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Unter '''Skalengesetzen''' oder '''Skalierungsgesetzen''' versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

:<math>f(x)= b c^{x}</math>,

d. h. [[Exponentialfunktion|exponentielle]] Beziehungen, wobei z. B. die Konstante <math>c</math> gleich der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math> sein kann, oder

:<math>f(x) = b x ^ c</math>,

d. h. Potenz- oder [[polynom]]iale Beziehungen, wobei <math>b</math> und <math>c</math> in beiden Fällen [[Reelle Zahlen|reelle]] [[Mathematische Konstante|Konstanten]] darstellen. Potenzgesetze sind aufgrund der Natur der Skalentransformationen häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen: Bei typischen Skalierungen der Koordinaten handelt es sich meist um Transformationseigenschaften homogener Koordinaten, d. h. es geht um die Frage, wie sich die gesamte Systembeschreibung (meist [[Darstellungstheorie|Darstellungen]]) ändern, wenn man das System skaliert. Exponentielle Beziehungen treten in praktischem Zusammenhang bei Zerfalls- oder Wachstumsvorgängen auf und sind meist metrischer Natur und auf lineare Parameter bezogen wie in der Gruppentheorie kommutativer Generatoren, die [[Baker-Campbell-Hausdorff-Formel|allgemeinen Fälle]] führen sehr schnell zu unübersichtlichen oder unlösbaren Fragestellungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem [[Strukturbildung|strukturbildenden]] Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein [[empirisch]] gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von phänomenologischen Gesetzmäßigkeiten (oder „empirischen Gesetzen“) gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass
:<math>x(t)= c e^{t}</math>
die Lösung der einfachsten linearen [[Differentialgleichung]]
:<math>\dot x=x</math>
ist, die einen sich selbst linear beschleunigenden Prozess beschreibt, es gilt
:<math display="inline">\ddot x=\dot x = x</math>
beim [[Wachstum (Biologie)|Wachstum]] einer [[Population (Biologie)|Population]] ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehungen, die auf [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetzen]] beruhen, sind [[Skaleninvarianz|skaleninvariant]] aufgrund der Beziehung
:<math>f(ax) = b (ax)^c = a^c b x^c = a^c f(x) \propto f(x)</math>
d. h., dass <math>f(ax)</math> proportional <math>f(x)</math> ist und sich die Charakteristika von <math>f</math> nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.

== Beispiele ==

=== Statistik ===
;[[Benfords Gesetz]]: besagt, dass die [[Wahrscheinlichkeit]] des Auftretens der Ziffern <math>D</math> der ersten Stelle von Häufigkeitszahlen, die aus natürlichen Verteilungen gewonnen wurden, der Beziehung <math>f_D = \log(1+1/D)</math> genügt. D. h., in gut 30 % aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle, in 17 % die 2 usw.

=== Biologie ===
[[Geoffrey West]]<ref>Geoffrey West: [http://online.itp.ucsb.edu/online/pattern_i03/west/ Scaling Laws in Biology: Growth, Mortality, Cancer and Sleep], abgerufen am 16. Dezember 2014.</ref><ref> G. B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist. ''A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology.'' in: ''[[Science]].'' Washington 276.1997, 5309, S. 122–126. {{ISSN|0036-8075}}</ref> führt die Universalität von Skalengesetzen in der Biologie auf folgende Punkte zurück:
# Organismen aller [[Größenordnung]]en werden von [[hierarchisch]] verzweigten Stoffwechsel-Versorgungsnetzen am Leben erhalten.
# Diese [[Netzwerk]]e sind [[raumfüllend]] (und oft [[fraktal]]).
# Die Endpunkte dieser Netzwerke sind invariant.
# Die [[Evolution]] hat die [[Energiedissipation]] der Organismen minimiert und/oder die Oberflächen maximiert, über die der Ressourcenaustausch stattfindet.

Aus diesen Prinzipien scheinen sich wenigstens die [[Allometrie]]n mit sehr einfachen Skalengesetzen (die Exponenten tendieren dazu, ganzzahlige Vielfache von 1/4 zu sein) ableiten zu lassen.

Beispiele sind die Beziehungen zwischen
* [[Stoffwechsel|Metabolismusrate]] <math>U</math> und Körpermasse <math>M</math>, auch ''Gesetz der Stoffwechselreduktion'', ''Gesetz der Reduktion spezifischer [[Grundumsatz|Stoffwechselraten]]'' oder [[Allometrie]] genannt: <math>U = a M^b</math> mit <math>b \approx 3/4</math>
* der Masse der weißen und der [[Graue Substanz|grauen Substanz]] im Säugergehirn
* [[Baum #Aufbau des Baumstammes|Baumstamm]]basisdurchmesser und [[Laubwerk|Gesamtlaubwerkfläche]]
* Baumstammdurchmesser und der Häufigkeit der Baumexemplare in einem Wald

=== Chemie ===
:'''Häufigkeit der chemischen Elemente in der Erdkruste''' ([[Victor Moritz Goldschmidt|Goldschmidt]]-Diagramm)
[[Datei:Element haeufigkeit.png|miniatur|Modernes Goldschmidt-Diagramm]]

=== Physik ===
* [[Stefan-Boltzmann-Gesetz]] : …
* [[1/f-Rauschen]]: Bei dem 1/f-Rauschen folgt die [[Frequenzspektrum|Amplitudenverteilung]] des Rausch-Signals einem Skalengesetz, genauer gesagt einem [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetz]]: <math> A(f) = f^{-\alpha}</math>, wobei <math>A(f)</math> die [[Amplitude]] zu einer [[Frequenz]] <math>f</math> bezeichnet, und <math> \alpha \approx 1</math>; daher auch die Bezeichnung 1/f-Rauschen (wegen <math> f^{-1}=1/f</math>).
* [[Statistische Physik]]: [[Kritisches Verhalten]] bei Phasenübergängen zweiter Art. Dieses Verhalten, z. B. <math>M \sim |T-T_\mathrm{c}|^\beta</math>, mit der Magnetisierung <math>M</math>, der kritischen Temperatur <math>T_\mathrm{c}</math> und dem kritischen Exponenten <math>\beta</math>, ist beschrieben unter [[Skaleninvarianz]].
* [[Hochenergiephysik]]: Hier beobachtet man in der Tat ebenfalls sog. [[kritische Exponenten]], die man in der Sprache der Hochenergiephysik als [[anomale Dimensionen]] bezeichnet.
* [[Thomsonsche' Geschwindigkeitsskalierung]]: Für hohe Energien hängt der [[Wirkungsquerschnitt]] für die [[Elektronenstoßionisation]] in [[isoelektronisch]]en Reihen nur noch von <math>\left( \tfrac{E}{m}\right)_\text{Projektil}</math> ab.

=== Linguistik ===
{{Hauptartikel|Zipfsches Gesetz}}

=== Internet ===
Das [[Internet]] ist ein riesiges [[Netzwerk]] mit [[Emergenz|emergenten]] Phänomenen wie [[selbstähnlich]]er Skalierung in den [[Burst]]-[[Muster]]n seines [[Datenverkehr]]s und [[Skaleninvarianz|skalenfreier]] Struktur in der [[Netzwerktopologie|Verbindungstopologie]].<ref>W. Willinger, R. Govindan, S. Jamin, V. Paxson, S. Shenker: ''[http://www.pnas.org/cgi/content/full/99/suppl_1/2573 Scaling phenomena in the Internet. Critically examining criticality.]'' in: ''[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]'' (PNAS). Suppl 1. Washington 99.2002, (19. Febr.), 2573-2580. {{ISSN|0027-8424}}</ref>

==== Weblogs ====
Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie [[Blog|Weblogs]] zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken bevorzugt – d. h. mit höherer Wahrscheinlichkeit – auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter.<ref>shirky.com: {{Webarchiv|url=http://shirky.com/writings/powerlaw_weblog.html |wayback=20060208093032 |text=Power Laws, Weblogs, and Inequality }}</ref>
Dieser Verlinkungs-Algorithmus ist übrigens auch die Regel für die Erstellung eines [[Skalenfreies Netz|skalenfreien Netzes]].

=== Wirtschaftswissenschaften ===
''Hauptartikel:'' [[Pareto-Verteilung]] : ...

== Siehe auch ==
* [[ABC-Analyse]]
* [[Gini-Koeffizient]]
* [[The Long Tail]]
* [[Matthäus-Effekt]]
* [[Pareto-Verteilung]]
* [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetz]]

== Weblinks ==
* [https://www.wissenschaft.de/gesundheit-medizin/wie-erdbeben-einen-nutzen-bekommen/ ''Wie Erdbeben einen Nutzen bekommen.''] Auf: ''wissenschaft.de'' vom 10. Januar 2008.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]

[[en:Scaling law]]

Skalengesetz - Versionsgeschichte

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