:: <math>\operatorname{Spur}(A\cdot B\cdot C)= \operatorname{Spur}(C\cdot A\cdot B) = \operatorname{Spur}( B\cdot C\cdot A)</math>.

* Weiter folgt hieraus, dass zwei zueinander [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnliche Matrizen]] die gleiche Spur haben. Für eine <math>n \times n</math>-Matrix <math>A</math> und eine invertierbare <math>n \times n</math>-Matrix <math>B</math> gilt
:: <math>\operatorname{Spur}\left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)= \operatorname{Spur}(A)</math>.
:Die Spur ist somit invariant unter [[Basistransformation]]en.

* Sind <math>A</math> und <math>B</math> <math>n \times n</math>-Matrizen, wobei <math>A</math> [[Definitheit|positiv definit]] und <math>B</math> nicht negativ ist, so gilt
:: <math>\operatorname{Spur}(A\cdot B) \geq 0</math>.

* Ist <math>A</math> [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und <math>B</math> [[Schiefsymmetrische Matrix|anti-symmetrisch]], so gilt
:: <math>\operatorname{Spur}(A\cdot B) = 0</math>.

* Die Spur einer reellen oder komplexen [[Idempotenz#Eigenschaften|idempotenten Matrix]] <math>A</math> ist gleich ihrem [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]], das heißt, es gilt
:: <math style="margin-left:2em">\operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Rang}(A).</math>
: (Für Matrizen mit Einträgen aus einem anderen Körper gilt diese Identität nur [[modulo]] der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik des Körpers]].)

* Für alle reellen oder komplexen <math>n\times n</math>-Matrizen <math>A</math> gilt
:: <math style="margin-left:2em">\det\left(\exp(A)\right)=\exp\left(\operatorname{Spur}(A)\right)</math>,
: wobei <math>\exp(A)</math> das [[Matrixexponential]] von <math>A</math> bezeichnet.

* Umgekehrt gilt für jede diagonalisierbare reelle Matrix <math>A</math>
:: <math style="margin-left:2em">\operatorname{Spur} (\ln A) = \ln (\det A)</math>.
: (Die Identität beruht darauf, dass man Funktionen diagonalisierbarer Matrizen – hier den natürlichen [[Logarithmus]] – über die Eigenwerte definieren kann.)

* Mittels <math>\langle A,B\rangle := \operatorname{Spur}(AB^*)</math> lässt sich das [[Frobenius-Skalarprodukt]] auf den (reellen oder komplexen) <math>n \times n</math>-Matrizen definieren, so dass wegen der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]] gilt
:: <math>\vert\operatorname{Spur}(AB^*)\vert\leq(\operatorname{Spur}(AA^*))^{\frac{1}{2}}(\operatorname{Spur}(BB^*))^{\frac{1}{2}}</math>.

=== Spur eines Endomorphismus ===
Ist <math>V</math> ein endlichdimensionaler [[Vektorraum]] und <math>f\colon V\to V</math> eine [[lineare Abbildung]], also ein [[Endomorphismus]] von <math>V</math>, so definiert man die Spur von <math>f</math> als die Spur einer Darstellungsmatrix von <math>f</math> bezüglich einer beliebigen Basis von <math>V</math>. Nach den obengenannten Eigenschaften ist die Spur unabhängig von der Wahl dieser Basis.

=== Koordinatenfreie Definition der Spur ===
Ist <math>V</math> ein endlichdimensionaler <math>K</math>-[[Vektorraum]], so kann man den Raum der [[Endomorphismus|Endomorphismen]] auf <math>V</math> mit <math>V \otimes V^*</math> identifizieren via <math>(v \otimes \alpha)(w) = \alpha(w)\cdot v</math>. Weiter ist die natürliche Paarung eine kanonische bilineare Abbildung <math>t\colon V \times V^* \rightarrow K</math>, die aufgrund der [[Universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] des [[Tensorprodukt]]s eine lineare Abbildung <math>t'\colon V \otimes V^* \rightarrow K</math> induziert. Man sieht leicht ein, dass diese unter der obigen Identifikation <math>V \otimes V^* \simeq \operatorname{End}(V)</math> gerade die Spur eines Endomorphismus ist.

== Die Spur in der Funktionalanalysis ==
=== Spurklasseoperator ===
{{Hauptartikel|Spurklasseoperator}}

Das Konzept der Spur in der linearen Algebra kann auch auf unendlichdimensionale Räume ausgedehnt werden. Ist <math>H</math> ein [[Hilbertraum]] mit einer [[Orthonormalbasis]] <math>(e_i)_{i \in I}</math>, dann definiert man für einen Operator <math>A \colon H \to H</math> die Spur mittels
:<math>\operatorname{Spur}(A) := \sum_{i \in I} \langle Ae_i,e_i\rangle,</math>
falls die Summe existiert. Die Endlichkeit dieser Summe ist abhängig von der Wahl der Orthonormalbasis. Operatoren, für die dies immer der Fall ist (diese sind immer [[Kompakter Operator|kompakt]]), also deren Spur über alle Orthonormalbasen endlich ist, werden Spurklasseoperatoren genannt. Bei Spurklassenoperatoren ist die Summe unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis, und somit ist die Spur für diese wohldefiniert.<ref>Pavel Exner: ''Hilbert Space Operators in Quantum Physics.'' Springer 2008.</ref><ref>Michael Reed: ''Methods of Modern Mathematical Physics I: Functional Analysis.'' Academic Press 1980, S. 212.</ref>
Viele Eigenschaften der Spur aus der linearen Algebra übertragen sich unmittelbar auf Spurklasseoperatoren.

=== Anwendung in der Quantenmechanik ===
In der Quantenmechanik beziehungsweise der [[Quantenstatistik]] verallgemeinert man den Begriff der Spur so, dass auch Operatoren erfasst werden, die keine Spurklasseoperatoren sind. Und zwar brauchen diese Operatoren, wie zum Beispiel der grundlegende [[Hamiltonoperator]] (Energie-Operator) <math>\mathcal H</math> des Systems, nur [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] zu sein. Sie besitzen dann eine [[Spektralsatz|Spektraldarstellung]] <math>\textstyle A =\int_{\lambda\in\,\operatorname{Spec}_A}\lambda \mathrm d\mathcal E_A</math>, wobei <math>\operatorname{Spec_A}</math> das Spektrum von <math>A</math> ist, während λ eine Zahl der reellen Achse ist und die Integrale <math>\textstyle \int_{\Delta{\operatorname{Spec}_A}}{\mathrm d}\mathcal E_A</math> Projektionsoperatoren auf die zu λ gehörigen Eigenfunktionen (Punktspektrum!) bzw. Eigenpakete (kontinuierliches Spektrum) sind. Es gilt dann, wenn man es zum Beispiel mit einer Abbildung von Operatoren zu tun hat, etwa mit der Exponentiation eines Operators, <math>A\to A'=e^{-\frac{A}{T}}\,:</math>

:<math>\operatorname{Spur}(A'):= \int_{\lambda\in\, \operatorname{Spec}_A}e^{-\frac{\lambda}{T}}\,\,\mathrm dp_A(\lambda)\,.</math>

Dabei ist <math>\mathrm{d}p_A(\lambda )</math> ein zu den oben definierten Projektionsoperatoren passendes Maß, z. B. im Falle des Punktspektrums das [[Diracmaß]], <math>\mathrm{d}p_A(\lambda ) = \delta (\lambda -a_i)\mathrm{d}\lambda\,,</math> wobei <math>a_i</math> der betrachtete Eigenwert ist, und <math>\delta (\lambda-a_i)</math> die bei <math>a_i</math> zentrierte [[Delta-Distribution]]. Der Parameter <math>T</math> hat in konkreten Fällen die Bedeutung der Kelvin-Temperatur des Systems, und es wurde die Regel benutzt, dass alle Funktionen eines Operators, <math>A\to A':=f(A)</math>, dieselben Eigen''vektoren'' besitzen wie schon der Operator <math>A</math> selbst, während die Eigen''werte'' sich ändern, <math>a_\lambda\to f(a_\lambda )\,,\,\,\forall \lambda\in {\operatorname{Spec_A}}.</math>

Auch wenn das Integral für <math>T\to\infty</math> divergieren würde, ist die Anwendung der Formel u. U. sinnvoll, weil die Spurbildung in der Quantenstatistik fast immer in der Kombination <math>{\operatorname{Spur}}\,\left\{e^{-\frac{\mathcal H}{T}}\,A/{\operatorname{Spur}}\,e^{-\frac{\mathcal H}{T}}\right\}</math> auftritt. Diese Kombination ist der sogenannte ''Thermische Erwartungswert'' <math>\langle A\rangle_T </math> der Messgröße, bei dem sich eventuelle Divergenzen im Zähler und im Nenner gegenseitig kompensieren würden.

Verwandte Integrale können also auch dann konvergieren, wenn der Operator <math>A</math> ''nicht'' der Spurklasse angehört. In diesem Fall ist der Ausdruck beliebig genau durch Summen von Spurklasse-Operatoren (sogar durch ''endliche'' Summen) approximierbar, ähnlich wie Integrale so angenähert werden können.

Jedenfalls empfiehlt es sich, bei der Frage der Konvergenz der betrachteten Ausdrücke ''pragmatisch'' vorzugehen und z. B. im vorliegenden Fall zu beachten, dass eventuelle Spektralanteile, die betragsmäßig sehr viel größer sind als der Temperaturfaktor <math>T</math>, exponentiell klein werden.

In der [[Quantenstatistik]] tritt die [[Partialspur]] auf, welche als Verallgemeinerung der Spur aufgefasst werden kann. Für einen Operator <math>Z</math>, der auf dem Produktraum <math>A \otimes B</math> lebt, ist die Spur gleich der Hintereinanderausführung der Partialspuren über <math>A</math> und <math>B</math>:
:<math>\operatorname{Spur}(Z) = \operatorname{Spur}_A(\operatorname{Spur}_B(Z)) = \operatorname{Spur}_B(\operatorname{Spur}_A(Z))</math>.

== Die Spur in Körpererweiterungen ==
Ist <math>L/K</math> eine endliche [[Körpererweiterung]], dann ist die Spur eine <math>K</math>-lineare Abbildung von <math>L</math> nach <math>K</math>. Fasst man <math>L</math> als <math>K</math>-Vektorraum auf, dann definiert man die Spur eines Elementes <math>\alpha \in L</math> als die Spur der Darstellungsmatrix des <math>K</math>-linearen Endomorphismus <math>L \ni x \mapsto \alpha \cdot x \in L</math>.
Falls <math>L/K</math> [[galoissch]] ist, lässt sich die Spur eines Elements <math>\alpha\in L</math> als Summe seiner Konjugierten darstellen:
:<math>\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha) = \sum_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)} \sigma(\alpha)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Tensorverjüngung]]
* [[Partielle Spur]]

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger'', [[Vieweg Verlag]], Wiesbaden 2002, ISBN 978-3-528-97217-2, S. 229.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', [[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]], 7. Auflage, Berlin 2011, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 286–297.

== Weblinks ==
* [https://matrizen-rechner.de/ Spur-Rechner]: Berechnet die Spur einer Matrix.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Körpertheorie]]

Spur (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|0|2 */