imported>Mathze: Änderung 263941731 von Mathze rückgängig gemacht;

2026-02-03T10:38:19Z

Änderung 263941731 von Mathze rückgängig gemacht;

Neue Seite

{{Weiterleitungshinweis|cosh|Für die Arbeitsgruppe [[Kooperation Schule:Hochschule]] (AG cosh) siehe dort.}}
[[Datei:Sinh cosh.svg|mini|Graphen der reellen Hyperbelfunktionen <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math>]]
'''Sinus hyperbolicus''' und '''Kosinus hyperbolicus''', auch '''Hyperbelsinus''' bzw. '''Hyperbelkosinus''' genannt, sind zwei [[Mathematik|mathematische]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die zu den [[Hyperbelfunktion]]en gehören. Sie tragen die Symbole <math>\sinh</math> bzw. <math>\cosh</math>, in älteren Quellen auch <math>\mathfrak{Sin}</math> und <math>\mathfrak{Cos}.</math><ref>{{literatur| Autor = Franz Brzoska, Walter Bartsch| Titel = Mathematische Formelsammlung| Verlag = Fachbuchverlag Leipzig| Auflage = 2. verbesserte| Jahr = 1956}}</ref> Die Bezeichnungen ''Hyperbelsinus'' und ''Hyperbelkosinus'' verweisen einerseits auf die [[Geometrie|geometrische]] Deutung durch eine [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], andererseits auf die Analogie zu den [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen]] Funktionen [[Sinus und Kosinus]]. Der [[Funktionsgraph|Graph]] der Hyperbelkosinusfunktion beschreibt ein an zwei Punkten aufgehängtes Seil einheitlicher Längendichte und wird daher als [[Kettenlinie (Mathematik)|Kettenlinie]] oder Katenoide bezeichnet.

== Definitionen ==

Die Funktionen <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> lassen sich mithilfe der [[Exponentialfunktion]] <math>x \mapsto e^x</math> definieren:<ref name="Bronstein89">{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=89}}</ref>
:<math>\sinh x = \frac{1}{2} \left( e^x - e^{-x} \right)</math>
:<math>\cosh x = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)</math>
Dabei ist <math>e = 2{,}71828\ldots\,</math> die [[eulersche Zahl]]. Die Klammer um das Argument <math>x</math> wurde weggelassen.

== Folgerungen ==

<math>\sinh</math> ist eine [[gerade und ungerade Funktionen|ungerade]] Funktion, d. h. es gilt <math>\sinh(-x) = - \sinh x</math>.<br />
<math>\cosh</math> ist eine gerade Funktion, d. h. es gilt <math>\cosh(-x) = \cosh x</math>.

Die Funktionen <math>\sinh</math> und <math>\cosh</math> sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion:
:<math>\exp x = e^x = \cosh x + \sinh x</math>.

Durch Verwendung [[Komplexe Zahl|komplexer Zahlen]] lässt sich der Zusammenhang mit den entsprechenden trigonometrischen Funktionen <math>\sin</math> bzw. <math>\cos</math> folgendermaßen formulieren:
:<math>\sinh x = -\mathrm i \,\sin(\mathrm i\,x)</math>
:<math>\cosh x = \cos(\mathrm i\,x)</math>

== Geometrische Deutung ==

[[Bild:Hyperbolic functions.svg|mini|296px|right|Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel <math>x^2 - y^2 = 1</math> im Punkt <math>(\cosh\,A,\sinh\,A)</math>, wobei <math>A</math> für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die <math>x</math>-Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die [[:File:HyperbolicAnimation.gif|animierte Version]] mit Vergleich zu den trigonometrischen Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als ''Einheitshyperbel'' bezeichnet.]]
Der rechte Ast der gleichseitigen Hyperbel mit der Gleichung
:<math>x^2 - y^2 = 1,</math>
also der Hyperbel mit dem Mittelpunkt <math>(0,0)</math>, der reellen Halbachse <math>a = 1</math> und der imaginären Halbachse <math>b = 1</math>, hat die [[Parameterdarstellung]]
:<math>x = \cosh t, \quad y = \sinh t.</math>

Der Parameterwert <math>t</math> lässt sich interpretieren als Flächeninhalt eines Hyperbelsektors (in der Abbildung <math>A</math>).

== Eigenschaften ==
Die folgenden Eigenschaften gelten für die [[Reelle Zahl|reellen]] Funktionen.
{| class="wikitable"
! 
!Sinus hyperbolicus
!Kosinus hyperbolicus
|-
! [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]]
| <math> - \infty < x < + \infty </math>
| <math> - \infty < x < + \infty </math>
|-
! [[Bild (Mathematik)|Wertebereich]]
| <math> - \infty < f(x) < + \infty </math>
| <math> 1 \le f(x) < + \infty </math>
|-
! [[Periodische Funktion|Periodizität]]
| keine
| keine
|-
! [[Reelle monotone Funktion|Monotonie]]
| streng monoton steigend
| <math>-\infty < x \leq 0</math> streng monoton fallend<br /> <math>0 \leq x < \infty</math> streng monoton steigend
|-
! [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]
| Punktsymmetrie zum Ursprung
| Achsensymmetrie zur Ordinate
|-
! rowspan="2" |[[Asymptote|Asymptotische]] <br />Funktionen
| <math> a_1(x) = \frac{1}{2}e^x,\quad x\to\infty</math>
| <math> a_1(x) = \frac{1}{2}e^x,\quad x\to\infty</math>
|-
| <math> a_2(x) = -\frac{1}{2}e^{-x},\quad x\to -\infty</math>
| <math> a_2(x) = \frac{1}{2}e^{-x},\quad x\to -\infty</math>
|-
! [[Nullstelle]]n
| <math> x = 0</math>
| keine
|-
! [[Sprungstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Polstelle]]n
| keine
| keine
|-
! [[Extremwert|Extrema]]
| keine
| Minimum bei <math>x = 0</math>
|-
! [[Wendepunkt|Wendestellen]]
| <math> x = 0 </math>
| keine
|}

=== Spezielle Werte ===

:<math>\sinh(\ln\Phi) = \tfrac12</math> mit dem [[Goldener Schnitt|goldenen Schnitt <math>\Phi</math>]]
:<math>\cosh(\ln\Phi) = \tfrac12 \sqrt{5}</math>

=== Uneigentliche Integrale ===
{{Hauptartikel|Uneigentliches Integral}}
Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

: <math> \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\cosh(x)} = \biggl\{\arctan\bigl[\sinh(x)\bigr]\biggr\}_{x = -\infty}^{x = \infty} = \pi. </math>
Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird [[Gudermannfunktion|Gudermannsche Funktion]] <math>\mathrm{gd}(x) = \arctan[\sinh(x)]</math> genannt.

Außerdem gilt für die Quadratwurzel:
: <math> \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm dx}{\sqrt{\cosh(x)}} = \biggl\{2\,\operatorname{arcsl}\left[\tanh\left(\frac{1}{2}x\right)\right]\biggr\}_{x = -\infty}^{x = \infty} = 2\varpi </math>
Die Bezeichnung <math>\mathrm{arcsl}</math> steht für den [[Lemniskatischer Arkussinus|Lemniskatischen Arkussinus]] und mit dem Kürzel <math>\varpi</math> wird die [[Lemniskatische Konstante]] ausgedrückt.

Für den [[Kehrwert]] des kardinalisierten '''Sinus Hyperbolicus''' gilt folgendes uneigentliches Integral:
: <math> \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{x\,\mathrm dx}{\sinh(x)} = \biggl\{2\,\operatorname{Li}_{2}\left[\tanh\left(\frac{1}{2}x\right)\right] - \frac{1}{2}\,\operatorname{Li}_{2}\left[\tanh\left(\frac{1}{2}x\right)^2\right]\biggr\}_{x = -\infty}^{x = \infty} = \frac{1}{2}\pi^2 </math>
Die Bezeichnung <math>\operatorname{Li}_{2}</math> stellt den [[Dilogarithmus]] dar.

== Umkehrfunktionen ==
Der Sinus hyperbolicus bildet <math>\mathbb{R}</math> [[bijektiv]] auf <math>\mathbb{R}</math> ab und hat deshalb eine [[Umkehrfunktion]], die man ''[[Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus|Areasinus hyperbolicus]]'' nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall <math>[0,+\infty[</math> bijektiv auf das Intervall <math>[1,+\infty[</math> und lässt sich eingeschränkt auf <math>[0,+\infty[</math> also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man ''[[Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus|Areakosinus hyperbolicus]]''.

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

:<math>\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\ </math>.

:<math>\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ </math>.

== Ableitungen ==
Die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

:<math>
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sinh x & = \cosh x\\
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cosh x & = \sinh x
\end{align}
</math>

== Stammfunktionen ==
:<math>
\begin{align}
\int \sinh x \, \mathrm dx &= \cosh x + C\\
\int \cosh x \, \mathrm dx &= \sinh x + C
\end{align}
</math>

== Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen) ==

:<math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1</math>

:<math>\cosh x + \sinh x = e^{x}</math>

:<math>\cosh x - \sinh x = e^{-x}</math>

:<math>\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1} </math>

:<math>\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} </math> ([[Hyperbelfunktion#Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel|Hyperbelgleichung]])

=== Additionstheoreme ===

:<math>
\begin{align}
\sinh(x\pm y) &= \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y\\
\cosh(x\pm y) &= \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y
\end{align}
</math>

insbesondere gilt für <math>y := x</math>:
:<math>
\begin{align}
\sinh 2x &= 2\cdot\sinh x \cosh x\ \\
\cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cdot \cosh^2 x - 1 = 2\cdot \sinh^2 x + 1
\end{align}
</math>

und für <math>y := 2x</math>:
:<math>
\begin{align}
\sinh 3x &= 4\cdot \sinh^3 x +3 \sinh x\ \\
\cosh 3x &= 4\cdot \cosh^3 x -3 \cosh x
\end{align}
</math>

=== Summenformeln ===
:<math>
\begin{align}
\sinh x \pm \sinh y & = 2 \sinh \frac{x\pm y}2 \cosh\frac{x\mp y}2 \\
\cosh x + \cosh y & = 2 \cosh \frac{x + y}2 \cosh\frac{x-y}2 \\
\cosh x - \cosh y & = 2 \sinh \frac{x + y}2 \sinh\frac{x-y}2
\end{align}
</math>

=== Potenzen ===
:<math>\begin{align}
\sinh^2 x = \frac{1}{2} \Big(\cosh (2x) - 1 \Big) \\
\cosh^2 x = \frac{1}{2} \Big(\cosh (2x) + 1 \Big)
\end{align} </math>

== Reihenentwicklungen ==
Die [[Taylorreihe]] des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt <math>x=0</math> lautet:

:<math>
\begin{align}
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x+ \frac{x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} + \dotsb\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}} {(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dotsb
\end{align}
</math>

== Produktentwicklungen ==
:<math>
\begin{align}
&\sinh x = x\cdot \prod_{k=1}^\infty \left(1+\frac{x^2}{(k\pi)^2}\right) \\
&\cosh x = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{4 x^2} {(2k - 1)^2 \pi^2} \right)
\end{align}
</math>

== Multiplikationsformeln ==

Sei <math>n\in\N</math>. Dann gilt für alle komplexen <math>z</math>:

:<math>
\begin{align}
&\sinh z = {\left(\frac{2}{\mathrm i}\right)}^{\!\!n-1} \, \prod\limits_{k=0}^{n-1} \sinh{\frac{z+k\,\pi\,\mathrm i}{n}}\\
&\cosh z = 2^{n-1} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \cosh{\frac{z+\left(k-\frac{n-1}{2}\right)\,\pi\,\mathrm i}{n}}
\end{align}

</math>

== Komplexe Argumente ==
Mit <math>x,y \in \mathbb{R}</math> gilt:

:<math>
\begin{align}
\sinh(x+\mathrm i\,y) &= \cos y \, \sinh x + \mathrm i \sin y \, \cosh x\\
\cosh(x+\mathrm i\,y) &= \cos y \, \cosh x + \mathrm i \sin y \, \sinh x\\
\sin(x+\mathrm i\,y) &= \sin x \, \cosh y + \mathrm i \cos x \, \sinh y\\
\cos(x+\mathrm i\,y) &= \cos x \, \cosh y - \mathrm i \sin x \, \sinh y\\
\end{align}
</math>

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit <math>z = x+\mathrm i\,y</math> gilt

<math>
\begin{align}
\exp(\mathrm i\,z) &= \cos(x+\mathrm i\,y) + \mathrm i \sin(x+\mathrm i\,y)\\
&= \exp(\mathrm i \, (x+\mathrm i\,y))\\
&= \exp(\mathrm i \, x) \, \exp(\mathrm i \, (\mathrm i\,y))\\
&=(\cos x \, \cos(\mathrm i\,y)- \sin x \, \sin(\mathrm i\,y))+\mathrm i \, ( \cos x \, \sin(\mathrm i\,y) + \sin x \, \cos(\mathrm i\,y) )\\
&=(\cos x \, \cosh y - \mathrm i \sin x \, \sinh y)+\mathrm i \, ( \sin x \, \cosh y + \mathrm i \cos x \, \sinh y )\\
\end{align}
</math>

Durch [[Koeffizientenvergleich]] folgt:

<math>
\begin{align}

\cos(x+\mathrm i\,y) &= \cos x \, \cosh y - \mathrm i \sin x \, \sinh y \\
\sin(x+\mathrm i\,y) &= \sin x \, \cosh y + \mathrm i \cos x \, \sinh y \\

\end{align}
</math>

== Anwendungen ==
=== Lösung einer Differentialgleichung ===
Die Funktion
:<math>f(x)=a \cdot \sinh x+b \cdot \cosh x</math> mit <math> a,b \in \mathbb{R}</math>
löst die [[Differentialgleichung]]
:<math>f''(x) - f(x) = 0\ </math>.

=== Kettenlinie ===
Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder [[Katenoide]].

=== Lorentz-Transformation ===

Mit Hilfe der [[Rapidität (Physik)|Rapidität]] <math>\lambda</math> kann man die [[Transformationsmatrix]] für eine [[spezielle Lorentztransformation]] (auch ''Lorentz-Boost'') in ''x''-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):
:<math>
L = \begin{pmatrix}
\cosh \lambda & -\sinh \lambda & 0 & 0\\
-\sinh \lambda & \cosh \lambda & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
Man sieht eine große Ähnlichkeit zu [[Drehmatrix|Drehmatrizen]]; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen [[Raumzeit]] und [[Drehung]]en im dreidimensionalen Raum.

=== Kosmologie ===
Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der [[Kosmologie]] auf. Die zeitliche Entwicklung des [[Skalenfaktor]]s in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur [[Materie (Physik)|Materie]] und [[Dunkle Energie]] enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
:<math>a(t) = \left(\sqrt{\frac{1-\Omega_{\Lambda,0}}{\Omega_{\Lambda,0}}} \sinh\left(\frac{t}{t_\mathrm{ch}}\right)\right)^{2/3}</math>,
wobei
:<math>t_\mathrm{ch} = \frac{2}{3 \sqrt{\Omega_{\Lambda,0}} H_0}</math>
eine charakteristische Zeitskala ist. <math>H_0</math> ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, <math>\Omega_{\Lambda,0}</math> der [[Dichteparameter]] für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den [[Friedmann-Gleichungen#Spezielle Lösungen|Friedmann-Gleichungen]]. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:
:<math>\Omega_M(t) = \cosh^{-2}\left(\frac{t}{t_\mathrm{ch}}\right) </math>

=== Lösung algebraischer Gleichungen ===
Der Sinus hyperbolicus und seine Umkehrfunktion können zum Lösen von [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichungen]] verwendet werden. Das Verdreifachungstheorem des Sinus hyperbolicus lautet wie folgt:
:<math>\sinh(3a) = 4\sinh^3 a + 3\sinh a</math>
Für <math>s := \sinh(3a) </math> gilt somit:
:<math>s = 4\sinh^3 \left[\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}(s)\right] + 3\sinh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}(s)\right] </math>

Da der Sinus hyperbolicus <math>\sinh</math> und somit auch seine Umkehrfunktion <math>\operatorname{arsinh}</math> und dritte Potenz <math>\sinh^3</math> ungerade Funktionen sind, gilt: Eine reelle Lösung der Gleichung <math>4x^3 + 3x = \pm s</math> ist <math>x = \pm \sinh\left[ \frac{\operatorname{arsinh}s}{3}\right]</math>

Der Allgemeinfall der (durch kubische Ergänzung) reduzierten kubischen Gleichung <math>x^3 + px \mp q = 0</math> lässt sich bei positivem <math>p</math> auf dieses Ergebnis zurückführen, indem man sie mit der positiven reellen Größe <math>\frac{1}{2}\, \sqrt{\frac{3}{p}}^3 </math> multipliziert: Nach Kürzung bzw. geeigneter Erweiterung erhält man
:<math>
4\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{p}}\,x\right)^3
+
3\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{p}}\,x\right)
=
\pm \frac{1}{2}\, \sqrt{\frac{3}{p}}^3 \cdot q
</math>
Setzt man <math>s = \frac{q}{2}\, \sqrt{\frac{3}{p}}^3 </math>, so liefert obiges Ergebnis <math>
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{p}}\,x
= \pm
\sinh
\left[
\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}
\left(
\frac{q}{2}\, \sqrt{\frac{3}{p}}^3
\right)
\right]
</math>.

Bei <math>r>0</math> erhält man somit folgendes Paar aus Gleichung und Lösung:

:{| class = "wikitable"
|<math>x^3 + px = \pm q </math>

|<math>
x
= \pm
2\sqrt{\frac{p}{3}}
\sinh
\left[
\frac{1}{3} \operatorname{arsinh}
\left(
\frac{q}{2}
\sqrt{\frac{3}{p}}^3
\right)
\right] </math>
|}

So gilt beispielsweise für den Kehrwert der [[Supergoldener Schnitt|Supergoldenen Zahl]] dieser Ausdruck:

:{| class = "wikitable"
|<math>x^3 + x = 1 </math>

|<math>x = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sinh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\right] </math>
|}

Wenn der Koeffizient <math>p</math> des linearen Gliedes verdoppelt, also gleich <math>2</math> gesetzt wird, dann erhält man folgende Gleichung mit folgender reeller Lösung:

:{| class = "wikitable"
|<math>x^3 + 2x = 1 </math>

|<math>x = \frac{2\sqrt{6}}{3}\sinh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3\sqrt{6}}{8}\right)\right] </math>
|}

Auch die quartischen Gleichungen können für den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelöst werden:

Ebenso soll hierfür ein Beispiel angeführt werden:

:{| class = "wikitable"
|
<math>x^4 =x + 1</math>

|-
|
<math>x = \tfrac{1}{3}\sqrt[4]{27}\sqrt{\sinh\bigl[\tfrac{1}{3}\operatorname{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]} + \sqrt{\tfrac{1}{4}\sqrt[4]{3}\sqrt{\text{csch}\bigl[\tfrac{1}{3}\operatorname{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]} - \tfrac{1}{3}\sqrt{3}\sinh\bigl[\tfrac{1}{3}\operatorname{arsinh}(\tfrac{3}{16}\sqrt{3})\bigr]}</math>
|}

Im Gegensatz zum Allgemeinfall der Gleichungen dritten und vierten Grades kann der Allgemeinfall der Gleichungen fünften und höheren Grades nicht elementar aufgelöst werden. Diese Tatsache wird durch den [[Satz von Abel-Ruffini]] ausgedrückt und wurde ebenso durch den Mathematiker [[Évariste Galois]] erforscht. Die Lösungen derjenigen quintischen Gleichungen aber, welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrücken gelöst werden können, lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen. Im Folgenden sollen hierfür zwei solche quintischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Lösungen gezeigt werden:

Erstes Beispiel:

:{| class = "wikitable"
|
<math>x^5 + 280x = 1344 </math>

|-
|
<math>
x =
\sqrt[4]{2^7} \sqrt{\frac{7}{5}}
\left(
\cosh
\biggl\{
\frac{1}{5}
\operatorname{arcosh}
\biggl[
\sqrt[4]{2} \, \sqrt{\frac{5}{7}}^{3} \, (2\sqrt{2} + 1)
\biggr]
\biggr\}
-
\sinh
\biggl\{ \frac{1}{5}\operatorname{arsinh}
\biggl[
\sqrt[4]{2} \, \sqrt{\frac{5}{7}}^{3} \, (2\sqrt{2} - 1)
\biggr]
\biggr\}
\right)
</math>
|}

Zweites Beispiel:

:{| class = "wikitable"
|
<math>x^5 + 11x = 44</math>

|-
|
<math>
x =
\frac{2\sqrt{11} }{\sqrt[4]{5^3}}
\left(
\cosh
\biggl\{
\frac{1}{5}\operatorname{arcosh}
\biggl[
\frac{\sqrt[4]{5^7}}{\sqrt{11^3}} \, (2\sqrt{5} + 3)
\biggr]
\biggr\}
-
\sinh
\biggl\{
\frac{1}{5}\operatorname{arsinh}
\biggl[
\frac{\sqrt[4]{5^7}}{\sqrt{11^3}} \, (2\sqrt{5} - 3)
\biggr]
\biggr\}
\right)
</math>
|}

== Siehe auch ==
* [[Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus]]
* [[Trigonometrische Funktion]]en
* [[Kreis- und Hyperbelfunktionen]].

== Weblinks ==
* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicSine.html Hyperbolic Sine] und [https://mathworld.wolfram.com/HyperbolicCosine.html Hyperbolic Cosine] auf [[MathWorld]] (engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Trigonometrische Funktionen}}

[[Kategorie:Trigonometrische Funktion]]

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus - Versionsgeschichte

imported>Mathze: Änderung 263941731 von Mathze rückgängig gemacht;