imported>PerfektesChaos: tk k

2019-07-08T21:39:03Z

tk k

Neue Seite

[[Datei:Matrix-1-norm qtl1.svg|mini|Illustration der Spaltensummennorm]]
Die '''Spaltensummennorm''' ist in der [[Mathematik]] die von der [[Summennorm]] abgeleitete [[natürliche Matrixnorm]]. Die Spaltensummennorm einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] entspricht der maximalen Betragssumme aller ihrer Spalten. Sie ist [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und mit der Summennorm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]]. Die Spaltensummennorm wird insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] verwendet.

== Definition ==

Die Spaltensummennorm <math>\| \cdot \|_1</math> einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> mit <math>\mathbb K</math> als dem [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen ist die von der [[Summennorm]] abgeleitete [[natürliche Matrixnorm]] und damit definiert als

: <math>\| A \|_1 := \max_{x \neq 0}\frac{\| Ax \|_1}{\| x \|_1} = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1</math>.

Anschaulich entspricht die Spaltensummennorm dem größtmöglichen [[Zentrische Streckung|Streckungsfaktor]], der durch die Anwendung der Matrix auf einen [[Vektor]] mit Betragssumme Eins entsteht. Für die Spaltensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

: <math>\| A \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \sum_{i=1}^m \left| \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right| = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | a_{ij} |</math>.

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes <math>i</math> für einen der [[Einheitsvektor]]en <math>x = \pm e_j</math> mit <math>j=1, \ldots ,n</math> maximal wird. Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten [[Zeilensummennorm]] <math>\| \cdot \|_\infty</math> hilft folgende [[Merkspruch|Merkregel]]: die <math>1</math> steht senkrecht und steht für die Spalten, während die <math>\infty</math> waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

== Beispiele ==

'''Reelle Matrix'''

Die Spaltensummennorm der reellen (2 × 3)-Matrix

: <math>A = \begin{pmatrix} 1 & {-2} & {-3} \\ 2 & 3 & {-1} \end{pmatrix}</math>

berechnet sich als

: <math>\| A \|_1 = \max \{ | 1 | + | 2 |, | {-2} | + | 3 |, | {-3} | + | {-1} | \} = \max \{ 3, 5, 4 \} = 5</math>.

'''Komplexe Matrix'''

Die Spaltensummennorm der komplexen (2 × 3)-Matrix

: <math>A = \begin{pmatrix} 1 & -2i & 3-i \\ 2i & 3 & -1-i \end{pmatrix}</math>

berechnet sich als

:<math>\| A \|_1 = \max \{ | 1 | + | 2i |, | -2i | + | 3 |, | 3-i | + | -1-i | \} = \max \{ 3, 5, \sqrt{10}+\sqrt{2} \} = 5</math>.

== Eigenschaften ==

=== Normeigenschaften ===

Die Normaxiome [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Additivität#Sub- und Superadditivität|Subadditivität]] folgen für die Spaltensummennorm direkt aus den entsprechenden [[Natürliche Matrixnorm#Normaxiome|Eigenschaften]] von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Spaltensummennorm damit auch [[Submultiplikativität|submultiplikativ]] und mit der Summennorm [[Matrixnorm#Verträglichkeit mit einer Vektornorm|verträglich]], das heißt, es gilt

: <math>\| A \cdot x \|_1 \leq \| A \|_1 \cdot \| x \|_1</math>

für alle Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> und alle Vektoren <math>x \in {\mathbb K}^n</math> und die Spaltensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

=== Adjungierte ===

Für eine [[adjungierte Matrix]] <math>A^H \in {\mathbb K}^{n \times m}</math> (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) gilt

: <math>\| A^H \|_1 = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | \bar{a}_{ji} | = \max_{i=1, \ldots ,n} \sum_{j=1}^m | a_{ij} | = \| A \|_\infty</math>,

wobei <math>\bar{a}</math> die [[konjugiert komplex]]e Zahl zu <math>a</math> mit dem gleichen Betrag ist. Die Spaltensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Zeilensummennorm der Ausgangsmatrix. Die [[Spektralnorm]] einer Matrix kann dadurch als [[geometrisches Mittel]] aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Auflage=8.
|Verlag=Vieweg & Teubner
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-1551-4}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=MaximumAbsoluteColumnSumNorm |title=Maximum Absolute Column Sum Norm}}

[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Spaltensummennorm - Versionsgeschichte

imported>PerfektesChaos: tk k