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2025-09-22T20:23:40Z

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'''Sinus versus''' (auch ''Sinusversus'', ''Quersinus'', ''Versinus'' oder ''Versus'', in Formeln abgekürzt <math>\operatorname{vers}</math>) und der '''Kosinus versus''' (auch ''Koversinus'' oder ''Querkosinus'', in Formeln abgekürzt <math>\operatorname{covers}</math>) sind in der [[Trigonometrie]] heute selten verwendete [[trigonometrische Funktion]]en. '''Semiversus''' (englisch ''haversine'', in Formeln abgekürzt <math>\operatorname{sem}</math>) ist der halbe Sinus versus.

== Sinus versus ==
[[Datei:Circle-trig6.svg|mini|hochkant=1.5|Veranschaulichung am Einheitskreis:<br />
Der Sinus versus {{Overline|<math>CD</math>}} bildet zusammen mit dem Kosinus einen Radius 1 ({{Overline|<math>OD</math>}}),<br />
der Kosinus versus {{Overline|<math>GF</math>}} zusammen mit dem Sinus einen Radius 1 ({{Overline|<math>OF</math>}}).]]

Der Sinus versus wird mit Hilfe der [[Sinus und Kosinus|Kosinus- oder Sinusfunktion]] definiert als<ref>{{MathWorld|id=Versine|title=Versine}}</ref>

:<math>\operatorname{vers}\theta=1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2.</math>

Er ist die [[Subtraktion|Differenz]] des Kosinus zu +1 (in nebenstehender Abbildung in der Farbe Grün eingezeichnet).

Der Sinus versus kann auf die ganze [[komplexe Zahlenebene]] ausgeweitet werden.

== Semiversus ==
Der Semiversus ist die Hälfte des Sinus versus:<ref>{{MathWorld|id=Haversine|title=Haversine}}</ref>
:<math>\operatorname{sem}\theta=\frac{\operatorname{vers}\theta}2=\sin^2\frac\theta2</math>

== Kosinus versus ==
Der Kosinus versus ist in nebenstehender Abbildung in der Farbe Cyan und als ''cvs'' eingezeichnet.
:<math>\operatorname{covers}\theta=1-\sin\theta=\operatorname{vers}\left(\frac\pi2-\theta\right).</math>

Er ist die [[Subtraktion|Differenz]] des Sinus zu +1 und auch der Sinus versus des Gegenarguments (π/2 − <var>θ</var>).<ref>{{MathWorld|id=Coversine|title=Coversine}}</ref>

== Verwandte Funktionen ==
Manchmal wird analog zu <math>\operatorname{versin}\theta=2\sin^2(\theta/2)</math> und <math>\operatorname{coversin}\theta=\operatorname{versin}(\pi/2-\theta)</math> unter vercos etwas anderes verstanden als unter coversin und unter covercos etwas anderes als unter versin. In folgender Tabelle sind die Funktionen zusammen mit einigen verwandten trigonometrischen Funktionen und dem grafischen Funktionsverlauf zusammengefasst:

{| class="wikitable"
|-
| <big><math>\operatorname{versin}\theta=1-\cos\theta=2\sin^2\frac\theta2</math></big>
|| [[Datei:Versin plot.png|400px]]
|-
| <big><math>\operatorname{haversin}\theta = \frac{\operatorname{versin}\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}</math></big>
|| [[Datei:Haversin plot.png|400px]]
|-
| <math>\operatorname{vercos}\theta = 1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}</math>
|| [[Datei:Vercosin plot.png|400px]]
|-
| <math>\operatorname{havercos}\theta = \frac{\operatorname{vercos}\theta} {2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}</math>
|| [[Datei:Havercosin plot.png|400px]]
|-
| <big><math>\operatorname{coversin}\theta=1-\sin\theta=\operatorname{versin}\left(\frac\pi2-\theta\right)</math></big>
|| [[Datei:Coversin plot.png|400px]]
|-
| <big><math>\operatorname{hacoversin}\theta = \frac {\operatorname{coversin}\theta} {2} = \frac{1 - \sin\theta}{2}</math></big>
|| [[Datei:Hacoversin plot.png|400px]]
|-
| <math>\operatorname{covercos}\theta = 1 + \sin\theta = \operatorname{vercos}\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)</math>
|| [[Datei:Covercosin plot.png|400px]]
|-
| <math>\operatorname{hacovercos}\theta = \frac {\operatorname{covercos}\theta} {2} = \frac{1 + \sin\theta}{2}</math>
|| [[Datei:Hacovercosin plot.png|400px]]
|}

Die [[Differentialrechnung|Ableitungen]] und die [[Stammfunktion]]en sind:

{| class="wikitable"
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{versin}x = \sin{x}</math>
|| <math>\int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{vercos}x = -\sin{x}</math>
|| <math>\int\mathrm{vercos}(x) \,\mathrm{d}x = x + \sin{x} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{coversin}x = -\cos{x}</math>
|| <math>\int\mathrm{coversin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \cos{x} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{covercos}x = \cos{x}</math>
|| <math>\int\mathrm{covercos}(x) \,\mathrm{d}x = x - \cos{x} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{haversin}x = \frac{\sin{x}}{2}</math>
|| <math>\int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{havercos}x = \frac{-\sin{x}}{2}</math>
|| <math>\int\mathrm{havercos}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \sin{x}}{2} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{hacoversin}x = \frac{-\cos{x}}{2}</math>
|| <math>\int\mathrm{hacoversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \cos{x}}{2} + C</math>
|-
| <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{hacovercos}x = \frac{\cos{x}}{2}</math>
|| <math>\int\mathrm{hacovercos}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \cos{x}}{2} + C</math>
|}

== Geschichte und Verwendung ==
Der [[Sphärische Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz|Seiten-Kosinussatz]] der [[Sphärische Trigonometrie|sphärischen Trigonometrie]] spielte für die nautische Navigation nach den Sternen in früherer Zeit eine wichtige Rolle.<ref name="Schenk_1978">{{Literatur |Autor=Bobby Schenk |Titel=Astronavigation: ohne Formeln – praxisnah |Auflage=2. |Verlag=Delius Klasing & Co. |Ort=Bielefeld |Datum=1978}}</ref> Um die dabei erforderlichen Multiplikationen trigonometrischer Funktionen durch das Nachschlagen von Tabellenwerten<ref name="Fulst_1972">{{Literatur |Autor=Otto Fulst |Hrsg=Johannes Lütjen, Walter Stein, Gerhard Zwiebler |Titel=Nautische Tafeln |Auflage=24. |Verlag=Arthur Geist Verlag |Ort=Bremen |Datum=1972 |Kapitel=17–18}}</ref> zu vereinfachen, wurde der Semiversus eingeführt.

Es ergibt sich daraus unter anderem damit der Seiten-Kosinussatz zu:

:<math>{\rm sem}(a)={\rm sem}(b-c)+\sin(b) \cdot \sin(c) \cdot {\rm sem}(\alpha)</math>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=M. Abramowitz, I. A. Stegun
|Titel=[[Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]
|Ort=New York, Dover
|Datum=1972
|Seiten=78
|Online=[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_78.htm Online]}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]
[[Kategorie:Navigation]]

Sinus versus und Kosinus versus - Versionsgeschichte

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