imported>Alva2004: Volumendehnung verlinkt II

2025-08-10T20:48:04Z

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[[Datei:Cmec stress ball f02 t6.png|mini|Spannungszustand mit entsprechenden Spannungsvektoren (rot und blau) in Abhängigkeit von ihrer Wirkfläche (gelb) an einer Materiekugel (blaugrau) in [[#Homogener Spannungszustand|homogenem Spannungszustand]] ]]
Der '''Spannungszustand''' ist die Gesamtheit aller denkbaren [[Spannungsvektor]]en in einem materiellen Punkt in einem [[Belastung (Physik)|belasteten]] [[Körper (Physik)|Körper]]<ref name="Altenbach"/>. Der Spannungszustand definiert den Spannungsvektor, der auf einer Fläche wirkt, in eindeutiger Weise.

Auf einen Körper können räumlich verteilte Volumenkräfte und an der Oberfläche verteilte Flächenlasten wirken. Im Innern eines solchermaßen belasteten Körpers werden [[mechanische Spannung]]en mit der [[Dimension (Größensystem)|Dimension]] Kraft pro Fläche hervorgerufen, die den Spannungszustand charakterisieren. Der Zugang zu ihm erfolgt über Spannungs[[vektor]]en, die sich aus einer gedanktlichen Zerteilung des Körpers nach dem [[Schnittprinzip]] ergeben. Der weggeschnittene Teil des Körpers nimmt vor dem Schnitt Kräfte auf, die nach dem Schnitt durch Spannungsvektoren nachgebildet werden, siehe auch [[Schnittreaktion]]. Jeder gedachten Schnittfläche an einer betrachteten Stelle im Körper ist ein anderer Spannungsvektor zugeordnet.<ref name="Betten"/>

Zur Visualisierung kann man sich um ein Partikel abseits von [[Störstelle]]n eine (infinitesimal) kleine Kugel vorstellen, in der überall in etwa derselbe Spannungszustand wie im Partikel herrscht, siehe Bild. Jedes gelbliche Flächenelement der Kugel hat eine andere Normale, und der ihr vom Spannungszustand zugeordnete Spannungsvektor kann als Pfeil dargestellt werden. Die Spannungsvektoren setzen sich vektoriell aus [[Normalspannung]]en (radial im Bild, blau Zug, rot Druck) und [[Schubspannung]]en (tangential im Bild) zusammen. Der [[Mohrscher Spannungskreis|Mohr’sche Spannungskreis]] und [[Lamés Spannungsellipsoid]] sind andere Möglichkeiten den Spannungszustand graphisch darzustellen. Der [[Spannungstensor]] fasst den Spannungszustand zu einem mathematischen Objekt zusammen und bildet die Flächennormalen linear auf die Spannungsvektoren auf der Fläche ab, siehe [[#Definition]].

Der Körper kann [[Starrer Körper|starr]], [[Festkörper|fest]], [[Flüssigkeit|flüssig]] oder [[Gas|gasförmig]] sein. Der Spannungszustand ist im Allgemeinen eine Funktion der Zeit und dem Ort im Körper und bildet sich aus abhängig von dessen Form, Materialeigenschaften, Belastungen und geometrischen Bindungen.

== Definition ==
[[Datei:kraefteantetraeder.png|mini|Vier flächenverteilte Kräfte (Pfeile) am infinitesimal kleinen Tetraeder (grau) müssen sich jederzeit und überall gegenseitig aufheben.]]
Drei Spannungsvektoren in einem Punkt auf drei verschiedenen Ebenen, deren Flächennormalen [[linear unabhängig]] sind, definieren den Spannungszustand in dem Punkt vollständig.<ref name="Prandtl"/>

Denn wenn auf einer vierten Ebene durch den Punkt, im Folgenden P genannt, der Spannungsvektor gesucht wird, dann ergibt sich dieser wie folgt in eindeutiger Weise aus den drei bekannten. Die vierte Ebene werde dazu ein infinitesimales Stück vom Punkt P weg [[Parallelverschiebung|parallelverschoben]], wodurch die vier Ebenen einen [[Tetraeder]] aus dem Körper ausschneiden, siehe Bild. Der Tetraeder sei so klein, dass in seinem Raumbereich der Spannungszustand gleichförmig ist. Dann bilden die mit ihrer Tetraederfläche multiplizierten Spannungsvektoren Kräfte, die mit der Kraft auf der vierten Fläche im [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] sein müssen, denn Volumeneffekte (Erdbeschleunigung, Magnetismus, …) streben beim infinitesimal kleinen Tetraeder als volumenproportionale Größen gegenüber den flächenproportionalen Kräften der Spannungsvektoren gegen Null. Damit ist die Kraft auf der vierten Seite eindeutig bestimmt. Rein geometrisch ist aber auch aus drei Tetraederflächen die vierte Fläche nach Inhalt und [[Normaleneinheitsvektor]] eindeutig bestimmt und folglich der Spannungsvektor auf der Fläche. Weil im Raumbereich des Tetraeders der Spannungszustand gleichförmig ist, wirkt dieser Spannungsvektor auch auf der vierten Ebene durch P.

Eine genaue Analyse zeigt, dass deshalb der Zusammenhang zwischen den Flächennormalen und den Spannungsvektoren ein linearer sein muss, was die Aussage des [[Cauchysches Fundamentaltheorem|Cauchy’schen Fundamentaltheorems]] ist, mit dem [[Augustin-Louis Cauchy]] den Spannungstensor als [[Linearer Operator|linearen Operator]] zwischen den [[Normaleneinheitsvektor]]en und den [[Spannungsvektor]]en einführte.

== Grad des Spannungszustands ==
Der Grad des Spannungszustands wird von der Anzahl der nicht verschwindenden [[Mechanische Spannung#Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung|Hauptspannungen]] bestimmt.

[[Datei:Druckversuch schematisch.svg|mini|Druckversuch mit Querdehnungsbehinderung]]
Unter einaxialem oder uniaxialem Zug bzw. Druck kann sich ein einachsiger Spannungszustand ausbilden, mit von null verschiedener [[Hauptspannung]] in Belastungsrichtung und verschwindenden Hauptspannungen senkrecht dazu. Auf Zug belastete, lange, schlanke, homogene [[Stab (Statik)|Stäbe]] oder [[Seilstatik#Eigenschaften der Seile|Seile]] weisen abseits von der Lasteinleitungszonen in guter Näherung einen einachsigen Spannungszustand auf.

Bei biaxialem Zug herrscht ein zweiachsiger oder ebener Spannungszustand (zwei Hauptspannungen in den Belastungsrichtungen, die dritte Hauptspannung senkrecht zur Ebene ist null). An unbelasteten Teilen der Oberfläche eines Körpers herrschen ebene Spannungszustände. Mehr dazu findet sich unten.

In unregelmäßig geformten Bauteilen/Proben (Bsp.: ISO-V-Probe aus [[Kerbschlagbiegeversuch]]), in Krafteinleitungsstellen, bei ungleichförmiger Belastung oder bei Querdehnungsbehinderung wie im Bild treten meist dreiachsige, ''räumliche Spannungszustände'' mit drei nicht verschwindenden Hauptspannungen auf.

== Spezialfälle ==
=== Hydrostatischer Spannungszustand ===
{{Siehe auch|Hydrostatischer Druck}}
Der hydrostatische Spannungszustand ist ein räumlicher Spannungszustand, der sich bei allseitigem Zug oder Druck ausbildet. Die Spannungsvektoren sind in jeder Schnittebene parallel zu ihrer Normale, es treten in keiner Ebene Schubspannungen auf, und alle Hauptspannungen sind gleich. In ruhenden Fluiden und Gasen ist dies der einzig mögliche auftretende Spannungszustand<ref name="Gross"/>, daher auch die Bezeichnung ''hydrostatisch.''

Der Druck der [[Erdatmosphäre]] erzeugt eine entsprechende hydrostatische Spannung in allen ansonsten unbelasteten Körpern. Die Spannungen sind dabei ortsabhängig, denn sie hängen von der Höhe ab. Viele Materialien können insbesondere hydrostatischem Druck in hohem Maße standhalten, siehe [[Festigkeitshypothese]]n.

Bei [[Trikline Anisotropie#Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität|trikliner]] oder [[Monokline Anisotropie#Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität|monokliner Anisotropie]] eines linear elastischen Materials treten im hydrostatischen Spannungszustand [[Schubverzerrung]]en auf, und in allen Anisotropieformen außer der [[Kubische Anisotropie|kubischen]] (trikline, monokline, [[Tetragonale Anisotropie#Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität|tetragonale]], [[Hexagonale Anisotropie#Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität|hexagonale]], [[Orthotropie#Elastizitätsgesetz für 3D|orthotrope]] und [[Transversale Isotropie#Spannungs-Dehnungs-Beziehung|transversale]] Anisotropie) können die Normaldehnungen richtungsabhängig sein. Nur im wichtigen Spezialfall der [[Hookesches Gesetz|linear elastischen Isotropie]] und der [[Kubische Anisotropie#Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität|kubischen Anisotropie]] ruft ein hydrostatischer Spannungszustand rein volumetrische [[Dehnung]]en hervor. [[Inkompressibilität]] des Materials verhindert [[Volumendehnung]]en.

=== Ebener Spannungszustand ===
Ebene Spannungszustände kommen bei biaxialem Zug oder an unbelasteten Teilen der Oberfläche von Körpern vor. Genauso kann auch in dünnen [[Schale (Technische Mechanik)|Schalen]], [[Flugmembran]]en oder [[Flächentragwerk]]en fernab von Krafteinleitungsstellen oder anderen Störstellen von einem ebenen Spannungszustand ausgegangen werden. Er kann anschaulich durch den [[Mohrscher Spannungskreis|Mohr’schen Spannungskreis]] dargestellt werden<ref name="Hauger"/>.

An unbelasteten Teilen der Körperoberfläche sind die Bedingungen des ebenen Spannungszustands exakt erfüllt, denn die [[Schnittreaktion]] entfällt dort in der [[Tangentialebene]] an die Oberfläche nach Voraussetzung. Im Körperinneren kann ein ortsabhängiger Spannungszustand bei einer [[Poissonzahl]] ungleich null nur näherungsweise ein ebener sein. Denn die vom Spannungszustand verursachten Dehnungen in der Ebene bewirken senkrecht zur Ebene ebenso ortsabhängige [[Querkontraktion]]en des Körpers, in dem nun [[Scherung (Mechanik)|Scherungen]] senkrecht zur Ebene auftreten. Diese Scherungen gehen im Allgemeinen aber mit entsprechenden, senkrecht zur Ebene wirkenden Schubspannungen einher. Nur wenn diese vernachlässigbar klein sind, kann noch von einem ebenen Spannungszustand gesprochen werden.

=== Homogener Spannungszustand ===
Der homogene Spannungszustand ist ein ''ortsunabhängiger'' Spannungszustand, das heißt, die Spannungen sind in einem betrachteten Bereich überall gleich groß. In einem homogenen Spannungszustand wird das Tragverhalten eines Materials optimal ausgenutzt, denn örtliche [[Spannung (Mechanik)|Spannungs]]konzentrationen ([[Beanspruchung (Technische Mechanik)|Beanspruchung]]serhöhungen), die wie in [[Kerbwirkung|Kerben]] zu einem [[Materialversagen]] führen können, treten hier [[per definitionem]] nicht auf.

In der experimentellen Spannungsanalyse werden homogene Spannungszustände genutzt, um das Materialverhalten zu untersuchen, z. B. in [[Zugprobe]]n. Denn in einem homogenen Material stellt sich dann ein ebenso homogener [[Verzerrungszustand]] ein, und es genügt dann, die Dehnung an einem Punkt zu messen (etwa mit [[Dehnungsmessstreifen]], [[Messkamera]]s oder [[Messarm]]en). Die Parameter eines geeigneten [[Materialmodell]]s können nun anhand der aufgebrachten Spannungen und gemessenen Dehnungen ermittelt werden.

In diesem Zusammenhang ist die ''universale Deformation'' nützlich, die bei beliebigem homogenem Material durch ausschließlich oberflächlich eingeleitete Spannungen hervorgerufen werden kann.<ref name="Truesdell"/> Eine universale Deformation mit homogenem Spannungszustand wird bei ein- oder mehraxialem Zug, insbesondere hydrostatischem Druck, bei Scherung oder Torsion geschaffen.

Der homogene Spannungszustand ist eine [[Idealisierung (Physik)|Idealisierung]], die in realen Körpern kaum zu finden ist. Denn viele Körper besitzen [[Störstelle]]n, [[Lunker]], [[Haarriss]]e oder [[Kerbe]]n. Auch Materialgrenzen, Krafteinleitungsstellen oder Bereiche mit Eigenspannungen weisen in ihrer Nähe inhomogene Spannungszustände auf. Diese bewirken inhomogene Dehnungen, die z. B. bei Eigenspannungsbestimmung durch Freibohren ersichtlich werden. Es gibt mathematischen Methoden um diese Dehnungen zu interpretieren und auszuwerten. Nach dem [[Prinzip von St. Venant]] klingt die Störung mit zunehmender Entfernung von der Störstelle ab, und es stellt sich ein homogener Spannungszustand ein.

=== Spannungszustände in Flächenträgern ===
{{Hauptartikel|Schale (Technische Mechanik)}}
[[Datei:Schalerb.png|mini|Membran- und Biegespannungszustand in einer durch eine Einzelkraft belasteten Kuppelschale]]
Das Bild zeigt eine Kuppelschale, die in ihrer Mitte mit einer Einzelkraft belastet wird. Fernab der Krafteinleitung liegt der ''Membranspannungszustand'' vor (blau im Bild). In der Umgebung der Krafteinleitung, die eine Störstelle ist, liegt ein ''Biegespannungszustand'' vor (grün).

Unter bestimmten Voraussetzungen werden in einer Schale die Belastungen vorrangig durch über die Wandstärke konstant verteilte und zur Schalenmittelfläche parallele Spannungen zu den Stützen hin abgeleitet. In solchen Fällen wird von einem Dehnspannungs- oder Membranspannungszustand gesprochen, der auch im ''Scheibenspannungszustand'' ebener Flächentragwerke vorliegt, siehe [[Scheibentheorie]]. Im Membranspannungszustand wird das Tragverhalten des Materials optimal ausgenutzt. Der Membranspannungszustand bildet sich fernab von Krafteinleitungsstellen und anderer Störstellen aus.

In der Nähe von Störstellen kommt es bei Schalen zum ungünstigeren Biegespannungszustand. In der Umgebung der Störstelle entstehen über die Schalendicke variierende Biegespannungen und Schubspannungen senkrecht zur Schalenmittelfläche. Nach dem [[Prinzip von St. Venant]] klingen die Störungen aber mit dem Abstand zur Störstelle rasch ab. Der Biegespannungszustand kann mit dem ''Plattenspannungszustand'' ebener Flächentragwerke verglichen werden, siehe [[Plattentheorie]].

== Anwendung in der Festigkeitslehre ==
Der Spannungszustand kann zur Charakterisierung von [[Verformung]]en in Bauteilen herangezogen werden, wobei [[Dehnung]]en dann auch noch eine Rolle spielen. Der Spannungszustand eignet sich insbesondere für Festigkeitsbetrachtungen in isotropen elastischen Festkörpern, wobei oft die Kenntnis einer oder mehrerer Spannungen im Querschnitt eines Bauteils an einer bestimmten Stelle oder an mehreren bestimmten Stellen für Rückschlüsse an anderer Stelle im gleichen Bauteil heranzuziehen versucht wird. Solche Festigkeitsbetrachtungen sind Gegenstand der [[Elastizitätstheorie|Elastizitäts-]] und der [[Plastizitätstheorie]]. Die Verformungen verursachen Spannungen und können durch [[Festigkeitsberechnung]]en oftmals systematisch ermittelt werden. Eine häufig verwendete Vorgehensweise ist dabei die, dass man die räumlichen Spannungszustände an einem aussagekräftigen Punkt in einem belasteten Bauteil ermittelt, indem man Dehnungen am Bauteil mit [[Dehnungsmessstreifen]]-[[Messtechnik]] misst, diese über bestimmte Rechnungen in einen [[Spannungstensor]] einbringt und anschließend durch [[Hauptachsentransformation]] extremale Spannungen ermittelt.

== Siehe auch ==
* [[Spannungstensor]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Altenbach">
{{Literatur
| Autor=H. Altenbach
| Titel=Kontinuumsmechanik
| Verlag=Springer
| Datum=2012
| ISBN=978-3-642-24118-5
| Seiten=142}}
</ref>
<ref name="Prandtl">
{{Literatur
| Hrsg=H. Oertel
| Titel=Prandtl-Führer durch die Strömungslehre
| TitelErg=Grundlagen und Phänomene
| Auflage=13.
| Verlag=Springer Vieweg
| Datum=2012
| ISBN=978-3-8348-1918-5}}
</ref>
<ref name="Gross">
{{Literatur
| Autor=Dietmar Gross, Werner Hauger, Peter Wriggers
| Titel=Technische Mechanik 4.
| TitelErg=Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden
| Auflage=10., verbesserte und ergänzte Auflage
| Verlag=Springer Vieweg
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2018
| ISBN=978-3-662-55693-1
| Seiten=3 ff.}}
</ref>
<ref name="Hauger">{{Literatur
| Titel=Technische Mechanik. 2: Elastostatik / Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang A. Wall
| Reihe=Lehrbuch
| Auflage=13., aktualisierte Auflage
| Verlag=Springer Vieweg
| Ort=Berlin; [Heidelberg]
| Datum=2017
| ISBN=978-3-662-53678-0
| Seiten=40 ff.}}
</ref>
<ref name="Truesdell">
{{Literatur
| Autor=C. Truesdell
| Hrsg=S. Flügge
| Titel=Die Nicht-Linearen Feldtheorien der Mechanik
| Sammelwerk=Handbuch der Physik
| Band=Bd. III/3
| Verlag=Springer
| Datum=2013
| ISBN=978-3-642-46017-3
| Seiten=184
| Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Betten">
{{Literatur
| Autor=J. Betten
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Elasto-, Plasto- und Kriechmechanik
| Seiten=59 f.
| Verlag=Springer
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=1993
| DOI=10.1007/978-3-662-08168-6
| ISBN=978-3-540-56646-5}}
</ref>
</references>

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Hans Göldner, [[Franz Holzweißig]]
| Titel=Leitfaden der Technischen Mechanik
| TitelErg=Statik, Festigkeitslehre, Kinematik, Dynamik
| Auflage=11. verb. Auflage
| Verlag=Fachbuchverlag
| Ort=Leipzig
| Datum=1989
| ISBN=3-343-00497-9}}
* {{Literatur
| Autor=[[Eduard Pestel]], Jens Wittenburg
| Titel=Technische Mechanik
| Band=Band 2, Festigkeitslehre
| Auflage=2. überarb. und erw. Auflage
| Hrsg=Bibliographisches Institut
| Ort=Mannheim
| Datum=1992
| ISBN=3-411-14822-5}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4329548-4}}

[[Kategorie:Mechanische Spannung]]
[[Kategorie:Technische Mechanik]]

Spannungszustand - Versionsgeschichte

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