imported>Zechenhund: /* Beispiele */Nachvollziehbarkeit / Verständlichkeit für naive Leser verbessert.

2024-09-16T13:27:29Z

Beispiele: Nachvollziehbarkeit / Verständlichkeit für naive Leser verbessert.

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Splitting-Verfahren der numerischen Mathematik. Davon zu unterscheiden sind [[Splittingverfahren]] im Steuer- und Abgabenrecht wie zum Beispiel das deutsche [[Ehegattensplitting]].}}

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] sind '''Splitting-Verfahren''' [[Iteratives Verfahren|iterative Verfahren]] zum Lösen [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] <math>Ax=b</math> mit einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A\in\Complex^{n\times n}</math> und rechter Seite <math>b\in\Complex^n.</math> Im Unterschied zu [[Direktes Verfahren|direkten Verfahren]] nähert man sich dabei ausgehend von einer [[Näherungswert|Startnäherung]] schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

== Beschreibung ==
Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix <math>A = B + (A-B)</math> mit einer invertierbaren Matrix <math>B\in\Complex^{n\times n}</math>.
:<math>Ax=b \Leftrightarrow B^{-1}(B + (A-B))x=B^{-1}b.</math>
Daraus erhält man die [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunktgleichung]]
:<math> x = B^{-1}(B-A)x + B^{-1}b</math>.
Mit <math>M = B^{-1}(B-A) = I - B^{-1}A</math>, wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] bezeichnet, ergibt sich die [[Fixpunktiteration]]
# Wähle einen Startvektor <math>x_0\in\Complex^n</math>.
# Setze <math>x_k=Mx_{k-1}+B^{-1}b = (I - B^{-1}A)x_{k-1} + B^{-1}b</math>.

Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des [[Residuum (Numerische Mathematik)|Residuums]] <math>r_k=b-Ax_k</math> eine vorgegebene [[Fehlerschranke]] unterschreitet. Das Verfahren [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] genau dann, wenn der [[Spektralradius]] der Matrix <math>M</math> kleiner 1 ist. Mit Hilfe des [[Fixpunktsatz von Banach|banachschen Fixpunktsatzes]] folgt ferner die [[Konvergenzgeschwindigkeit|lineare Konvergenzgeschwindigkeit]] der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich <math>B</math> und <math>A</math> nur wenig unterscheiden, kann man mit dem [[Störungslemma]] zeigen, dass auch der Spektralradius von <math>M</math> klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz (<math>B</math> approximiert <math>A</math> sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration (<math>B</math> ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute [[Vorkonditionierung|Vorkonditionierer]] dar. Darüber hinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem [[Mehrgitterverfahren]] geeignet.

== Beispiele ==
* [[Jacobi-Verfahren]]: <math>B=\operatorname{diag}(A)</math> ist die [[Hauptdiagonale]] von <math>A</math>.
* [[Richardson-Verfahren]]: <math>B=\tau \cdot I</math> mit einem Parameter <math>\tau</math>.
* [[Gauß-Seidel-Verfahren]]: <math>B=D+L</math> die Hauptdiagonale + untere linke [[Dreiecksmatrix]].
* Weitere sind das [[SOR-Verfahren]] <math>B = (1/\omega)D + L</math> und SSOR.
* eine Möglichkeit der [[Nachiteration]] für das [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußsche Eliminationsverfahren]]: <math>B=LR</math>.

== Modifikationen ==
Man unterscheidet zwischen stationären Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationären Verfahren, wo die Matrizen <math>M</math> vom Index <math>i</math> abhängen dürfen.

== Literatur ==
* A. Meister: ''Numerik linearer Gleichungssysteme'', 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Splitting-Verfahren - Versionsgeschichte

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