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2026-02-10T16:39:26Z

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Das '''Smash-Produkt''' bezeichnet eine [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Konstruktion. Es ist vor allem in der [[Homotopietheorie]] wichtig.

== Definition ==
Für zwei gegebene [[Punktierter topologischer Raum|punktierte topologische Räume]] <math>(X, x_0)</math> und <math>(Y, y_0)</math> mit Basispunkten <math>x_0</math> und <math>y_0</math> betrachtet man zunächst den [[Produkttopologie|Produktraum]] <math>X\times Y</math> mit der Identifizierung <math>(x,y_0)\sim(x_0,y)</math> für alle <math>x\in X</math> und alle <math>y\in Y</math>. Der [[Quotiententopologie|Quotient]] von <math>X\times Y</math> unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von <math>(X, x_0)</math> und <math>(Y, y_0)</math> und wird mit <math>X \wedge Y</math> bezeichnet.
Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.

Wenn man den Raum <math>X</math> mit <math>X\times\left\{y_0\right\}</math> und <math>Y</math> mit <math>\left\{x_0\right\}\times Y</math>
identifiziert, so schneiden sich <math>X</math> und <math>Y</math> in <math>(x_0,y_0)</math> und das [[Wedge-Produkt (Topologie)|Wedge-Produkt]] <math>\vee</math> (also ihre [[disjunkte Vereinigung]]) liefert den [[Unterraum]] <math>X\vee Y</math> von <math>X\times Y</math>. Das Smash-Produkt ist dann der Quotient
:<math>X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y</math>.<ref name=hatcher10>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=University Press |Ort=Cambridge |Datum= 2000 |ISBN= 0-521-79540-0 |Online= [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Online] | Seiten=10}}</ref>
== Beispiele ==

*Das Smash-Produkt von zwei Sphären <math>S^m</math> und <math>S^n</math> ist homöomorph zur Sphäre <math>S^{m+n}</math>. Das Smash-Produkt von zwei [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]en ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem [[Torus]] ergibt.<ref name=hatcher10 />
*Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte [[Einhängung]] erhalten als:
:<math> \Sigma X = S^1 \wedge X</math>.<ref name=hatcher12>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=University Press |Ort=Cambridge |Datum= 2000 |ISBN= 0-521-79540-0 |Online= [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Online] | Seiten=12}}</ref>

== Eigenschaften ==
Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die [[Homotopie-Kategorie]] zu einer symmetrischen monoidalen [[Kategorientheorie|Kategorie]] macht, mit der 0-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] (bestehend aus zwei Punkten) als [[neutrales Element|neutralem Element]].<ref>{{Internetquelle |url=https://ncatlab.org/nlab/show/smash+product |titel=smash product in nLab |abruf=2023-05-14}}</ref> Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf [[Homöomorphie]] und assioziativ bis auf [[Homotopie]], das heißt <math>X\wedge(Y\wedge Z)</math> und <math>(X\wedge Y)\wedge Z</math> sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber [[Homotopieäquivalenz|homotopieäquivalent]].

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum [[Tensorprodukt]] von [[Modul (Mathematik)|Modul]]n ist. Für <math>A</math> [[lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] gilt die Adjunktionsformel
:<math>\mathrm{Top}_{\bullet} (X\wedge A,Y) \cong \mathrm{Top}_{\bullet} (X,\mathrm{Top}_{\bullet}(A,Y))\, ,</math>
wobei <math>Top_*(A,Y)</math> den Raum der Basispunkt-erhaltenden [[Stetige Abbildung|stetigen Abbildungen]] versehen mit
der [[Kompakt-offene Topologie|kompakt-offenen Topologie]] bezeichnet. Wenn man für <math>A</math> den Einheitskreis <math>S^1</math> nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung <math>\Sigma</math> links adjungiert zum [[Schleifenraum]] <math>\Omega</math> ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Homotopietheorie]]

Smash-Produkt - Versionsgeschichte

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