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2025-02-22T13:24:26Z

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[[Datei:Spieker punkt.svg|mini|hochkant=1.5|Der Spieker-Punkt ''S'' des Dreiecks ABC]]
Als '''Spieker-Punkt''' oder '''Spieker-Zentrum''' eines [[Dreieck]]s bezeichnet man den [[Inkreis]]mittelpunkt des zugehörigen [[Mittelparallele#Mittelparallelen eines Dreiecks|Mittendreiecks]]. Man findet den Spieker-Punkt also dadurch, dass man die Mittelpunkte der Seiten des gegebenen Dreiecks miteinander verbindet und die [[Winkelsymmetrale|Winkelhalbierenden]] dieses Mittendreiecks zum Schnitt bringt. Der Spieker-Punkt ist benannt nach dem Gymnasiallehrer [[Theodor Spieker]] (1823–1913).<ref>Jürgen Flachsmeyer; Rudolf Fritsch; Hans-Christian Reichel (Hrsg.): {{Webarchiv|url=http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/tetrakug.pdf |wayback=20131113204451 |text=''Mathematik-Interdisziplinär''. }} (PDF; 177 kB)</ref>

== Eigenschaften ==

* Der Spieker-Punkt eines Dreiecks stimmt mit dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Kanten-Schwerpunkt]] des zugehörigen Dreiecksumfangs überein, d. h. also beispielsweise dem Schwerpunkt eines Drahtmodells des Dreiecks.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=107}}</ref>
* Der Spieker-Punkt liegt mit dem [[Inkreis]]mittelpunkt, dem Schwerpunkt und dem [[Nagel-Punkt]] auf einer Geraden.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" /> Er halbiert die Verbindungsstrecke zwischen dem Inkreismittelpunkt und dem Nagel-Punkt.<ref name="ETC-X10">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X10 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(10) |sprache=en |abruf=2025-01-23}}</ref>
* Der Spieker-Punkt ist der Mittelpunkt von [[Höhenschnittpunkt]] und [[Bevan-Punkt]].<ref name="ETC-X10" />
* Der Spieker-Punkt ist Mittelpunkt eines Kreises (engl. ''radical circle''), der die drei [[Ankreis]]e rechtwinklig schneidet.<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" />
* Der Spieker-Punkt liegt auf der [[Kiepert-Hyperbel]].<ref name="Grundmann-Spiekerpunkt" />

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Spieker-Punkts (<math>X_{10}</math>) sind (gleichwertig)
:<math>bc (b+c) : ca (c+a) : ab (a+b)</math> oder
:<math>\frac{\cos\beta + \cos\gamma}{1 - \cos\alpha} : \frac{\cos\gamma + \cos\alpha}{1 - \cos\beta} : \frac{\cos\alpha + \cos\beta}{1 - \cos\gamma}</math>.<ref name="ETC-X10" />

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind
:<math>(b+c) : (c+a) : (a+b)</math>.<ref name="ETC-X10" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Literatur ==
* Hans Walser: ''Symmetry''. MAA, 2000, ISBN 978-0-88385-532-4, S. 36
* Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 226–227, 249 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=SpiekerCenter |title=Spieker Center}}
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/beweis/bew/sp_punkt.html ''Der Spiekerpunkt als Schwerpunkt des Dreiecksumfangs''] auf www.schule-bw.de (Landesbildungsserver Baden-Württemberg)
* [https://gogeometry.com/center/spieker_center.html Spieker center] – Illustration und Eigenschaften auf gogeometry.com (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Spieker-Punkt - Versionsgeschichte

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