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Ein '''Spinor''' ist in der [[Mathematik]], und dort speziell in der [[Differentialgeometrie]], ein [[Vektor]] in einer kleinsten [[Darstellung (Lie-Gruppe)|Darstellung]] <math>(\rho,V)</math> einer [[Clifford-Algebra#Die Spin-Gruppe|Spin-Gruppe]]. Die Spin-Gruppe ist [[Isomorphismus|isomorph]] zu einer Teilmenge einer [[Clifford-Algebra]]. Jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen, komplexen oder [[Quaternion|quaternionischen]] Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.

Ein Spinor ist in der [[Physik]] meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe <math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>, die zur Gruppe der [[Lorentz-Transformation]]en <math>\operatorname{SO}(1,3)</math> des [[Minkowski-Raum]]s gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.

== Geschichte ==
[[Élie Cartan]] klassifizierte 1913<ref>Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane, Bull. Soc. Math. France, Band 41, 1913, S. 53–96</ref> die [[Irreduzible Darstellung|irreduziblen]] komplexen Darstellungen [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfacher]] [[Liegruppe]]n.<ref>Die Geschichte der Spinoren ist zum Beispiel dargestellt in [[Marcel Berger]], A panoramic view of Riemannian Geometry, Springer 2003, S. 695f</ref> Er fand neben den bekannten Tensordarstellungen auch eine neue zweiwertige Darstellung in Form der Spinoren (und sagte vorher, dass diese die anderen Darstellungen aufbauen könnten), speziell für lineare Darstellungen der Drehgruppen. Später erschien sein Lehrbuch über Spinoren<ref>Cartan, The theory of spinors, Hermann 1966, Dover 1981, zuerst 1938 in Französisch als ''Leçons sur la théorie des spineurs'' bei Hermann in zwei Bänden erschienen</ref>. Ihre Bedeutung insbesondere in der Physik wurde aber erst nach Entdeckung der [[Diracgleichung]] durch [[Paul Dirac]] 1928 erkannt (sie ermöglichten es ihm, eine Gleichung 1. Ordnung, die Diracgleichung, als Linearisierung einer Gleichung 2. Ordnung, der [[Klein-Gordon-Gleichung]], zu gewinnen). [[Paul Ehrenfest]] wunderte sich, warum die Darstellung bei Dirac (mit der relativistisch kovarianten Diracgleichung) vierdimensional war, in der zuvor für den Spin im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik aufgestellten [[Pauli-Gleichung]] von [[Wolfgang Pauli]], in der er auch seine [[Pauli-Matrizen]] einführte, dagegen zweidimensional. Ehrenfest prägte für die neuartigen Größen 1928 den Namen Spinor<ref>Martina Schneider, Zwischen zwei Disziplinen. B. L. van der Waerden und die Entwicklung der Quantenmechanik, Springer 2011, S. 122</ref> und beauftragte [[Bartel Leendert van der Waerden]], diese mathematisch zu untersuchen, eine Untersuchung, die van der Waerden 1929 veröffentlichte.<ref>Van der Waerden, Göttinger Nachrichten, Spinoranalyse, Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen, 1929, S. 100. Der Aufsatz eröffnet mit der von Ehrenfest gestellten Frage.</ref>

Dirac arbeitete bei seiner Einführung der Spinoren weitgehend unabhängig, nach seinen eigenen Worten auch unabhängig von Pauli in der Verwendung der Pauli-Matrizen. Pauli selbst wurde 1927 in der mathematischen Interpretation seiner Gleichung wesentlich von [[Pascual Jordan]] unterstützt<ref>Pauli, Brief an Jordan 12. März 1927, in Pauli, Briefwechsel, Band 1, Springer 1979, S. 385</ref> (der ihn auf den Zusammenhang mit Quaternionen hinwies).

Die Arbeiten von Dirac waren im Rahmen der [[Lorentz-Gruppe]], den Zusammenhang mit Spinoren im euklidischen Raum stellte Cartan in seinem Buch 1938 her und [[Richard Brauer]] und [[Hermann Weyl]] in einem Aufsatz 1935 (unter Verwendung von Clifford-Algebren).<ref>Brauer, Weyl, Spinors in n dimensions, American Journal of Mathematics, Band 37, 1935, S. 425–449</ref> Die algebraische Theorie der Spinoren im Rahmen von Clifford-Algebren setzte [[Claude Chevalley]] in seinem Lehrbuch 1954 fort.<ref>Chevalley, The algebraic theory of spinors. New York, Columbia University Press 1954. Nachdruck in den Gesammelten Werken von Chevalley, Band 2 (Springer 1996) mit Nachwort von [[Jean-Pierre Bourguignon]].</ref>

Von Bedeutung in der Differentialgeometrie wurden sie vor allem durch das [[Atiyah-Singer-Indextheorem]] Anfang der 1960er Jahre.<ref>Berger, loc. cit. Die Konstruktion von Spinor-Bündeln auf riemannschen Mannigfaltigkeiten war nach Berger in den 1950ern ''Folklore'' und das Jahr 1963 war herausragend in der Geschichte der Spinoren nicht nur durch die Einführung des Atiyah-Singer-Indextheorems, sondern auch durch die Formel für die Skalarkrümmung von [[André Lichnerowicz]]</ref>

== Spinoren der Quantenphysik ==
=== Struktur der Gruppe Spin(1,3) ===
Die Spin-Gruppe <math>\operatorname{Spin}(1,3)</math> ist eine Teilmenge des geraden Teils <math>C\ell^0(1,3)</math> der [[Clifford-Algebra]] <math>C\ell(1,3)</math>. Die gesamte Algebra – als <math>\R</math>-Vektorraum hat sie 16 Dimensionen – wird von den vier kanonischen Basisvektoren <math>\mathbf{e}_0</math>, <math>\mathbf{e}_1</math>, <math>\mathbf{e}_2</math>, <math>\mathbf{e}_3</math> des 4-dimensionalen Minkowski-Raums <math>\mathrm{M}^4</math> mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis) <math>Q(x)=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2</math> erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener Basisvektoren; für ihre Quadrate gilt <math>v^2 = -Q(v)</math>, also <math>(\mathbf{e}_0)^2 = -1</math>, <math>(\mathbf{e}_1)^2 = (\mathbf{e}_2)^2 = (\mathbf{e}_3)^2 = 1</math>.

Die (als <math>\R</math>-Vektorraum 8-dimensionale) Unteralgebra <math>C\ell^0(1,3)</math> der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die <math>\mathbf{e}_0</math> enthalten: <math>\mathbf{f}_1 := \mathbf{e}_0 \mathbf{e}_1</math>, <math>\mathbf{f}_2 := \mathbf{e}_0 \mathbf{e}_2</math>, <math>\mathbf{f}_3 := \mathbf{e}_0 \mathbf{e}_3</math>. Diese antikommutieren ebenfalls; ihre Quadrate haben den Wert ''1''.

Eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>C\ell^0(1,3)</math> besteht beispielsweise aus dem Einselement, den <math>\mathbf{f}_k</math> und den nachfolgend beschriebenen vier Elementen <math>\mathbf{g}_k</math> und <math>\omega</math>:

Die fehlenden zweifachen Produkte (d. h. die, die <math>\mathbf{e}_0</math> nicht enthalten) bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden Produkten der <math>\mathbf{f}_k</math> erzeugt wird:
:<math>\mathbf{g}_1 := -\mathbf{f}_2 \mathbf{f}_3 = -\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3</math>
:<math>\mathbf{g}_2 := -\mathbf{f}_3 \mathbf{f}_1 = -\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1</math>
:<math>\mathbf{g}_3 := -\mathbf{f}_1 \mathbf{f}_2 = -\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2</math>
Die Quadrate der <math>\mathbf{g}_k</math> haben der Wert ''-1'', und jedes der <math>\mathbf{g}_k</math> ist (eventuell bis aufs Vorzeichen) das Produkt der beiden anderen, also <math>\mathbf{g}_1 \mathbf{g}_2 = \mathbf{g}_3</math> usw. Die von den <math>\mathbf{g}_k</math> erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der [[Quaternionen]]. Mit Rücksicht auf die [[Pauli-Matrizen]] identifizieren wir <math>\mathbf{g}_1 = \mathrm{j}</math>, <math>\mathbf{g}_2 = \mathrm{k}</math>, <math>\mathbf{g}_3 = \mathrm{i}</math>; Genaueres weiter unten.

Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement
:<math>\omega = \mathbf{e}_0 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 = -\mathbf{f}_1 \mathbf{g}_1 = -\mathbf{f}_2 \mathbf{g}_2 = -\mathbf{f}_3 \mathbf{g}_3.</math>
Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt <math>\omega^2 = -1</math>.

==== Isomorphe Matrixalgebra ====
Es ist leicht zu sehen, dass <math>(\omega, \mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2)</math> die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als <math>C\ell^1(1,3) = \mathbf{e}_0 C\ell^0(1,3)</math> zu erhalten ist. Insgesamt gilt:
*<math>(\omega, \mathbf{e}_0)</math> und <math>(\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2)</math> erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
*diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
*spannen zusammen die gesamte Algebra auf.

Dies liefert den Isomorphismus <math>\varphi</math>
:<math>C\ell(1,3)\simeq \mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H</math>,
der eingeschränkt einen Isomorphismus
:<math>C\ell^0(1,3)\simeq \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H</math>
ergibt.

Es sei im Folgenden immer <math>\mathbb{C} = \mathbb{R}[i]</math>, wobei <math>i</math> eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie folgt definiert werden:
:<math>\varphi(\omega) := \mathrm{i} \otimes 1, \varphi(\mathbf{e}_0) := \mathrm{k} \otimes 1,</math>
:<math>\varphi(\mathbf{g}_1) := 1 \otimes \mathrm{j}, \varphi(\mathbf{g}_2) := 1 \otimes \mathrm{k}, \varphi(\mathbf{g}_3) := 1 \otimes \mathrm{i}.</math>
Als Folge daraus ergeben sich mit <math>\mathbf{f}_k = \omega \mathbf{g}_k</math> und <math>\mathbf{e}_k = -\mathbf{e}_0 \mathbf{f}_k</math>
:<math>\varphi(\mathbf{f}_1) := \mathrm{i} \otimes \mathrm{j}, \varphi(\mathbf{f}_2) := \mathrm{i} \otimes \mathrm{k}, \varphi(\mathbf{f}_3) := \mathrm{i} \otimes \mathrm{i},</math>
:<math>\varphi(\mathbf{e}_1) := -\mathrm{j} \otimes \mathrm{j}, \varphi(\mathbf{e}_2) := -\mathrm{j} \otimes \mathrm{k}, \varphi(\mathbf{e}_3) := -\mathrm{j} \otimes \mathrm{i}.</math>

=== Eigenspinoren ===
{{Hauptartikel|Eigenspinor}}
Eigenspinoren stellen in der [[Quantenmechanik]] die [[Basisvektor]]en dar, die den Spin-Zustand eines Teilchens beschreiben. Für ein einzelnes Spin-1/2-Teilchen können sie als die Eigenvektoren der [[Pauli-Matrizen]] betrachtet werden. Sie bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.

=== Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren ===
Es gibt einen Isomorphismus <math>\rho\colon\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H\to \mbox{Hom}_{\mathbb R}(\mathbb H,\mathbb H)</math>, der einem Tensorprodukt <math>a \otimes b</math> die Abbildung <math>x\mapsto\rho(a\otimes b)(x):=bx\bar a</math> zuordnet. Damit ist <math>\rho_M:=\rho\circ\varphi</math> eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen ''Majorana-Spinor-Darstellung'', nach [[Ettore Majorana]].

=== Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren ===
Wir definieren eine bijektive Abbildung <math>S\colon\mathbb C^2\to\mathbb H</math> als <math>S(z^1,z^2):=\mathrm{k} \,\bar z^1+\bar z^2</math>. Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d. h. <math>S(wz^1,wz^2):=S(z^1,z^2)\bar w</math>. Sei <math>\theta:=S^{-1}</math> die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir
:<math>\rho_W\colon C\ell^0(1,3)\to M_2(\mathbb C)</math>, durch <math>\rho_W(c)(z^1,z^2):=(\theta\circ\rho_M(x)\circ S)(z^1,z^2)</math>,
d. h. einem Element <math>\varphi(c) = w \otimes q</math> aus <math>\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H</math> wird die Abbildung, die durch
:<math>\rho(w\otimes q)(S(z^1,z^2))=qS(z^1,z^2)\bar w=qS(z^1w,z^2w)</math>
gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z. B.
:<math>\rho_W(\mathbf f_1)(z^1,z^2) = \theta(\rho(-\mathrm{i}\otimes\mathrm{j})(S(z^1,z^2)) = \theta(\mathrm{jk}\bar{z}^1\mathrm{i}+\mathrm{j}\bar{z}^2\mathrm{i}) = (-z^2,-z^1)</math>.
Die Matrix dieser Abbildung ist die erste [[Pauli-Matrix]] <math>\sigma_1</math>, analog gilt <math>\mathbf{f}_2 \mapsto \sigma_2</math> und <math>\mathbf{f}_3 \mapsto \sigma_3</math>.

Somit ist <math>\rho_W</math> eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit auch der <math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>-Gruppe. Diese Darstellung von <math>C\ell^0(1,3)</math> heißt ''Weyl-Spinor-Darstellung'', benannt nach [[Hermann Weyl]] (siehe auch: [[Pauli-Matrizen]]).

Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung <math>\bar\rho_W(c)(z):=(\bar\theta\circ\rho_M(x)\circ \bar S)(x)</math>, wobei <math>\bar S(z_1,z_2)=\mathrm{j}S(z_1,z_2)=\bar z^1\mathrm{j}-\bar z^2</math>

=== Weyl-, Dirac- und Majorana-Spinoren ===
Eine [[treue Darstellung]] ist eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf [[orthogonale Matrix|orthogonale]] oder [[unitäre Matrix|unitäre]] Matrizen abgebildet werden.

Dazu folgendes [[Hilfssatz|Lemma]]: Sind <math>A</math>, <math>B</math> selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf <math>V</math> mit <math>A^2 = B^2 = I</math> und <math>AB = -BA</math>, so zerfällt <math>V</math> in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume <math>V_+ := \operatorname{ker}(I-A)</math> und <math>V_- := \operatorname{ker}(I+A) = BV_+</math>. Das Tripel <math>(V,A,B)</math> lässt sich isomorph abbilden auf
:<math>V=\mathbb K^2\otimes V_+, A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\otimes I_+, B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\otimes I_+.</math>
<math>I_+</math> ist die Identität auf <math>V_+</math>. Das auftretende [[Tensor]]produkt kann hier auch als das [[Kronecker-Produkt]] von [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] aufgefasst werden.

==== Weyl-Spinoren ====
Eine ''Weyl-Spinor-Darstellung'', benannt nach [[Hermann Weyl]], ist eine kleinste ''komplexe'' Darstellung von <math>\operatorname{Spin}(1,3)</math>. Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden Unteralgebra <math>C\ell^0(1,3)</math>.

Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung <math>(\rho,V)</math> von <math>C\ell^0(1,3)</math> in einen hermiteschen Vektorraum <math>V</math> vorliegen. Dabei sind die Bilder <math>\rho(\mathbf{f}_k)</math> (der Kürze wegen lassen wir im Weiteren das <math>\rho</math> weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von <math>V</math> in sich.

<math>A := \mathbf{f}_3</math> und <math>B := \mathbf{f}_1</math> erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen Darstellung
:<math>V=\mathbb C^2\otimes V_+</math> mit <math>\mathbf f_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes I_+</math> und <math>\mathbf f_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_+</math>
übergehen.

Um die Gestalt von <math>\mathbf{f}_2</math> einzuschränken, betrachten wir das Produkt <math>\mathbf{f}_1 \mathbf{f}_2</math> und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln
:<math>(f_1f_2)f_3=f_3(f_1f_2)</math> und <math>(f_1f_2)f_1=-f_1(f_1f_2)</math>
sich folgende Gestalt zwingend ergibt
:<math>\mathbf f_1\mathbf f_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \mathbf g_{12}</math> mit <math>(\mathbf g_{12})^2=-1.</math>

Da der Vektorraum <math>V_+</math> komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume <math>V_{++}</math> und <math>V_{+-}</math> aufspalten, auf welchen <math>\mathbf{g}_{12}</math> wie <math>\mathrm{i}</math> oder <math>\mathrm{-i}</math> wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten [[Pauli-Matrizen]], denn wenn <math>\mathbf{g}_{12} = \mathrm{i}</math>, so ist
:<math>\mathbf f_2=\begin{pmatrix}0&-\mathrm{i} \\ \mathrm{i}&0\end{pmatrix} \otimes I_{+}.</math>
Im minimalen Fall ist <math>V_{++} = \mathbb{C}</math>, <math>V_{+-} = \{0\}</math> oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte ''Weyl-Spinor-Darstellungen''.

Anwendung: siehe [[Weyl-Gleichung]]

==== Dirac-Spinoren ====
{{Hauptartikel|Dirac-Spinor}}
In der [[Quantenelektrodynamik]] bzw. [[Atiyah-Singer-Indexsatz|Atiyah-Singer-Indextheorie]] wird der [[Dirac-Operator]] definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten Clifford-Algebra benötigt wird. Die ''Dirac-Spinor-Darstellung'', nach [[Paul Dirac]], ist bei Anwendung in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen die kleinste komplexe Darstellung von <math>C\ell(1,3)</math>. Es werden aber auch höherdimensionale Dirac-Spinoren zum Beispiel in der [[Stringtheorie]] betrachtet.

Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu bestimmen, betrachten wir das Bild von <math>\mathbf{e}_1</math>. Es kommutiert mit <math>\mathbf{f}_3</math> und antikommutiert mit <math>\mathbf{f}_1</math>. Wie oben stellen wir fest, dass
:<math>\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \mathbf g_{1}</math> mit <math>(\mathbf g_{1})^2=1.</math>

Man überzeugt sich, dass <math>\mathbf{g}_1</math> die Unterräume <math>V_{++}</math> und <math>V_{+-}</math> vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte ersetzen:
:<math>V=\mathbb C^2\otimes \mathbb C^2\otimes V_{++}</math> mit den Bildern der Generatoren
:<math>\mathbf e_0=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}</math>
:<math>\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}</math>
:<math>\mathbf e_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&-\mathrm{i}\\\mathrm{i}&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}</math>
:<math>\mathbf e_3=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}</math>

Die minimale ''Dirac-Spinor-Darstellung'' ist wieder die mit <math>V_{++} = \mathbb{C}</math> (und jede dazu isomorphe).

Dirac-Spinoren in 3+1 Dimensionen dienen im Rahmen der [[Quantenelektrodynamik]] zur mathematischen Beschreibung von [[Fermionen]] mit Spin 1/2. Zu diesen [[Dirac-Fermion]]en gehören im [[Standardmodell]] der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen.

==== Majorana-Spinoren ====
Die ''Majorana-Spinor-Darstellung'', nach [[Ettore Majorana]], sowohl der Spin-Gruppe als auch der [[Clifford-Algebra]] ist die kleinste ''reelle'' Darstellung von <math>C\ell(1,3)</math>. Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher <math>\mathbf{g}_1</math> und <math>\mathbf{g}_{12}</math> auf <math>V_+</math> definiert sind. Hier können wir nun <math>V_+</math> nach <math>A = \mathbf{g}_1</math> zerlegen in <math>V_{++} := \operatorname{ker}(I-A)</math> und <math>V_{+-} := \operatorname{ker}(I+A)</math>, <math>B = \mathbf{g}_{12}</math> vertauscht beide Unterräume, allerdings ist <math>B^2 = -I</math>, somit
:<math>V_+=\mathbb R^2\otimes V_{++}</math> mit <math>\mathbf g_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes I_{++}</math> und <math>\mathbf g_{12}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes I_{++}.</math>

Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für <math>V_{++} = \mathbb{R}</math>
:<math>V=\mathbb C^2\otimes \mathbb C^2</math> mit den Bildern der Generatoren
:<math>\mathbf e_0=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf e_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}</math>
:<math>\mathbf e_3=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.</math>

Sie dienen in der Elementarteilchenphysik zur Beschreibung von [[Majorana-Fermion]]en, die aber bisher noch nicht beobachtet wurden.

=== Drehverhalten ===
Aus Obigem ist die für die Physik vielleicht wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern:

* Für Teilchen mit ganzzahligem Spin <math>s</math> (gemessen in Einheiten der [[Reduzierte Planck-Konstante|reduzierten Planck-Konstante]] <math>\hbar \,</math> ), sogenannte [[Boson]]en, wird die [[Wellenfunktion]] bei einer vollen Drehung um <math>2\pi\!\,</math> mit dem Faktor <math>(-1)^{2s}=+1\!\,</math> multipliziert, d. h. sie bleibt unverändert.

* Dagegen ergibt sich für Teilchen mit halbzahligem Spin, die [[Fermion]]en, bei einer vollen Drehung um <math>2\pi\!\,</math> der Faktor -1 für die Wellenfunktion. D. h. diese Teilchen wechseln bei einer vollen Drehung das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] ihrer quantenmechanischen Phase bzw. sie müssen zwei volle Drehungen durchführen, um wieder in ihren Ausgangszustand zu gelangen, ähnlich dem Stundenzeiger einer Uhr.

Ganz- oder halbzahlige Werte von <math>s</math> sind die einzigen Möglichkeiten für die Ausprägung des Spins.

== Verallgemeinerung in der Mathematik ==
{{Hauptartikel|Spinorbündel}}

In der Mathematik, speziell in der Differentialgeometrie, wird unter einem Spinor ein (meist glatter) [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] des Spinorbündels verstanden. Das Spinorbündel ist ein [[Vektorbündel]], das wie folgt entsteht: Ausgehend von einer [[Mannigfaltigkeit#Mannigfaltigkeiten mit Orientierung|orientierten]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] ''(M,g)'' bildet man Bündel ''P'' der ON-[[Reperbündel|Reper]]. Dieses besteht punktweise aus allen orientierten [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]]:
:<math>P_x=\{(s_1, \dots, s_n)\text{ orientierte Orthonormalbasis von } T_xM\}</math>
Dies ist ein [[Hauptfaserbündel]] mit Strukturgruppe <math>SO_n</math>. Eine [[Spin-Struktur]] ist dann ein Paar ''(Q,f)'' aus einem Hauptfaserbündel ''Q'' mit Strukturgruppe ''Spin<sub>n</sub>'' und einer Abbildung <math>f\colon Q\rightarrow P</math>, die folgende Eigenschaften erfüllt:
# <math>\pi_P\circ f=\pi_Q</math>, wobei <math>\pi_P\colon P\rightarrow M</math> und <math>\pi_Q</math> die Projektionen der Hauptfaserbündel sind und
# <math>f(p\cdot g)=f(p)\cdot\lambda(g)</math>, wobei <math>\lambda\colon\operatorname{Spin}_n\rightarrow SO_n</math> die zweifache Überlagerungsabbildung ist.
Eine Spin-Struktur existiert nicht zu jeder Mannigfaltigkeit, existiert eine, so nennt man die Mannigfaltigkeit spin. Die Existenz einer Spin-Struktur ist äquivalent zum Verschwinden der zweiten [[Stiefel-Whitney-Klassen|Stiefel-Whitney-Klasse]].

Gegeben eine Spin-Struktur ''(Q,f)'' konstruiert man das (komplexe) Spinorbündel wie folgt: Man nutzt die (bei Einschränkung auf die Spin-Gruppe eindeutige) irreduzible [[Darstellungstheorie|Darstellung]] der (komplexen) Clifford-Algebra <math>\kappa\colon Cl_n\rightarrow \Delta_n=\mathbb{C}^{[n/2]^2}</math> (vergleiche [[Clifford-Algebra#Darstellungen|hier]]) und bildet das Spinorbündel als assoziiertes Vektorbündel
:<math>S=Q\times_{\kappa}\Delta_n=(Q\times \Delta_n)/\sim</math>,
wobei die [[Äquivalenzrelation]] durch <math>(p,v)=(p\cdot g,\kappa(g^{-1})(v))\,\forall g\in \operatorname{Spin}_n</math> gegeben ist.

Analoge Konstruktionen lassen sich auch durchführen, wenn man die [[riemannsche Metrik]] durch eine pseudoriemannsche ersetzt. Die oben beschriebenen Spinoren sind Spinoren im hier beschriebenen Sinne über der Mannigfaltigkeit <math>\mathbb{R}^4</math> mit der pseudo-euklidischen Metrik <math> \langle (v_1, \dots, v_4),(w_1, \dots, w_4)\rangle = -v_1w_1+v_2w_2+v_4w_3+v_4w_4</math>. Das Spinorbündel ist in diesem Fall ein triviales Vektorbündel.

== Siehe auch ==
* [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellungstheorie von Lie-Gruppen]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]

Spinor - Versionsgeschichte

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