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2022-01-27T18:50:20Z

Beispiele offener Mengen: Formatierung

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Die '''Sorgenfrey-Gerade''' ist ein nach dem Mathematiker [[Robert Henry Sorgenfrey]] benanntes Beispiel aus dem [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].

== Definition ==
Die Sorgenfrey-Gerade <math>R</math> ist derjenige [[Topologischer Raum|topologische Raum]], der auf der Menge <math>\R</math> von allen halboffenen [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] <math>[a,b)</math> als [[Basis (Topologie)|Basis]] erzeugt wird, das heißt, die [[Offene Menge|offenen Mengen]] dieses Raums sind die als beliebige Vereinigung halboffener Intervalle <math>[a,b)</math> darstellbaren Mengen.

== Bemerkungen ==
* Ersetzt man die halboffenen Intervalle <math>[a,b)</math> durch <math>(a,b]</math>, so kann man eine analoge Konstruktion durchführen. Man erhält einen zur Sorgenfrey-Geraden homöomorphen Raum, <math> x\mapsto -x</math> ist offenbar ein [[Homöomorphismus]].
* Das [[Produkttopologie|Produkt]] <math>R^2 = R\times R</math> heißt [[Sorgenfrey-Ebene]] und ist ebenfalls ein wichtiges Beispiel in der Topologie.

== Beispiele offener Mengen ==
Alle Mengen der Form

: <math>(-\infty,a) = \bigcup_{n=0}^\infty[a-n,a)</math>
: <math>[a,\infty) = \bigcup_{n=0}^\infty[a,a+n)</math>

sind offen. Daher sind die Mengen <math>[a,b)</math> nicht nur offen, sondern wegen <math>[a,b) = \R\setminus((-\infty,a)\cup[b,\infty))</math> auch [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], das heißt <math>R</math> besitzt eine Basis aus offen-abgeschlossenen Mengen.

Jedes bezüglich der [[Reelle Zahl#Topologie, Kompaktheit, erweiterte reelle Zahlen|euklidischen Topologie]] offene Intervall <math>(a,b)</math> ist auch offen bezüglich der Topologie der Sorgenfrey-Geraden, denn

: <math>(a,b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[a+\frac{1}{n},b \right)</math>.

== Eigenschaften ==
Die Sorgenfrey-Gerade <math>R</math> hat folgende Eigenschaften:

* <math>R</math> ist ein [[perfekt normaler Raum]].
* <math>R</math> hat die [[Lebesgue’sche Überdeckungsdimension]] 0.
* <math>R</math> ist [[total unzusammenhängend]].
* <math>R</math> ist nicht [[Diskrete Topologie|diskret]], denn eine einelementige Menge enthält keine Basismenge. Die Topologie der Sorgenfrey-Geraden ist aber echt feiner als die euklidische Topologie auf <math>\R</math>.
* <math>R</math> ist separabel (<math>\Q</math> liegt dicht, denn jede Basismenge enthält eine rationale Zahl), genügt dem ersten [[Abzählbarkeitsaxiom]] (die Mengen <math>\textstyle \left[a,a+\frac{1}{n}\right)</math> bilden eine [[Umgebungsbasis]] von <math>a\in R</math>), aber nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
* <math>R</math> ist nicht [[metrisierbar]], denn für metrische Räume folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
* <math>R</math> ist [[parakompakt]], aber weder [[Sigma-kompakt|σ-kompakt]] noch [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]].

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Johann Cigler]], [[Hans-Christian Reichel]]
|Titel=Topologie. Eine Grundvorlesung
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=121
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00121-6}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lynn Arthur Steen]], J. Arthur Seebach
|Titel=Counterexamples in Topology
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=New York u. a.
|Datum=1978
|ISBN=0-387-90312-7}}

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Kompaktheit]]
[[Kategorie:Zusammenhang]]

Sorgenfrey-Gerade - Versionsgeschichte

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