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In der ebenen und sphärischen [[Trigonometrie]] stellt der '''Sinussatz''' eine Beziehung zwischen den [[Winkel]]n eines [[Dreieck]]s und den gegenüberliegenden Seiten her. Er quantifiziert den [[Ähnlichkeitssätze|Ähnlichkeitssatz]], wonach Dreiecke, die in den Winkeln übereinstimmen, [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] sind.<ref>{{Literatur |Autor=Alexander Witting |Titel=Einführung in die Trigonometrie |Verlag=Springer |Ort=Wiesbaden |Datum=1921 |Reihe=Mathematisch-physikalische Bibliothek |BandReihe=43 |Seiten=21}}</ref>

== Sinussatz für ebene Dreiecke ==
[[Datei:Sinussatz.svg|300px|mini|Sinussatz]]
In der kürzesten Fassung besagt der Sinussatz: In jedem Dreieck verhalten sich die Längen der Seiten wie die [[Sinus und Kosinus|Sinuswerte]] ihrer gegenüberliegenden Winkel:<ref name=":0">{{Literatur |Titel=Basiswissen Schule Mathematik, 5. bis 10. Klasse |Auflage=4. |Verlag=Duden Schulbuchverlag |Ort= |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=261-262}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Siegfried Krauter]], Christine Bescherer |Titel=Erlebnis Elementargeometrie |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2013 |ISBN=978-3-8274-3025-0 |Seiten=234}}</ref>

:<math>a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma \quad</math> bzw. <math>\quad \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.

Manchmal wird der Sinussatz in einer erweiterten Fassung formuliert, die zusätzlich eine Beziehung zum [[Radius]] <math>R</math> des [[Umkreis]]es herstellt:<ref>{{Literatur |Autor=H. S. M. Coxeter |Titel=Introduction to Geometry |Auflage=2. |Verlag=Wiley |Datum=1969 |Seiten=13 |Online=[https://archive.org/details/coxeter-introduction-to-geometry-red/page/12/mode/2up archive.org]}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=147}}</ref>

:<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2 \cdot R </math>.

=== Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz ===
Die [[Kongruenzsatz|Kongruenzsätze]] WSW und SWW besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von zwei Winkeln und einer Seite vollständig bestimmt ist. Der Sinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken einen weiteren Winkel zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel und Seiten eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man zunächst den letzten Winkel über die [[Winkelsumme]] von 180° berechnen und dann wahlweise nochmal den Sinussatz oder den [[Kosinussatz]] anwenden.

Der Kongruenzsatz SsW besagt, dass ein Dreieck durch die Vorgabe zweier Seiten und dem der ''größeren'' Seite gegenüberliegenden Winkel vollständig bestimmt ist. In diesem Fall kann man mithilfe des Sinussatz zunächst einen fehlenden Winkel und dann die fehlende Seite berechnen. Den letzten Winkel berechnet man wieder am zweckmäßigsten über die Winkelsumme im Dreieck. Ein Dreieck ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, wenn zwei Seiten und der der ''kleineren'' Seite gegenüberliegende Winkel gegeben sind (sSW-Fall). Entsprechend führt die Anwendung des Sinussatz zu keinem eindeutigen Ergebnis; hierfür werden weitere Informationen über das Dreieck benötigt.

==== WSW- und SWW-Fall ====
Im WSW- und SWW-Fall kann die Verhältnisgleichung des Sinussatz direkt nach der fehlenden Seite aufgelöst werden. Sind z. B. die Seitenlänge <math>a</math> sowie die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> gegeben, so erhält man die Seite <math>b</math> als

:<math>b=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cdot a</math>.
Über den Winkelsummensatz erhält man den fehlenden Winkel <math>\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>. Nun lässt sich der Sinussatz nochmals anwenden, um die letzte fehlende Seite <math>c</math> zu bestimmen:

:<math>c=\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot a</math>.

==== SsW-Fall ====
Im SsW-Fall löst man die Verhältnisgleichung des Sinussatzes zunächst nach dem Sinus des fehlenden Winkels auf, dessen gegenüberliegende Seite gegeben ist. Sind z. B. die Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> sowie der Winkel <math>\alpha</math> gegeben (wobei <math>b < a</math>), so erhält man

:<math>\sin \beta = \frac{b \cdot\sin \alpha}a </math>.
Wegen <math>b < a</math> gilt <math>\beta < \alpha</math>, und da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, muss <math>\beta < 90^\circ</math>sein. Somit gibt es genau einen Winkel, der diese Gleichung erfüllt. Diesen liefert der [[Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus]]:

:<math>\beta = \arcsin \left(\frac{b\cdot \sin \alpha}{a}\right)</math>.
Mit dem Winkelsummensatz kann man nun den Winkel <math>\gamma</math> berechnen als <math>\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)</math>. Die Seite <math>c</math> erhält man schließlich z. B. durch erneute Anwendung des Sinussatz:

:<math>c = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} \cdot a</math>.

==== sSW-Fall ====
Sind zwei Seitenlängen und der Winkel gegenüber der kürzeren Seite gegeben, so gibt meistens zwei Dreiecke, die zu den gegebenen Stücken passen. Sind z. B. die Seitenlängen <math>a</math> und <math>b</math> mit <math>a<b</math> gegeben sowie der Winkel <math>\alpha</math>, so folgt aus dem Sinussatz

:<math>\sin \beta = \frac{b \cdot\sin \alpha}a</math>.
Sowohl <math>\beta_1 = \arcsin \left(\frac{b \cdot\sin \alpha}a \right)</math> als auch <math>\beta_2 = 180^\circ - \beta_1</math> erfüllen diese Gleichung, und im Gegensatz zum SsW-Fall lässt sich <math>\beta_2</math> als Lösung im Allgemeinen nicht ausschließen.

=== Beweise ===
==== Beweis mithilfe von Höhen ====
Die Aussage über die Verhältnisse der Längen und Sinuswerte lässt sich mithilfe von Höhen beweisen. Dazu wird ein allgemeines Dreieck <math>ABC</math> mit den typischen Bezeichnungen betrachtet. Durch die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h_c</math> von <math>C</math> auf <math>AB</math> werden rechtwinklige Dreiecke erzeugt. Es lassen sich drei Fälle unterscheiden, je nachdem, wo das Lot <math>AB</math> schneidet.<ref name=":0" />

[[Datei:Triangle-law-of-sines.svg|mini|hochkant=1.1|Spitzwinkliges Dreieck mit Höhe <math>h_c</math>]]'''Fall 1: Spitzwinkliges Dreieck'''

Bei einem [[Spitzwinkliges Dreieck|spitzwinkligen Dreieck]] zerlegt die Höhe <math>h_c</math> das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> jeweils als [[Quotient]] von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:

:<math>\sin \alpha = \frac{h_c}{b} \quad</math>und <math>\quad \sin \beta = \frac{h_c}{a}</math>.

Auflösen nach <math>h_c</math> und Gleichsetzen ergibt

:<math>a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>.

Dividiert man nun durch <math>\sin \alpha \cdot \sin \beta</math>, so erhält man

:<math>\frac a{\sin \alpha} = \frac b{\sin \beta}</math>

Die Gleichheit mit <math>\tfrac c{\sin \gamma}</math> ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe <math>h_a</math> oder <math>h_b</math>.

[[Datei:Rechtwinkliges-Dreieck-mit-Höhe.svg|mini|hochkant=1.1|Rechtwinkliges Dreieck mit Höhe <math>h_c</math>]]
'''Fall 2: Rechtwinkliges Dreieck'''

Bei einem rechtwinkligen Dreieck fällt der Lotfußpunkt von <math>h_c</math> mit dem Eckpunkt <math>A</math> zusammen. Es gilt

:<math>h_c = a\cdot \sin \beta \quad</math>und <math>\quad h_c = b</math>.

Wegen <math>\sin \alpha = 1</math> lässt sich die rechte Gleichung auch schreiben als <math>h_c = b\cdot \sin \alpha</math>. Der restliche Beweis dieses Falls erfolgt analog zu Fall 1.

[[Datei:Sinussatz stumpfer winkel.svg|mini|hochkant=1.1|Stumpfwinkliges Dreieck mit Höhe <math>h_c</math>]]
'''Fall 3: Stumpfwinkliges Dreieck'''

Bei einem [[Stumpfwinkliges Dreieck|stumpfwinkligen Dreieck]] schneidet die Höhe <math>h_c</math> die Gerade <math>AB</math> außerhalb des Dreiecks. Dann gilt (siehe Skizze)

:<math>\sin(180^\circ-\alpha) = \frac{h_c}{b} \quad</math>und <math>\quad \sin \beta = \frac{h_c}{a}</math>.

Durch Auflösen nach <math>h_c</math> und Gleichstellen erhält man

:<math>b \cdot \sin(180^\circ-\alpha) = a \cdot \sin \beta</math>.

Dividieren beider Seiten durch <math>b</math> und <math>\sin\beta</math> ergibt

:<math>\frac {\sin(180^\circ-\alpha)}{\sin \beta} = \frac {a}{b}</math>.

Da für stumpfe Winkel <math>\sin \alpha = \sin (180^\circ-\alpha )</math> gilt, ergibt sich auch bei stumpfen Winkeln

:<math>\frac a{\sin \alpha} = \frac b{\sin \beta}</math>.

==== Beweis mithilfe des Peripheriewinkelsatzes ====
[[Datei:Dowód sinusów2.svg|rechts]]
Die erweiterte Fassung des Sinussatzes lässt sich mithilfe des [[Kreiswinkel#Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)|Peripheriewinkelsatzes]] beweisen:<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Zeuge |Titel=Nützliche und schöne Geometrie |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort= |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-63830-9 |Seiten=52}}</ref> Auf dem Umkreis des Dreiecks <math>ABC</math> sei <math>D</math> der Punkt, der zusammen mit dem Punkt <math>A</math> einen [[Durchmesser]] bildet, sodass die Verbindung von <math>A</math> und <math>D</math> durch den [[Mittelpunkt]] des [[Umkreis]]es verläuft (siehe Abbildung). Dann ist <math>ABD</math> nach dem [[Satz des Thales]] ein [[rechtwinkliges Dreieck]] und es gilt

:<math> \sin \delta = \frac{c}{2 \cdot R} \quad</math>bzw.<math>\quad 2\cdot R = \frac{c}{\sin \delta}</math>

Nach dem [[Umfangswinkelsatz]] sind die Umfangswinkel <math> \gamma</math> und <math> \delta</math> über der Seite <math>c</math> gleich groß, also gilt auch <math>\sin \gamma = \sin \delta </math> und somit

:<math>2\cdot R = \frac{c}{\sin \gamma} </math>.

Auf analoge Weise zeigt man <math>2 \cdot R = \frac{a}{\sin \alpha} </math> und <math> 2 \cdot R = \frac{b}{\sin \beta} </math>, womit der Satz bewiesen ist.

==== Beweis mithilfe von Vektoren ====
Der Sinussatz lässt sich auch mithilfe der Vektorrechnung beweisen.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-68366-8 |Seiten=519}}</ref> Dazu werden die Seiten des Dreiecks <math>ABC</math> als Vektoren aufgefasst, so dass sich eine Seite als Vektorsumme der anderen Seiten schreiben lässt. Dann wird das [[Kreuzprodukt|Vektorprodukt]] angewendet. Mit den Rechenregeln für das Vektorprodukt und seiner geometrischen Interpretation erhält man dann den Sinussatz.

== Sinussatz für Kugeldreiecke ==
Für [[Kugeldreieck]]e gelten die Gleichungen<ref>{{Literatur |Autor=[[Ilka Agricola]], Thomas Friedrich |Titel=Elementargeometrie |Auflage=4. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-658-06730-4 |Seiten=200}}</ref>
:<math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.
Dabei sind <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> die Seiten ([[Kreisbogen|Kreisbögen]]) des [[Kugeldreieck]]s und <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> die gegenüberliegenden [[Winkel]] auf der [[Kugeloberfläche]].

=== Beweis ===
[[Datei:Sine law spherical small.svg|rechts|rahmenlos|378x378px]]
Der [[Radius]] der [[Einheitskugel]] ist gegeben durch
:<math>OA = OB = OC = 1</math>
Der Punkt <math>D</math> liegt auf dem Radius <math>OB
</math> und der Punkt <math>E</math> liegt auf dem Radius <math>OC
</math>, sodass <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math>. Der Punkt <math>A'</math> liegt auf der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>OBC</math>, sodass <math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math>gilt. Daraus folgt <math>\angle ADA' = \beta</math> und <math>\angle AEA' = \gamma</math>. Weil <math>A'</math> die [[senkrechte Projektion]] von <math>A</math> auf die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>OBC</math> ist, gilt <math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>. Nach Definition des [[Sinus und Kosinus|Sinus]] gilt
:<math>\sin c = \frac{AD}{OA} = AD
</math>,
:<math>\sin b = \frac{AE}{OA} = AE</math>.
Außerdem ist <math>AA' = AD \cdot \sin \beta = AE \cdot \sin \gamma </math>. Einsetzen ergibt
:<math>\sin c \cdot \sin \beta = \sin b \cdot \sin \gamma</math>.
Entsprechend erhält man <math>\sin b \cdot \sin \alpha = \sin a \cdot \sin \beta</math>, also insgesamt
:<math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.

=== Herleitung aus dem Seiten-Kosinussatz ===
Der Sinussatz für [[Kugeldreieck]]e kann auch algebraisch und ohne geometrische Betrachtungen aus dem [[Sphärische Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz|Seiten-Kosinussatz]] für Kugeldreiecke hergeleitet werden. Wegen <math>\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha</math> ([[trigonometrischer Pythagoras]]) folgt daraus<ref>{{Literatur |Autor=Sudipto Banerjee |Titel=Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors |Sammelwerk=The College Mathematics Journal |Band=35 |Nummer=5 |Datum=2004 |Seiten=375-381 |Online=https://web.archive.org/web/20041029141245id_/http://www.biostat.umn.edu/~sudiptob/ResearchPapers/banerjee.pdf}}</ref>
:<math>\begin{align}
\sin^2\alpha &= 1 - \cos^2\alpha \\
&= 1 - \left(\frac{\cos a - \cos b \cdot \cos c}{\sin b \cdot \sin c}\right)^2 \\
&= \frac{1 - \cos^2 b}{\sin^2 b} \cdot \frac{1 - \cos^2 c}{\sin^2 c} - \left(\frac{\cos a - \cos b \cdot \cos c}{\sin b \cdot \sin c}\right)^2 \\
&= \frac{(1 - \cos^2 b) \cdot (1 - \cos^2 c) - (\cos a - \cos b \cdot \cos c)^2}{\sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\
&= \frac{1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c}{\sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\
\end{align}</math>
Division der [[Gleichung]] durch <math>\sin^2 a</math> und anschließendes Ziehen der [[Quadratwurzel]] ergibt
:<math>\begin{align}
\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 a} &= \frac{1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c}{\sin^2 a \cdot \sin^2 b \cdot \sin^2 c} \\
\frac{\sin \alpha}{\sin a} &= \frac{\left(1 - \cos^2 a - \cos^2 b - \cos^2 c + 2 \cdot \cos a \cdot \cos b \cdot \cos c\right)^\frac{1}{2}}{\sin a \cdot \sin b \cdot \sin c} \\
\end{align}</math>

Die rechte Seite der letzten Gleichung ist ebenfalls gleich <math>\frac{\sin \beta}{\sin b}</math> und gleich <math>\frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>, weil dort die Variablen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> zyklisch vertauscht werden können. Die Herleitung ist analog wie für <math>\frac{\sin \alpha}{\sin a}</math>. Daraus ergibt sich insgesamt
:<math>\frac{\sin \alpha}{\sin a} = \frac{\sin \beta}{\sin b} = \frac{\sin \gamma}{\sin c}</math>.

== Geschichte ==

Zum Sinussatz äquivalent ist die folgende Aussage: Die Seitenlängen eines Dreiecks sind proportional zu den Längen der [[Chord (Mathematik)|Sehnen]], die jeweils zum Doppelten des gegenüberliegenden Winkels im Dreieck gehören. Dieser Zusammenhang war dem griechischen Astronomen [[Claudius Ptolemäus|Ptolemäus]] im 2. Jahrhundert bekannt und wurde in seinem [[Almagest]] gelegentlich verwendet.<ref>{{Literatur |Autor=Gerald J. Toomer |Titel=Ptolemy's Almagest |Verlag=Princeton University Press |Datum=1998 |Sprache=en |Online=[https://archive.org/details/ptolemys-almagest-toomer/page/7/mode/1up 7, fn. 10]; [https://archive.org/details/ptolemys-almagest-toomer/page/462/mode/1up 462, fn. 96]}}</ref>

Mit dem Sinussatz verwandte Aussagen erscheinen im astronomischen und trigonometrischen Werk des indischen Mathematikers [[Brahmagupta]] (7. Jahrhundert). In seinem ''[[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuṭasiddhānta]]'' drückt Brahmagupta den Umkreisradius eines Dreiecks als Produkt zweier Seitenlängen, dividiert durch das Doppelte der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] zur dritten Seite, aus. Den Sinussatz erhält man daraus, indem man die Höhe durch eine Dreiecksseite und den Sinus eines Innenwinkels ausdrückt und das Ergebnis einsetzt.<ref>{{Literatur |Autor=Henry James Jacques Winter |Titel=Eastern Science |Verlag=John Murray |Datum=1952 |Seiten=46 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/easternscienceou0000wint/page/46/}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Henry Thomas Colebrooke |Titel=Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara |Verlag=John Murray |Ort=London |Datum=1817 |Seiten=299–300 |Sprache=en |Online=https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft/page/298/mode/2up}}</ref> Eine Gleichung, die dem modernen Sinussatz näherkommt, erscheint in Brahmaguptas ''[[Khaṇḍakhādyaka]]'', im Zusammenhang mit einem Verfahren zur Ermittlung des Abstands zwischen der Erde und einem Planeten mithilfe eines [[Epizykeltheorie|Epizykels]]; Brahmagupta betrachtete jedoch den Sinussatz nicht als eigenständiges Thema und verwendete ihn auch nicht systematisch für Dreiecksberechnungen.<ref>{{Literatur |Autor=Glen van Brummelen |Titel=The Mathematics of the Heavens and the Earth |Verlag=Princeton University Press |Datum=2009 |Seiten=109–111 |ISBN=978-0-691-12973-0 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Brahmagupta |Titel=The Khandakhadyaka: An Astronomical Treatise of Brahmagupta |Verlag=University of Calcutta |Datum=1934 |Originaltitel=Khandakhadyaka |Übersetzer=Prabodh Chandra, Sengupta |Sprache=en}}</ref>

Der Sinussatz für Kugeldreiecke wird manchmal den im 10. Jahrhundert lebenden Wissenschaftlern [[Abu Mahmud al-Chudschandi]] (Khujandi) oder [[Abu l-Wafa|Abū al-Wafāʾ]] zugeschrieben (er erscheint in dessen ''Almagest''), aber er wird hervorgehoben in der ''Abhandlung über die Bestimmung sphärischer Bögen'' von [[Abu Nasr Mansur]]. Sein Schüler [[al-Bīrūnī]] schrieb ihm in seinem Werk ''Schlüssel zur Astronomie'' den Satz zu.<ref>{{Literatur |Autor=Jacques Sesiano |Hrsg=Helaine Selin, Ubiratan d'Ambrosio |Titel=Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics |Verlag=Springer |Datum=2000 |ISBN=1-4020-0260-2 |Kapitel=Islamic mathematics |Seiten=137–157 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=The Mathematics of the Heavens and the Earth |Verlag=Princeton University Press |Datum=2009 |ISBN=978-0-691-12973-0 |Seiten=183–185 |Sprache=en}}</ref> [[Ibn Muʿādh al-Dschaiyānī|Ibn Muʿādh al-Jayyānīs]] ''Buch der unbekannten Bögen einer Kugel'' aus dem 11. Jahrhundert enthält ebenfalls den sphärischen Sinussatz.<ref name="MacTutor Al-Jayyani">{{MacTutor |id=Al-Jayyani |title=Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani}}</ref>

Im 13. Jahrhundert formulierte und bewies der persische Mathematiker [[Nasīr ad-Dīn at-Tūsī]] (al-Tusi) den Sinussatz für ebene Dreiecke:<ref>{{MacTutor |id=Al-Tusi_Nasir |title=Nasir al-Din al-Tusi}}</ref>
<blockquote>In einem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Seiten gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.</blockquote>
In heutiger Schreibweise: <math>|\overline{AB}| : |\overline{AC}| = \sin(\angle ACB) : \sin(\angle CBA)</math>

Durch Anwendung des Sinussatzes konnte al-Tusi Berechnungen für Dreiecke durchführen, bei denen entweder eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und der Gegenwinkel einer der beiden Seiten bekannt waren. Waren zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben, zerlegte er das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, um die Aufgabe zu lösen. Waren drei Seiten gegeben, fällte er ein Lot auf eine Seite und wandte dann Satz II-13 aus Euklids ''Elementen'' an (eine elementargeometrische Version des [[Kosinussatz]]es). Al Tusi stellte das wichtige Ergebnis auf, dass aus der Summe oder Differenz zweier Kreisbogenlängen und dem Verhältnis der entsprechenden Sinuswerte die Bogenlängen selbst berechnet werden können.<ref>{{Literatur |Autor=Victor J. Katz |Titel=A History of Mathematics: An Introduction |Verlag=Pearson |Datum=2017 |ISBN=978-0-13-468952-4 |Seiten=315 |Sprache=en |Online=https://books.google.com/books?id=7rP2MAAACAAJ}}</ref>

Laut [[Glen Van Brummelen]] bildete für den deutschen Mathematiker [[Regiomontanus]] (15. Jahrhundert) der Sinussatz die Grundlage für seine Berechnungen zu rechtwinkligen Dreiecken in Buch IV. Diese Lösungen waren wiederum die Basis für seine Behandlung allgemeiner Dreiecke.<ref>{{Literatur |Autor=Glen Van Brummelen |Titel=The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry |Verlag=Princeton University Press |Datum=2009 |ISBN=978-0-691-12973-0 |Seiten=259 |Sprache=en |Online=https://books.google.com/books?id=bHD8IBaYN-oC}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Kosinussatz]]
* [[Tangenssatz]]
* [[Formelsammlung Trigonometrie]]

== Literatur ==
* [[Manfred Leppig]] (Hrsg.): ''Lernstufen Mathematik.'' 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190.
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], S. L. Greitzer: ''Geometry Revisited''. Mathematical Association of America, Washington, D.C. 1967, S. 1–3.
* {{Literatur |Autor=Alexander Witting |Titel=Einführung in die Trigonometrie |Verlag=Springer |Ort=Wiesbaden |Datum=1921 |Reihe=Mathematisch-physikalische Bibliothek |BandReihe=43 |Seiten=20–27}}
* [[Glen Van Brummelen]]: ''Trigonometry: A Very Short Introduction.'' Oxford University Press, 2020, S. 63–68.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Trignometriesätze: Sinussatz}}
{{Commonscat|Law of sines|Sinussatz}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/sinussatz.htm ''Der Sinussatz''] – Satz, Beweis, Illustrationen auf der Homepage von Arndt Brünner
* {{MathWorld|id=LawofSines|title=Law of Sines}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Trigonometrie]]
[[Kategorie:Satz (Geometrie)]]

Sinussatz - Versionsgeschichte

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