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2025-01-09T17:10:36Z

Umkehr-Transformation: Tippfehler entfernt

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Die '''Sinus- und Kosinus-Transformation''' sind zwei Varianten der [[Fourier-Transformation|kontinuierlichen Fourier-Transformation]], die ausschließlich für [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]] definiert sind, im Gegensatz zur Fourier-Transformation, welche für [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] definiert ist. Sie sind [[Integraltransformation]]en mit Anwendungen im Bereich der [[Signalverarbeitung]]. Davon abgeleitet sind für [[Abtastung (Signalverarbeitung)|zeitdiskrete]] Signalfolgen die [[Diskrete Kosinustransformation]] (DCT) und die [[Diskrete Sinustransformation]] (DST).

== Allgemeines ==
Der [[Integraltransformation#Integraltransformationen|Kern]] der Fourier-Transformation lässt sich mittels der [[Eulersche Identität|Eulerschen Identität]] in einen Real- und Imaginärteil aufspalten:

:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i} \cdot \sin\left( x \right)</math>

wobei <math>\mathrm{i}</math> die [[imaginäre Einheit]] ist (in der Technik wird üblicherweise <math>\mathrm{j}</math> für diese verwendet, da <math>\mathrm{i}</math> bereits für die Stromstärke verwendet wird). Der Realteil wird als Kern der Kosinus-Transformation und der Imaginärteil als Kern der Sinus-Transformation verwendet. Die [[Sinus und Kosinus|Kosinus-Funktion]] ist eine [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade Funktion]], die Kosinus-Transformation bildet den geraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab. Analog dazu bildet die ungerade Sinus-Funktion den ungeraden Signalanteil der Fourier-Transformierte eines reellen Signals ab.

=== Sinus-Transformation ===
Die Sinus-Transformation ist für reelle Signale <math>y(t)</math> definiert durch:

:<math> \mathrm{Y_s}(f) = \mathcal{SIN}\{y(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \sin(2 \pi f t) \,\mathrm{d} t</math>

=== Kosinus-Transformation ===
Die Kosinus-Transformation ist für reelle Signale <math>y(t)</math> definiert durch:

:<math> \mathrm{Y_c}(f) = \mathcal{COS}\{y(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \cos(2 \pi f t) \,\mathrm{d} t</math>

=== Umkehr-Transformation ===
Die Kosinus- bzw. Sinus-Transformation enthält nur Informationen über die geraden bzw. ungeraden Anteil des transformierten Signals, daher werden beide benötigt, um das Signal wiederherzustellen (außer wenn bereits bekannt ist, dass das Signal gerade bzw. ungerade war, da dann natürlich der ungerade bzw. gerade Anteil 0 ist):

<math>y(t) = \underbrace{2 \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{Y_c}(f) \cos(2 \pi f t) \,\mathrm{d} f}_{\text{Gerader Anteil}} + \underbrace{2 \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{Y_s}(f) \sin(2 \pi f t) \,\mathrm{d} f}_{\text{Ungerader Anteil}} </math>

Wie bei Fourier-Transformationen und ihren Verwandten üblich kann der notwendige Vorfaktor (hier <math> 2</math>) beliebig zwischen Transformation und Umkehr-Transformation aufgeteilt werden. Häufige Varianten sind eine (unsichtbare) <math> 1</math> bei der (Ko-)Sinus-Transformation und eine <math> 2</math> bei der Umkehr-Transformation (wie in diesem Artikel verwendet), oder den Vorfaktor symmetrisch auf beide aufzuteilen, also <math> \sqrt{2}</math> für beide.

=== Zusammenhang ===
Die Fourier-Transformation

:<math> \mathrm{Y}(f) = \mathcal{F}\{y(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} y(t)\, e^{-2\pi \mathrm{i} f \cdot t} \,\mathrm{d} t</math>

lässt sich für reelle Signale <math>y(t)</math> aus der Sinus- und Kosinus-Transformation bilden:

:<math>\mathcal{F}\{y(t)\} = \mathcal{COS}\{y(t)\} - \mathrm{i} \cdot \mathcal{SIN}\{y(t)\}.</math>

Für die speziellen Fälle von reellen und geraden Signalen geht die Fourier-Transformation in die Kosinus-Transformation über, für reelle und ungerade Signale geht sie, bis auf einen konstanten Vorfaktor, in die Sinus-Transformation über.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel
|Titel = Signale und Systeme
|Verlag = Oldenbourg | Auflage = 5. | Jahr = 2011 | ISBN = 978-3-486-59748-6 }}

[[Kategorie:Harmonische Analyse]]
[[Kategorie:Integraltransformation]]

Sinus- und Kosinus-Transformation - Versionsgeschichte

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