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<p><b>Neue Seite</b></p><div>Das '''Sitnikov-Problem''' ist ein nach dem [[Russland|russischen]] [[Mathematiker]] [[Kirill Alexandrowitsch Sitnikow]] (* 1926) benannter Spezialfall des [[Eingeschränktes Dreikörperproblem|eingeschränkten Dreikörperproblems]] und beschreibt die Bewegung dreier Himmelskörper unter ihrer gegenseitigen [[Gravitation|gravitativen]] Anziehung.<br />
<br />
== Definition ==<br />
[[Bild:Sitnikov Problem Konfiguration.jpg|mini|300px|Bild 1: Konfiguration des Sitnikov-Problems]]<br />
<br />
Das System besteht aus 2 Primärkörpern (z.&nbsp;B. [[Stern]]e) mit gleicher [[Masse (Physik)|Masse]] <math>\left(m_1 = m_2 = \tfrac{m}{2}\right)</math>, die sich auf kreisförmigen oder elliptischen [[Keplerbahn]]en um ihren gemeinsamen [[Baryzentrum|Schwerpunkt]] bewegen. Der dritte Körper, der wesentlich kleiner ist als die beiden Primärkörper und dessen Masse daher gleich null gesetzt werden kann <math>(m_3 = 0)</math>, bewegt sich unter dem Einfluss der Primärkörper in einer Ebene, die senkrecht auf der Bahnebene der Primärkörper steht (siehe Bild 1). Der Koordinatenursprung liegt im Schwerpunkt der beiden Primärkörper.<br />
Als Einheit der Masse verwendet man die Gesamtmasse der Primärkörper <math>(m = 1)</math>, als Einheit der Zeit deren Umlaufperiode um den Schwerpunkt <math>(2\pi)</math> und als Einheit der Länge den Radius der Bahn <math>(a = 1)</math>; außerdem wird die [[Gravitationskonstante]] gleich 1 gesetzt.<br />
In so einem System ist die Bewegung des dritten Körpers eindimensional, – er bewegt sich nur entlang der z-Achse.<br />
<br />
== Bewegungsgleichung ==<br />
Zur Ableitung der [[Bewegungsgleichung]] (für den Fall von kreisförmigen Bahnen der Primärkörper) bestimmt man zuerst die [[Energie|Gesamtenergie]] <math>\,E</math> des Systems:<br />
<br />
:<math>E=\frac{1}{2}\left(\frac{dz}{dt}\right)^2 - \frac{1}{r}</math><br />
<br />
Nach der Zeit [[Differentialrechnung|abgeleitet]] ergibt das:<br />
<br />
:<math>\frac{d^2z}{dt^2}=-\frac{z}{r^3}</math><br />
<br />
<!--Die Gleichung für die Gesamtenergie läßt sich auch schreiben als<br />
<br />
<math>\,\frac{dz}{dt}=\sqrt{2E+\frac{1}{r}}</math><br />
<br />
bzw.<br />
<br />
<math>\,dt=\pm \frac{dz}{sqrt{2E+\frac{1}{r}}}</math>--><br />
<br />
Es gilt (siehe Bild 1):<br />
<br />
:<math>r^2 = a^2 + z^2 = 1 + z^2</math><br />
<br />
Und daher folgt als Bewegungsgleichung:<br />
<br />
:<math>\frac{d^2z}{dt^2} = -\frac{z}{\left(\sqrt{1+z^2}\right)^3}</math><br />
<br />
== Bedeutung ==<br />
Obwohl es extrem unwahrscheinlich ist, dass sich drei Himmelskörper auf natürliche Weise in einer Sitnikov-Konfiguration anordnen oder bilden, wird das Sitnikov-Problem seit Jahrzehnten intensiv untersucht. Denn obwohl es einen sehr einfachen Fall des [[Dreikörperproblem]]s darstellt, findet man im elliptischen Sitnikov-Problem trotzdem alle Eigenschaften eines [[Chaostheorie|chaotischen Systems]], weshalb es sich hervorragend zu allgemeinen Untersuchungen über chaotische Effekte in dynamischen Systemen eignet.<br />
<br />
== Natürliches Auftreten ==<br />
Die Wahrscheinlichkeit für ein solches System ist extrem gering, jedoch nicht gleich null. In Anbetracht der Größe des [[Universum | Universums]] von ca. 2 Billionen [[Galaxie | Galaxien]] und je Galaxie 250 Milliarden Sternensystemen, halten Wissenschaftler es für gesichert, dass auch diese extrem unwahrscheinliche Konfiguration vorkommt.<ref>{{Internetquelle | url=https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1803/1803.11390.pdf | titel=How Celestial Mechanics finally explains why winter is coming in Game of Thrones | seiten=9 | abruf=2024-07-24}}</ref><br />
<br />
== Siehe auch ==<br />
* [[Himmelsmechanik]]<br />
* [[Zweikörperproblem]]<br />
* [[Chaosforschung]]<br />
<br />
== Weblinks ==<br />
* [https://www.univie.ac.at/adg/BacMac/christophdipl.html Störungsanalyse des Sitnikov Problems für hohe Ordnungen unter Verwendung automatisierter Herleitungsmethoden in Mathematica (Diplomarbeit)]<br />
* [https://scienceblogs.de/astrodicticum-simplex/2009/01/05/seltsame-welten-sitnikov-planetenphp/ Florian Freistetter, Seltsame Welten: Sitnikov-Planeten]<br />
<br />
== Literatur ==<br />
* K. A. Sitnikov: '' The existence of oscillatory motions in the three-body problems.'' In: ''Doklady Akademii Nauk SSSR'', 133/1960, S. 303–306, {{ISSN|0002-3264}} (englische Übersetzung in ''Soviet Physics. Doklady.'', 5/1960, S. 647–650)<br />
* K. Wodnar: ''The original Sitnikov article – new insights.'' In: ''Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy'', 56/1993, S. 99–101, {{ISSN|09232958}}, {{bibcode|1993CeMDA..56...99W}}<br />
* {{Literatur |Autor=D. Hevia, F. Rañada |Titel=Chaos in the three-body problem: the Sitnikov case |Sammelwerk=European Journal of Physics |Band=17 |Datum=1996 |Seiten=295–302 |DOI=10.1088/0143-0807/17/5/009 |ISSN=0143-0807}}<br />
* Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, ''Chaos and Stability in Planetary Systems.'', Springer, 2005, ISBN 3540282084<br />
<br />
== Einzelnachweise ==<br />
<references /><br />
<br />
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]<br />
[[Kategorie:Dynamisches System]]<br />
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]</div>imported>Fan-vom-Wiki