imported>Christian1985: /* Sobolevsche Einbettungssätze im Rd */

2026-02-13T18:37:22Z

Sobolevsche Einbettungssätze im Rd

Neue Seite

Ein '''Sobolev-Raum''', auch '''Sobolew-Raum''' (nach [[Sergei Lwowitsch Sobolew]], bei einer [[Transliteration]] und in englischer [[Transkription (Schreibung)|Transkription]] Sobolev), ist in der [[Mathematik]] ein [[Funktionenraum]] von [[Schwache Ableitung|schwach differenzierbaren Funktionen]], der zugleich ein [[Banachraum]] ist. Das Konzept wurde durch die systematische Theorie der [[Variationsrechnung]] zu Anfang des [[20. Jahrhundert]]s wesentlich vorangetrieben. Diese minimiert [[Funktional]]e über Funktionen. Heute bilden Sobolev-Räume die Grundlage der Lösungstheorie [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]].

== Sobolev-Räume ganzzahliger Ordnung ==
=== Definition als Funktionenraum schwacher Ableitungen ===
Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> [[offene Menge|offen]] und [[Menge (Mathematik)#Nichtleere Menge|nichtleer]]. Sei <math>1\leq p \leq\infty</math> und <math>k \in \mathbb{N}</math>.

Dann ist der Sobolev-Raum <math>W^{k,p}(\Omega)</math> definiert als:
: <math>W^{k,p}(\Omega)= \left \{ u \in L^p(\Omega) : \,\, \forall \alpha \in \mathbb{N}^n\,\,\text{mit}\,\, |\alpha| \leq k \,\,\text{existieren} \,\,D^{\alpha}u \in L^p(\Omega) \right \}</math>

Dabei bezeichnet <math>D^{\alpha}u</math> die [[schwache Ableitung|schwachen Ableitungen]] von <math>u</math>.

Mit anderen Worten ist der Sobolev-Raum der Raum derjenigen reellwertigen Funktionen <math>u\in L^p(\Omega)</math>, deren gemischte partielle [[schwache Ableitung]]en bis zur Ordnung <math>k</math> im [[Lebesgue-Raum]] <math>L^p(\Omega)</math> liegen.

Für <math>W^{k,p}(\Omega)</math> ist ebenfalls die Schreibweise <math>W_p^k(\Omega)</math> üblich.

=== Sobolev-Norm ===
Für Funktionen <math>u\in W^{k,p}(\Omega)</math> definiert man die <math>W^{k,p}(\Omega)</math>-Norm durch

: <math>
\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)} =
\begin{cases}
\left(\sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}^p\right)^{1/p},
& \text{falls }p < \infty,\\
\max_{|\alpha|\le k} \|D^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)},
& \text{falls }p = \infty.
\end{cases}
</math>

Dabei ist <math>\alpha</math> ein [[Multiindex]] <math>\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)</math> mit <math>\alpha_i \in \mathbb{N}_0</math> und <math>\textstyle D^\alpha u := \left(\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_{n}^{\alpha_n}}\right) u</math>. Weiterhin ist <math>\textstyle |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i</math>.

Die hier angegebene Sobolev-Norm ist als [[Norm (Mathematik)|Norm]] [[Äquivalente Normen|äquivalent]] zur Summe der [[Lp-Raum|<math> L^p </math>-Normen]] aller möglicher Kombinationen partieller Ableitungen bis zur <math>k</math>-ten Ordnung. Der Sobolev-Raum <math>W^{k,p}(\Omega)</math> ist bezüglich der jeweiligen Sobolev-Norm [[Vollständiger Raum|vollständig]], also ein Banachraum.

=== Definition als topologischer Abschluss ===
Betrachten wir nun den Raum der <math>C^\infty(\Omega)</math>-Funktionen, deren [[partielle Ableitung]]en bis zum Grad <math>k</math> in <math>L^p(\Omega)</math> liegen, und bezeichnen diesen Funktionenraum mit <math>C^{k,p}(\Omega)</math>. Da verschiedene <math>C^{k,p}</math>-Funktionen nie zueinander <math>L^p</math>-äquivalent (siehe auch [[Lp-Raum|Lp-Raum]]) sind, kann man <math>C^{k,p}(\Omega)</math> in <math>L^p(\Omega)</math> einbetten, und es gilt folgende Inklusion
: <math>C^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega).</math>

Der Raum <math>C^{k,p}(\Omega)</math> ist bzgl. der <math>W^{k,p}</math>-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessen [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] gerade <math>W^{k,p}(\Omega)</math>. Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung ''k'' können als [[Linearer Operator#Beschränkte lineare Operatoren|stetige Operatoren]] auf diesen Sobolev-Raum eindeutig [[Stetige Fortsetzung|stetig fortgesetzt]] werden. Diese Fortsetzungen sind gerade die [[Schwache Ableitung|schwachen Ableitungen]].

Somit erhält man eine alternative Definition von Sobolevräumen. Nach dem [[Satz von Meyers-Serrin]] ist sie äquivalent zur obigen Definition.

=== Eigenschaften ===
Wie bereits erwähnt, ist <math>W^{k,p}(\Omega)</math> mit der Norm <math>\|{\cdot}\|_{W^{k,p}(\Omega)}</math> ein vollständiger [[Vektorraum]], somit also ein [[Banachraum]]. Für <math>1 ist er sogar [[Reflexiver Raum|reflexiv]].

Für <math>p=2</math> wird die Norm durch das [[Skalarprodukt]]
: <math> (u,v)_{W^{k,2}(\Omega)} :=
\sum_{|\alpha|\le k} (D^\alpha u, D^\alpha v)_{L^2(\Omega)}</math>
[[Skalarproduktnorm|induziert]]. <math>W^{k,2}(\Omega)</math> ist daher ein [[Hilbertraum]], und man schreibt auch <math>H^k(\Omega) := W^{k,2}(\Omega)</math>.

== Randwertprobleme ==
Die schwache Ableitung beziehungsweise die Sobolev-Räume wurden zum Lösen partieller Differentialgleichungen entwickelt. Jedoch gibt es beim Lösen von [[Randwertproblem]]en noch eine Schwierigkeit. Die schwach differenzierbaren Funktionen sind ebenso wie die <math>L^p</math>-Funktionen auf [[Nullmenge]]n nicht definiert. Der Ausdruck <math>f|_{\partial \Omega} = g</math> für <math>f \in W^{q,p}(\Omega)</math> und <math>g \in C(\partial \Omega)</math> ergibt also erst einmal keinen Sinn. Für dieses Problem wurde die [[Einschränkung (Mathematik)|Restriktionsabbildung]] <math>f \mapsto f|_{\partial \Omega}</math> zum Spuroperator verallgemeinert.

=== Spuroperator ===
Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> ein beschränktes [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] mit <math>C^{m}</math>-Rand, <math>m \in \mathbb{N}</math>. Dann existiert ein beschränkter, linearer Operator
: <math> T : W^{m,p}(\Omega) \to W^{m-1,q}(\partial \Omega),</math>
sodass
: <math> Tu = u|_{\partial \Omega}</math> falls <math>u \in C^{m}(\overline{\Omega})</math>
und
: <math>\|Tu\|_{W^{m-1,q}(\partial \Omega)} \leq C \|u\|_{W^{m,p}(\Omega)}</math> für alle <math>u \in W^{m,p}(\Omega)</math>
gilt. Dabei ist
: <math> q= (n-1)p/(n-p)</math> wenn <math> p < n</math>
: <math> q< \infty</math> wenn <math> p = n</math>
: <math> q= \infty</math> wenn <math> p > n</math>
Die Konstante <math>C</math> hängt nur von <math>p</math>, <math>\Omega</math>, <math>m</math> und <math>q</math> ab. Der Operator <math>T</math> heißt ''Spuroperator''.<ref>[https://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~dobro/pub/fem.pdf mathematik.uni-wuerzburg.de] (PDF) Satz 3.15</ref>
Eine ähnliche Aussage lässt sich auch für [[Lipschitz-Gebiet]]e beweisen:

=== Spuroperator für Lipschitz-Gebiete ===
Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, also mit <math>C^{0,1}</math>-Rand. Dann existiert ein beschränkter linearer Operator
: <math> T : W^{1,p}(\Omega) \to L^{q}(\partial \Omega),</math>
sodass
: <math> Tu = u|_{\partial \Omega}</math> falls <math>u \in C^{\infty}(\overline{\Omega})</math>
und
: <math>\|Tu\|_{L^{q}(\partial \Omega)} \leq C \|u\|_{W^{1,p}(\Omega)}</math> für alle <math>u \in W^{1,p}(\Omega)</math>
gilt. Dabei ist
: <math> q= (n-1)p/(n-p)</math> wenn <math> p < n</math>,
: <math> q< \infty</math> wenn <math> p = n</math>,
: <math> q= \infty</math> wenn <math> p > n</math>.
Die Konstante <math>C</math> hängt ausschließlich von <math>p</math>, <math>\Omega</math> und <math>q</math> ab.<ref>M. Dobrowolsky: ''Angewandte Funktionalanalysis''. 2. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-15268-9, Satz 6.15</ref>

=== Sobolev-Raum mit Nullrandbedingungen ===
Mit <math>W^{k,p}_0(\Omega)</math> bezeichnet man den Abschluss des [[Testfunktion]]enraums <math>C^\infty_c(\Omega)</math> in <math>W^{k,p}(\Omega)</math>. Das bedeutet <math>u \in W^{k,p}_0(\Omega)</math> gilt genau dann, wenn es eine Folge <math>(u_m)_{m \in \N} \subset C^{\infty}_c(\Omega)</math> gibt mit <math>u_m \to u</math> in <math>W^{k,p}(\Omega).</math>

Für <math>k = 1</math> kann man beweisen, dass diese Menge genau die Sobolev-Funktionen mit Nullrandbedingungen sind. Hat also <math>\Omega</math> einen [[Lipschitz-Rand]],<ref>M. Dobrowolsky: ''Angewandte Funktionalanalysis''. 2. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-15268-9, Satz 6.17</ref> dann gilt <math>u \in W^{1,p}_0(\Omega)</math> genau dann, wenn <math>u|_{\partial \Omega} = 0</math> im Sinne von Spuren gilt.

== Einbettungssätze ==
=== Sobolev-Zahl ===
Jedem Sobolev-Raum <math>W^{k,p}(\Omega)</math> mit <math>\Omega \subset \R^n</math> ordnet man eine Zahl zu, die wichtig im Zusammenhang mit Einbettungssätzen ist. Man setzt
: <math>\gamma := k - \frac{n}{p}</math>
und nennt diese Zahl <math>\gamma</math> die Sobolev-Zahl.

=== {{Anker|Einbettungssatz von Sobolew|Lemma von Sobolev}} Einbettungssatz von Sobolev ===
Es gibt mehrere miteinander in Beziehung stehende Aussagen, die man mit Einbettungssatz von Sobolev, sobolevscher Einbettungssatz oder mit Lemma von Sobolev bezeichnet.
Sei <math>\Omega</math> eine offene und beschränkte Teilmenge von <math>\mathbb R^n</math>, <math>1 \leq p < \infty</math>, <math>k \in \N_0</math> und <math>\gamma</math> die Sobolev-Zahl zu <math>W^{k,p}(\Omega)</math>. Für <math>\gamma > m</math> existiert eine [[Einbettung (Mathematik)|stetige Einbettung]]
: <math>W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^m(\Omega) \subset C(\Omega),</math>

wobei <math>C^m(\Omega)</math> beziehungsweise <math>C(\Omega)</math> mit der [[Supremumsnorm]] ausgestattet sind. Mit anderen Worten hat jede Äquivalenzklasse <math>f \in W^{k,p}(\Omega)</math> einen Vertreter in <math>C^m(\Omega)</math>. Gilt hingegen <math>\gamma \leq 0</math>, so kann man <math>W^{k,p}(\Omega)</math> zumindest stetig in den Raum <math>L^{q}(\Omega)</math> für alle <math>1 \leq q < \tfrac{np}{n-kp}</math> einbetten, wobei <math>\tfrac{np}{0} := \infty </math> gesetzt wird.

Aus dem sobolevschen Einbettungssatz lässt sich folgern, dass es für <math>(k-m)p \leq n</math> eine stetige Einbettung
: <math>W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow W^{m,q}(\Omega)</math>
für alle <math>1 \leq q \leq \tfrac{np}{n-(k-m)p}</math> gibt.

=== Einbettungssatz von Rellich ===
Sei <math>\Omega \subset \R^n</math> offen und beschränkt und <math>1 \leq p < \infty</math>. Dann ist die Einbettung
: <math>\operatorname{Id} \colon W^{k,p}_0(\Omega) \hookrightarrow W^{k-1,p}_0(\Omega)</math>
ein [[Kompakter Operator|linearer kompakter Operator]]. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{Id}</math> die [[identische Abbildung]].

=== Sobolevsche Einbettungssätze im R''d'' ===
Sei <math>d\geqslant 1</math> fortan eine fest vorgegebene Raumdimension, dann ist die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
{{NumBlk|:|<math>W^{1,p}(\R^d) \subseteq L^q(\R^d)</math>|1}}
stetig, sofern die Bedingungen
: <math>1\leqslant p\leqslant q\leqslant\infty,\quad\frac{d}{p}-1\leqslant \frac{d}{q},\quad\text{und}\quad (p,q)\notin\left\{\left(d,\infty\right),\left(1,\frac{d}{d-1}\right)\right\}</math>
erfüllt sind, d. h., es gibt eine Konstante <math>C=C(d,p,q)>0</math>, so dass die folgende Abschätzung gilt
{{NumBlk|:|<math>\left\|u\right\|_{L^q(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,p}(\mathbb{R}^d)}\quad\forall\,u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^d).</math>|2}}
Dieses Resultat folgt aus der [[Hardy-Littlewood-Sobolev-Ungleichung]] für gebrochene Integrationen. Hierbei sind die '''Endpunktfälle''' <math>(p,q)\in\left\{\left(d,\infty\right),\left(1,\frac{d}{d-1}\right)\right\}</math> gesondert zu untersuchen.

Im ersten Endpunktfall <math>(p,q)=\left(1,\frac{d}{d-1}\right)</math> ist die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
{{NumBlk|:|<math>W^{1,1}(\mathbb{R}^d)\subseteq L^{\frac{d}{d-1}}(\mathbb{R}^d)</math>|3}}
ebenfalls stetig, wobei wir <math>\tfrac{1}{0}:=\infty</math> im Fall <math>d=1</math> setzen. Daher gibt es erneut eine Konstante <math>C=C(d)>0</math>, so dass die folgende Abschätzung gilt
{{NumBlk|:|<math>\left\|u\right\|_{L^{\frac{d}{d-1}}(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,1}(\mathbb{R}^d)}\quad\forall\,u\in W^{1,1}(\mathbb{R}^d).</math>|4}}
Dieses Resultat folgt aus der [[Loomis-Whitney-Ungleichung]], die auf [[Emilio Gagliardo|Gagliardo]] und [[Louis Nirenberg|Nirenberg]] zurückgeht.

Im zweiten Endpunktfall <math>(p,q)=(d,\infty)</math> ist die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
{{NumBlk|:|<math>W^{1,d}(\mathbb{R}^d)\subseteq L^{\infty}(\mathbb{R}^d)</math>|5}}
nur für <math>d=1</math> erfüllt und stetig. Dies folgt beispielsweise aus dem [[Fundamentalsatz der Analysis]]. Für <math>d\geqslant 2</math> ist die Einbettung (5) grundsätzlich falsch und somit nicht erfüllt. Als Gegenbeispiel hierfür betrachte man die Funktion <math>f(x)=\sum_{n=1}^{N}\phi\left(2^n x\right)</math> für <math>N\in\N</math>, <math>\phi\in C_0^{\infty}(\R^d)</math> und <math>\mathrm{supp}\,\phi\subseteq\{x\in\R^d\mid 1\leqslant |x|\leqslant 2\}</math>. Insgesamt gibt es daher in Bezug auf (5) nur für <math>d=1</math> eine Konstante <math>C>0</math>, so dass die folgende Abschätzung gilt
{{NumBlk|:|<math>\left\|u\right\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,1}(\mathbb{R})}\quad\forall\,u\in W^{1,1}(\mathbb{R}).</math>|6}}
Die Einbettungen (3) und (5) werden '''Sobolevsche-Endpunkt-Einbettungen''' und die Abschätzungen (4) und (6) '''Sobolevsche-Endpunkt-Ungleichungen''' genannt.

Allgemeiner erhalten wir sogar, dass die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
{{NumBlk|:|<math>W^{k,p}(\R^d) \subseteq W^{l,q}(\R^d)</math>|7}}
stetig ist, sofern einer der folgenden Fälle erfüllt ist
: <math>\text{(i)}\; 0\leqslant l\leqslant k,\quad 1<p<q\leqslant\infty,\quad \frac{d}{p}-k<\frac{d}{q}-l,</math>
: <math>\text{(ii)}\; 0\leqslant l\leqslant k,\quad 1<p\leqslant q<\infty,\quad \frac{d}{p}-k\leqslant\frac{d}{q}-l,</math>
d. h., es gibt wieder eine Konstante <math>C=C(d,p,q,k,l)>0</math>, so dass die folgende Abschätzung gilt
{{NumBlk|:|<math>\left\|u\right\|_{W^{l,q}(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{k,p}(\mathbb{R}^d)}\quad\forall\,u\in W^{k,p}(\mathbb{R}^d).</math>|8}}
Dieses Resultat lässt sich unter Verwendung von (1) durch [[vollständige Induktion]] zeigen. Die Einbettung (7) wird '''Sobolevsche-Einbettung''' und die Abschätzung (8) '''Sobolevsche-Ungleichung''' genannt. Beachte, dass die Einbettung im Falle <math>q<p</math> grundsätzlich nicht erfüllt ist. Die Bedingungen (i) und (ii) zeigen sehr schön, inwiefern die zugehörigen Sobolev-Zahlen <math>\frac{d}{p}-k</math> und <math>\frac{d}{q}-l</math> miteinander in Beziehung stehen.
Man beachte, dass diese Version des Sobolevschen Einbettungssatzes im Vergleich zu der obigen Version ohne die zusätzliche und sehr einschränkende Bedingung <math>(k-l)p\leqslant d</math> auskommt. Die Beweise dieser Aussagen können in [https://terrytao.wordpress.com/2009/04/30/245c-notes-4-sobolev-spaces/ terrytao.wordpress.com] (Thm. 3, Ex. 20, Lem. 4, Ex. 24 und Ex. 25) nachgelesen werden und lassen sich aus den Standardquellen (unter diesen schwachen Voraussetzungen) leider nicht direkt gewinnen.

Darüber hinaus gilt das folgende Einbettungsresultat:

Die [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]]
{{NumBlk|:|<math>W^{d,1}(\R^d) \subseteq C_{\mathrm{b}}(\R^d)</math>|9}}
ist für alle <math>d\geqslant 1</math> stetig, d. h., es gibt eine Konstante <math>C=C(d)>0</math>, so dass die folgende Abschätzung gilt
{{NumBlk|:|<math>\left\|u\right\|_{\infty}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{d,1}(\mathbb{R}^d)}\quad\forall\,u\in W^{d,1}(\mathbb{R}^d).</math>|10}}
Hierbei bezeichnet <math>C_{\mathrm{b}}(\R^d)</math> die Menge der auf dem <math>\R^d</math> stetigen und beschränkten Funktionen und <math>\left\|\cdot\right\|_{\infty}</math> die [[Supremumsnorm]] auf dem <math>\R^d</math>.

== Sobolev-Raum reellwertiger Ordnung ==
=== Definition ===
Oft werden auch Sobolev-Räume mit reellen Exponenten <math>s</math> benutzt. Diese sind im Ganzraumfall
über die [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]] der beteiligten Funktion definiert. Die Fourier-Transformation wird hier mit <math>\mathcal F</math> bezeichnet.
Für <math>s \in \R,s \geq 0</math> ist eine Funktion <math>f \in L^2(\R^n)</math> ein Element von <math>H^s(\R^n)</math>, falls
: <math>\zeta \mapsto (1+|\zeta|^2)^{\frac{s}{2}}\cdot \mathcal{F}(f)(\zeta)\in L^2(\mathbb R^n)</math>
gilt. Auf Grund der Identität <math>\mathcal{F}(\partial^\alpha f) = (i\zeta)^\alpha \mathcal{F}(f)</math> sind dies für <math>s \in \N</math> dieselben Räume, welche schon im ersten Abschnitt definiert wurden. Mit
: <math> (f,g)_{H^s(\R^n)} := \int_{\R^n}(1 + |k|^2)^{s}
(\mathcal{F}(f))(k)\cdot \overline{(\mathcal{F}(g))(k)} dk</math>
wird <math>H^s(\R^n)</math> zu einem [[Hilbertraum]].
Die Norm ist gegeben durch
: <math> \|f\|_{H^s(\R^n)} := \|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2(\R^n)}</math>.
Für ein glatt berandetes, beschränktes Gebiet <math>\Omega \subset\R^n</math> wird der Raum <math>H^{s}(\Omega)\subset L^2(\Omega)</math> definiert als die Menge
aller <math>f \in L^2(\Omega)</math>, die sich zu einer (auf <math>\R^n</math> definierten) Funktion in <math> H^s(\R^n)</math> fortsetzen lassen.

Für <math>s<0</math> kann man ebenfalls Sobolev-Räume definieren. Dazu muss jedoch auf die [[Distributionentheorie|Theorie der Distributionen]] zurückgegriffen werden. Sei <math>\mathcal{S}'(\R^n)</math> der Raum der [[Temperierte Distribution|temperierten Distributionen]], dann ist <math>H^s(\R^n)</math> für alle <math>s \in \R</math> durch
: <math>H^s(\R^n) := \left\{f \in \mathcal{S}'(\mathbb R^n): (1+|\zeta|^2)^{\frac{s}{2}}\cdot \mathcal{F}(f)(\zeta)\in L^2(\R^n) \right\}</math>
definiert.

=== Dual- und Hilbertraum ===
Betrachtet man den Banachraum <math>H^s</math> mit dem <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle (u,v) := \int u(x)\overline{v(x)} \mathrm{d} x</math>, so ist <math>H^{-s}</math> sein [[Dualraum]]. Jedoch kann man den Raum <math>H^s</math> mit Hilfe des Skalarproduktes
: <math>(u,v)_{H^s}= \frac{1}{(2\pi)^n} \int \mathcal{F}(u)(\xi) \mathcal{F}(v)(\xi) (1 + |\xi|^2)^s \mathrm{d} \xi</math>
als einen [[Hilbertraum]] verstehen. Da Hilberträume zu sich selbst dual sind, ist nun <math>H^s</math> zu <math>H^s</math> und zu <math>H^{-s}</math> (bezüglich unterschiedlicher Produkte) dual. Man kann <math>H^s</math> und <math>H^{-s}</math> mit Hilfe des [[Isometrische Isomorphie|isometrischen Isomorphismus]]
: <math>\begin{align}
v \mapsto &\mathcal{F}^{-1}\left((1+|\xi|^2)^s \mathcal{F}(v)(\xi)\right)(x)\\
= &\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}((1+|D|^2)^s v(\xi))(x)\\
= &(1+|D|^2)^s v(x)
\end{align}</math>
identifizieren. Auf analoge Weise lassen sich auch die Räume <math>H^s</math> und <math>H^{s-l}</math> durch den isometrischen Isomorphismus
: <math>v \mapsto (1+|D|^2)^{\frac{l}{2}} v</math>
miteinander identifizieren.

== Anwendungen ==
Sobolev-Räume werden in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] verwendet. Die Lösungen der schwachen Formulierung einer partiellen Differentialgleichung liegen typischerweise in einem Sobolev-Raum.

Die Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] liefert damit auch numerische Lösungsverfahren. Die [[Finite-Elemente-Methode]] basiert auf der schwachen Formulierung der partiellen Differentialgleichungen und somit auf Sobolev-Raum-Theorie.

Sobolev-Räume spielen auch in der [[Optimale Steuerung|optimalen Steuerung]] partieller Differentialgleichungen eine Rolle.

== Siehe auch ==
* [[Sobolevsche orthogonale Polynome]]
* [[Lokal schwach differenzierbare Funktion]]
* [[Besov-Raum]]

== Literatur ==
* H.-W. Alt: ''Lineare Funktionalanalysis''. 5. Auflage. Springer, 2006, ISBN 3-540-34186-2
* R. A. Adams, J. J. F. Fournier: ''Sobolev Spaces''. 2nd edition. Academic Press, 2003, ISBN 0-12-044143-8
* M. Dobrowolsky: ''Angewandte Funktionalanalysis''. 2. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-15268-9
* L. C. Evans: ''Partial Differential Equations''. American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2
* L. C. Evans, R. F. Gariepy: ''Measure Theory and Fine Properties of Functions''. CRC, 1991, ISBN 0-8493-7157-0
* V. Mazja: ''Sobolev Spaces''. Springer, 1985, ISBN 3-540-13589-8
* W. P. Ziemer: ''Weakly Differentiable Functions''. Springer, 1989, ISBN 0-387-97017-7

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4055345-0}}

[[Kategorie:Normierter Raum]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Sobolev-Raum - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Sobolevsche Einbettungssätze im Rd */