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2024-08-26T21:34:49Z

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In der Mathematik ist die '''Smarandache-Funktion''' eine Folge bzw. eine [[zahlentheoretische Funktion]], die mit der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] verwandt ist. Historisch gesehen wurde sie zuerst von [[Édouard Lucas]]<ref>[[Édouard Lucas|E. Lucas]]: ''Question Nr. 288''. In: ''Mathesis'', 3, 1883, S. 232</ref> (1883), [[Joseph Neuberg]]<ref>[[Joseph Neuberg|J. Neuberg]]: ''Solutions de questions proposées, Question Nr. 288''. In: ''Mathesis'', 7, 1887, S. 68–69</ref> (1887) und [[Aubrey J. Kempner]]<ref>Aubrey J. Kempner: ''Miscellanea''. In: ''American Mathematical Monthly'', 25, 1918, S. 201–210, [[doi:10.2307/2972639]]</ref> (1918) betrachtet. 1980<ref>[[Florentin Smarandache]]: ''A Function in Number Theory.'' In: ''An. Univ. Timişoara'', Ser. St. Mat., 18, 1980, S. 79–88. {{arXiv|math/0405143}}</ref> wurde sie von [[Florentin Smarandache]] „wiederentdeckt“.

== Definition und Werte ==

Die Smarandache-Funktion <math>\mu(n)</math> ist definiert als die kleinste [[natürliche Zahl]], für die <math>n</math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math>\mu(n)</math> teilt.

Formal ist <math>\mu(n)</math> also die kleinste natürliche Zahl, für die gilt
:<math>n\; |\; \mu(n)!</math>

=== Beispiele ===

Ist zum Beispiel der Wert <math>\mu(8)</math> gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, … zu suchen, die durch 8 teilbar ist. Da <math>\, 1!=1</math> und <math>2!=1\cdot2=2</math> und <math>3!=1\cdot2\cdot3=6</math> nicht durch acht teilbar sind, <math>4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24=3\cdot8</math> aber doch, ist <math>\, \mu(8)=4</math>.

Allerdings ist etwa <math>\mu(7)=7</math>, da die Zahl 7 keine der Zahlen 1!, 2!, …, 6! teilt, während sie 7! trivialerweise teilt.

Die ersten Werte sind:<ref>{{OEIS|A002034}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- class="hintergrundfarbe5"
! n
| 1
! 2
! 3
| 4
! 5
| 6
! 7
| 8
| 9
| 10
! 11
| 12
! 13
| 14
| 15
| 16
! 17
| 18
! 19
| 20
| 21
| 22
! 23
| 24
| 25
| 26
| 27
| 28
! 29
|-
!class="hintergrundfarbe6"| <math>\mu(n)</math>
| 1 (*)
! 2
! 3
| 4
! 5
| 3
! 7
| 4
| 6
| 5
! 11
| 4
! 13
| 7
| 5
| 6
! 17
| 6
! 19
| 5
| 7
| 11
! 23
| 4
| 10
| 13
| 9
| 7
! 29
|}

(*) Der Wert <math>\mu(1)</math> wird von manchen Autoren auch als 0 definiert. 

== Eigenschaften ==

Trivialerweise gilt
:<math>\, \mu(n)\le n,</math>
da ja <math>n</math> auf jeden Fall <math>n!=n\cdot(n-1)!</math> teilt.

Ein grundlegendes Resultat ist, dass Gleichheit in der obigen [[Ungleichung]] genau für [[Primzahl|prime]] <math>n</math> oder <math>n=4</math> eintritt:
:<math>\mu(n)=n\qquad\Leftrightarrow\qquad n \text{ prim}\quad \text{oder}\quad n=4</math>

''Beweis:''

<math>\Rightarrow</math>: Sei <math>\mu(n)=n</math> und <math>n</math> nicht prim. Dann ist <math>n=4</math> zu zeigen. Da <math>n</math> nicht prim ist, gibt es natürliche Zahlen <math>2\le s\ \le t < n</math> mit <math>n=st</math>. Wäre sogar <math>s<t</math>, so wäre <math>n=st|t!</math> und man erhielte den Widerspruch <math>\mu(n)\le t < n</math>. Also ist <math>s=t</math> und daher <math>n=t^2</math>. Wäre <math>2<t</math>, so folgte <math>t<2t<t^2=n</math>, also <math>t<2t\le n-1</math> und damit <math>n=t^2|t\cdot 2t|(2t)!|(n-1)!</math>, und man hätte erneut den Widerspruch <math>\mu(n)<n</math>. Daher muss <math>t=2</math> sein und es folgt <math>n=4</math>.

<math>\Leftarrow</math>: Ist <math>n</math> prim, so teilt <math>n</math> keine Zahl <math>m!</math> für <math>m<n</math>, da <math>n</math> per def. nicht in <math>m!</math> vorkommt. Daher gilt <math>\mu(n)=n</math>. <math>\mu(4)=4</math> ist klar.

Übrigens ergibt sich dadurch für <math>\pi(x)</math>, die [[Primzahlsatz|Anzahl der Primzahlen kleinergleich <math>x</math>]] und der [[Ganzzahlfunktion]]:
:<math>\pi(x)=-1+\sum_{k=2}^x \left\lfloor\frac{\mu(k)}k\right\rfloor</math>.

Nach [[Paul Erdős]] stimmt <math>\mu(n)</math> mit dem größten [[Primfaktorzerlegung|Primfaktor]] von <math>n</math> überein für asymptotisch fast alle <math>n</math>, d. h. die Anzahl der Zahlen kleiner gleich <math>n</math>, für die dies nicht gilt, ist [[Landau-Symbole|o(n)]].

Allgemein gilt ferner
:<math>\, \mu(n!)=n</math>
und
:<math>\mu(n)\ge\mathrm{gpf}(n)</math>
wobei <math>\rm gpf</math> für den größten Primfaktor von <math>n</math> stehe.

Ganz allgemein gilt
:<math>\mu\left(p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot p_n^{\alpha_n}\right) = \max\left[\mu\left(p_1^{\alpha_1}\right), \mu\left(p_2^{\alpha_2}\right), \ldots,\mu\left(p_n^{\alpha_n}\right)\right]</math>

Für (gerade) [[Vollkommene Zahl|vollkommene Zahlen]] <math>n</math> gilt außerdem (<math>k\in\N,p\text{ prim}</math>)<ref>Sebastián Martín Ruiz: ''Smarandache’s function applied to perfect numbers''. In: ''Smarandache Notions Journal'', Vol. 10, Frühjahr 1999, S. 114. {{arXiv|math/0406241}}</ref>
:<math>\mu(n)=\mu(2^{k-1}\cdot(2^k-1))=2^k-1=p</math>

== Abwandlungen ==

=== Pseudosmarandache-Funktion ===

Die ''Pseudosmarandache-Funktion'' <math>Z(n)</math> ist die kleinste [[ganze Zahl]], für die
:<math>n\;\;\text{teilt}\;\;1+2+3+\cdots+Z(n),</math>
also das kleinste natürliche <math>n</math>, für das gilt
:<math>n\;\;\left|\;\;\frac{Z(n)(Z(n)+1)}2\right.</math>
(siehe auch [[Dreieckszahl]], [[Gaußsche Summenformel]])

Die ersten Werte sind
: 1, 3, 2, 7, 4, 3, 6, 15, 8, 4, 10, 8, 12, 7, 5, 31, 16, 8, 18, 15, … ({{OEIS|A011772}})

Einige Eigenschaften:<ref>R.G.E. Pinch: {{arXiv|math/0504118}} in [[arXiv]], 6. April 2005</ref>

* <math>\sqrt n<Z(n)\le 2n-1</math>
* <math>Z(n)\le n-1\qquad\text{für ungerade } n</math>
* <math>Z(2^k)=2^{k+1}-1\, </math>
* <math>\frac{Z(n+1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(n-1)}{Z(n)}\text{ und } \frac{Z(2n)}{Z(n)}</math> sind nach oben hin unbegrenzt
* <math>\frac n{Z(n)}=k\;(k\in\Z,k\ge2)</math> hat unendlich viele Lösungen für <math>n</math>
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{Z(n)^\alpha}</math> konvergiert für alle <math>\alpha>1</math>

=== Smarandache-Doppelfakultät-Funktion ===

Ersetzt man in der Definition die Fakultät durch die [[Doppelfakultät]]
:<math>n!! = \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4)\cdot\ldots\cdot 2 & \text{für } n \text{ gerade,} \\
n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\ldots\cdot 1 & \text{für } n \text{ ungerade,}\end{cases}</math>
so ist <math>\mathrm{Sdf}(n)</math>
: die kleinste natürliche Zahl, die durch <math>\mathrm{Sdf}(n)!!</math> teilbar ist.

Die ersten Werte für <math>\mathrm{Sdf}(n)</math> sind
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 9, 10, 11, 6, 13, 14, 5, 6, … ({{OEIS|A007922}})

=== Smarandache-Funktion mit Primorial ===

Das [[Primorial]] (auch Primfakultät, <math>p_\#</math>) ist das Produkt der Primzahlen kleinergleich der gegebenen Zahl. Die ''Smarandache Near-to-Primorial Function''<ref>{{mathWorld|SmarandacheNear-to-PrimorialFunction|Smarandache Near-to-Primorial Function}}</ref> von <math>n</math> ist dann die kleinste Primzahl, für die <math>p_\#+1</math>, <math>p_\#-1</math> oder <math>p_\#</math> durch <math>n</math> teilbar ist.

=== Smarandache-Kurepa-Funktion und Smarandache-Wagstaff-Funktion ===

Für die ''Smarandache-Kurepa-Funktion'' <math>\mathrm{SK}(n)</math> wandle man die Fakultät nicht zur Doppelfakultät, sondern zu folgender Funktion ab:
:<math>f(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k!= 0!+1!+2!+\ldots+(n-1)!</math>

Für prime <math>p</math> ist <math>\mathrm{SK}(p)</math> analog die kleinste natürliche Zahl, sodass <math>f(\mathrm{SK}(p))</math> durch <math>p</math> teilbar ist.<ref>{{MathWorld|Smarandache-KurepaFunction|Smarandache-Kurepa Function}}</ref>

Die ersten Werte sind 2, 4, 6, 6, 5, 7, 7, 12, 22, 16, 55 und bilden {{OEIS|A049041}}.

Die ''Smarandache-Wagstaff-Funktion'' verwendet stattdessen<ref>{{MathWorld|Smarandache-WagstaffFunction|Smarandache-Wagstaff Function}}</ref>

:<math>f(n)=\sum_{k=1}^n k!= 1!+2!+\ldots+n!</math>

=== Smarandache-Ceil-Funktion ===

Die ''Smarandache-Wagstaff-Funktion k-ter Ordnung'' <math>S_k(n)</math> schließlich ist als die kleinste natürliche Zahl definiert, für die <math>\, [S_k(n)]^k</math> durch <math>n</math> teilbar ist.<ref>{{MathWorld|SmarandacheCeilFunction|Smarandache Ceil Function}}</ref>

Die ersten Werte:

{| class="wikitable" style="margin-left:2em;"
!<math>k</math>
!<math>S_k(n)</math>
!
|-
!1
|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …
|style="text-align:center"| <math>n</math>
|-
!2
|1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …
| ({{OEIS|A019554}})
|-
!3
|1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …
| ({{OEIS|A019555}})
|-
!4
|1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, …
| ({{OEIS|A053166}})
|}

== Weiteres ==
* Tutescu<ref>L. Tutescu: ''On a Conjecture Concerning the Smarandache Function.'' Abstracts of Papers Presented to the American Mathematical Society 17, S. 583, 1996</ref> vermutete, dass für zwei aufeinanderfolgende Zahlen deren Werte der Smarandache-Funktion stets verschieden sind:
::<math>\mu(n)\not=\mu(n+1)\qquad\quad\text{für alle } n</math>
: Die Vermutung wurde bis <math>10^9</math> bestätigend nachgerechnet.
* Es gibt eine recht große Vielfalt konvergenter Reihen, die die Smarandache-Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden oft als [[Smarandache-Konstanten]] bezeichnet – nicht zu verwechseln mit ''der'' Smarandache-Konstante in der [[Vermutung von Andrica|verallgemeinerten Andricaschen Vermutung]].
: Die Reihe der Kehrwerte der Fakultäten der Smarandache-Funktion konvergiert (''erste Smarandache-Konstante''):
::<math>\sum_{n=2}^\infty \frac1{\mu(n)!}=1{,}09317\dots</math> ({{OEIS|A048799}})

== Literatur ==
* Kenichiro Kashihara: [http://fs.gallup.unm.edu//Kashihara.pdf ''Comments and topics on Smarandache notions and problems''.] (PDF; 1,6 MB) Erhus University Press 1996, ISBN 1-87958-555-3.
* Norbert Hungerbühler, Ernst Specker: [http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/g23/g23.pdf ''A Generalisation of the Smarandache Function to Several Variables''.] (PDF; 220 kB) In: ''Electronic Journal of Combinatorical Number Theory'', 6, 2006, #A23.
* C. Dumitrescu, N. Virlan, St. Zamfir, E. Radescu, N. Radescu, F.Smarandache: ''Smarandache Type Function Obtained by Duality.'' In: ''Studii si Cercetari Stiintifice'', Seria: Matematica, University of Bacau, No. 9, 1999, S. 49–72, {{arXiv|0706.2858}}.
* Sebastian Martin Ruiz, M. L. Perez: ''Properties and Problems related to Smarandache Type Functions.'' In: ''Mathematics Magazine for grades 1-12'', 2/2004, S. 46–53, {{arXiv|math/0407479}}.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|SmarandacheFunction|Smarandache Function}}
* Das ''Smarandache Function Journal'', [http://fs.gallup.unm.edu/~smarandache/ fs.gallup.unm.edu] – [http://fs.gallup.unm.edu//SFJ1.pdf Vol. 1] (PDF; 1,6 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SFJ6.pdf Vol. 6] (PDF; 2,6 MB)
* und ''Smarandache Notions Journal'' – [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ7.pdf Vol. 7] (PDF; 5,4 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ8.pdf Vol. 8] (PDF; 8,8 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ9.pdf Vol. 9] (PDF; 5,0 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ10.pdf Vol. 10] (PDF; 7,3 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ11.pdf Vol. 11] (PDF; 10,8 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ12.pdf Vol. 12] (PDF; 12,5 MB), [http://fs.gallup.unm.edu//SNJ13.pdf Vol. 13] (PDF; 11,1 MB)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{DEFAULTSORT:Smarandache-Funktion}}
[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]

Smarandache-Funktion - Versionsgeschichte

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